Isomorphie |
09.02.2011, 16:00 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Isomorphie Ich habe mal eine ganz blöde Frage. Zeige: Meine Ideen: Ich stehe gerade auf dem Schlauch. Zu zeigen ist ja die Isomorphie zwischen und und zwischen und , wobei und zyklische Gruppe mit EDIT: Hängt das einfach nur damit zusammen, dass alle drei Mengen jeweils aus zwei Elementen bestehen und man daher jedem Element genau ein Element in den anderen Mengen zuordnen kann? Also man kann z.B. definieren: und hat so eine bijektive Abbildung? |
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09.02.2011, 16:43 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Isomorphie
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09.02.2011, 17:12 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wäre die Abbildung auch Isomorphismus, sprich: Ist es egal, wie man konkret die Elemente einander zuordnet, solang jedes Element der Zielmenge getroffen wird und zwar genau nur einmal? |
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09.02.2011, 17:14 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schau dir die Definition eines Isomorphismus nochmal an und beweise dass erste Abbildung auch wirklich einer ist |
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09.02.2011, 17:21 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, stimmt ja! Vielen Dank für den Hinweis. Ein Gruppenisomorphismus ist ja ein bijektiver Gruppenhomomorphismus und für diesen gilt ja u.a. , wobei e das neutrale Element der einen Gruppe und e' das Neutralelement der andere Gruppe ist, auf die abgebildet wird. Nochmal ein anderes Beispiel (bevor ich das oben beweisen möchte): Wieso ist nicht isomorph zu ... |
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09.02.2011, 17:31 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der einfachste Weg das zu zeigen ist sich anzuschauen welche dieser Gruppen zyklisch ist und welche nicht, dann gibts da auch nen Satz |
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09.02.2011, 17:38 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit anderen Worten: . Es will in meinen Kopf nicht rein. Man könnte doch jetzt jedem Element ein Element zuordnen... wieso kann man keinen Isomorphismus dann finden... [Wieso will ich das nicht verstehen...] |
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09.02.2011, 17:46 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Isomorphie ist ja mehr als bijektive Abbildung. Es muß auch die Struktur erhalten bleiben. Im Prinzip ist es so: Wenn du eine Gruppentafel für die beiden Gruppen hast und bei der Bijektion die eine Gruppentafel in die andere übergeht, dann sind die Gruppen isomorph. Wenn es keine Bijektion gibt, so daß die eine Gruppentafel in die andere übergeht, dann sind die Gruppen nicht isomorph. Bei isomorphen Gruppen müssen sich auch die Ordnungen der Elemente entsprechen. Jetzt bestimme die Ordnungen der Elemente von und der von . |
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09.02.2011, 18:07 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du meinst, dass die Homomorphie-Eigenschaften nicht erfüllt sind? [Isomorphismus=bijektiver Homomorphismus, d.h. zu untersuchen: bijektiv? Homomorphismus?] |
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09.02.2011, 18:10 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, Homomorphie bedeutet Strukturerhaltung. |
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09.02.2011, 18:10 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie könnte man denn bei dem Beispiel zeigen, dass die Strukturerhaltung nicht gilt? |
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09.02.2011, 19:00 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In dem man, wie bereits gesagt wurde, die Ordnung der Elemente betrachtet. Sei g ein Element aus der Gruppe G mit der Ordnung m und f ein Isomorphismus von G nach H mit f(g)=h, dann muss doch gelten: . Fernerhin muss gelten , damit ist aber , also muss h die gleiche Ordnung in H haben, wie g in G. Anmerkung: bezeichnet das neutrale Element in G, das neutrale Elemnt in H. |
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