Integral sin(x)/((1-sin(x))*(1+cos(x))

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09.02.2011, 16:40

Iwan

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Integral sin(x)/((1-sin(x))*(1+cos(x))

sin(x)/((1-sin(x))*(1+cos(x))

fällt euch da ne sub ein?

09.02.2011, 17:08

Mulder

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RE: Integral sin(x)/((1-sin(x))*(1+cos(x))
Da wird einem ja speiübel. Und Wolfram spuckt auch mal wieder was wunderbares aus. Big Laugh

Wie wäre es mit der Generalsubstitution? Hab's nur kurz überflogen, aber was man da erhält, sieht mit einer PBZ lösbar aus.

09.02.2011, 17:14

Iwan

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habe mal tan(x/2) substituiert.... aufschreiben tue ich das mal lieber nicht weils einfach zuviel ist xD

tolle klausur aufgabe... 10 min zeit hat man. ohne Hilfsmittel. ich verzweifel so sehr daran!

hab wie gesagt tan(x/2) substituiert und dann fleissig ausmultipliziert. hab jetzt 4 Terme. die ersten beiden gehen aber ab dem dritten Term habe ich im Nenner die potenzen die sich nicht so eben einfach löse lassen....

ich hasse diesen Prof

09.02.2011, 18:38

Mystic

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RE: Integral sin(x)/((1-sin(x))*(1+cos(x))

Zitat:

Original von Iwan
sin(x)/((1-sin(x))*(1+cos(x))

fällt euch da ne sub ein?

Mir fällt da nur ein oder besser auf, dass es in obigem Ausdruck 6 öffnende und 5 schließende Klammern gibt... Da reagiert sogar Derive darauf sauer, obwohl es sonst einen guten Magen hat... unglücklich

Was immer das aber nun darstellen soll (fehlt eine Klammer ganz am Schluss?), die Substitution

$\begin{eqnarray*} t=\tan\left(\frac x2\right) \end{eqnarray*}$

ist in solchen Fällen tatsächlich Standard...

09.02.2011, 19:14

Iwan

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Es fehlt in der tat eine klammer am ende!

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{\frac{2t}{1+t^2}*\frac{2}{1+t^2}}{(1-\frac{2t}{1+t^2}) * (1+\frac{1-t^2}{1+t^2}) } \, dt \end{eqnarray*}$
so schauts dann aus. und ab da komm ich net weiter#

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{\frac{2t}{1+t^2}}{(1-\frac{2t}{1+t^2}) * (1+\frac{1-t^2}{1+t^2}) }*\frac{2}{1+t^2} \, dt \end{eqnarray*}$

die erste Version ist schwachsinn. die zweite stimmt natürlich. ich kann mich mit diesem latex einfach nicht anfreuden^^

09.02.2011, 19:29

Mystic

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Naja, der Weg ist doch klar vorgezeichnet, nämlich

1. Ausdruck zu einer rationalen Funktion f(t)/g(t) mit Polynomen f(t),g(t) vereinfachen, indem du den ersten Integranden mit $\begin{eqnarray*} (1+t^2)^2 \end{eqnarray*}$ erweiterst...
2.Partialbruchzerlegung durchführen und integrieren
3.Rücksubstituieren

09.02.2011, 19:44

Iwan

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Mir ist schon klar das es auf die PBZ hinausläuft.

Mir ist lediglich dein erster schritt nicht bewusst.

Deswegen frage ich hier. Wenn es so einfach wäre, für mich, wie du sagst, dann würde dieses forum nicht existieren.... dank dir trotzdem. und ich wäre dir sehr verbunden, wenn du den ersten schritt einmal für mich durchführen würdest!

=)

09.02.2011, 19:59

Mystic

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Hm, eigentlich habe ich dir eh angegeben, was zu machen ist, nämlich den ersten Integranden mit $\begin{eqnarray*} (1+t^2)^2 \end{eqnarray*}$ erweitern, also

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{2t}{1+t^2}*\frac{2}{1+t^2}}{(1-\frac{2t}{1+t^2}) * (1+\frac{1-t^2}{1+t^2}) }= \frac {4t}{(1+t^2-2t)((1+t^2)+(1-t^2))}=\frac{2t}{(t-1)^2} \end{eqnarray*}$

Sind solche elementare Umformungen für dich echt ein Problem? Das wäre dann ein deutliches Zeichen, dass es dir noch an Übung in diesem Punkt fehlt... unglücklich

09.02.2011, 20:12

Iwan

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mich irritiert diese 1- und 1+ unter dem bruch.... unglücklich

woran kann man so etwas erkennen?! gibt es da tipps?

edit:

ich habs jetzt nochmal versucht....
also habs jetzt ohne erweiterung hinbekommen. finde ich auch wesentlich einfacher. Eigentlich sind solche Aufgaben auch kein Porblem für mich. Heute ist nur arg der Wurm drin und ich denke einfach ich tue zu wenig.

vll sind 8 stunden am tag auch einfach zuviel .....

aber nochmal zu dem erweitern, gibt es da tipps wie man sowas besser erkennen kann?!

PBZ:

$\begin{eqnarray*} \frac{2t}{(t-1)^2} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{(t-1)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2t=A(t-1)+B \end{eqnarray*}$

09.02.2011, 20:31

Iwan

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daraus folgt ja dann

2t= At -A +B

was bedeutet, das A=2 => B=2

09.02.2011, 20:38

Mystic

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Würde ich auch so sehen... Freude

09.02.2011, 20:45

Leopold

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Ich will die Lösung nicht stören, aber für später, sofern noch Lust vorhanden, einen Alternativvorschlag präsentieren:

Man kann den Integranden auch zerlegen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin x}{\left( 1 - \sin x \right) \left( 1 + \cos x \right)} = \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin x} + \frac{\sin x}{\cos^2 x} - \left( \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{1 - \sin x} \right) \cos x \end{eqnarray*}$

Bei der Integration der letzten beiden Summanden substituiert man $\begin{eqnarray*} \cos x \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \sin x, \end{eqnarray*}$ der erste Summand ist die Ableitung des Tangens und den zweiten kann man in der Formelsammlung nachschauen oder mit der Generalsubstitution behandeln.

Auf die Zerlegung kommt man, indem man an verschiedenen Stellen den trigonometrischen Pythagoras anwendet, z.B. in der Form

$\begin{eqnarray*} \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = (1 - \cos x) (1 + \cos x) \end{eqnarray*}$

Geschickt erweitern und kürzen heißt das Stichwort.

09.02.2011, 20:51

Iwan

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Dankt euch!!!!!

Ich überprüfe meine ergebnisse sonst immer mit online integratoren aber denen vertraue ich nichtmehr so recht^^

@leopold.

ich danke dir für die anregung aber mit den ganzen trigometrischen funktionen,....mhh naja, sagen wirs so, ich habs garnicht mit buchstaben xD

aber ich werd mir deinen vorschlag nach der klausur mal genauer ansehen. lernen kann man nie genug! smile

09.02.2011, 20:58

Leopold

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Zitat:

Original von Iwan
Ich überprüfe meine ergebnisse sonst immer mit online integratoren aber denen vertraue ich nichtmehr so recht^^

Eine gut begründete Skepsis. Wenn ich ein unbestimmtes Integral mit einem CAS berechne, mache ich in aller Regel sofort die Probe durch Differenzieren.

09.02.2011, 21:09

Mystic

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Zitat:

Original von Iwan
Ich überprüfe meine ergebnisse sonst immer mit online integratoren aber denen vertraue ich nichtmehr so recht^^

Wenn es jetzt nur um eine "Überprüfung" einer eigenen Rechnung durch ein CAS geht, und die Ergebnisse stimmen noch dazu überein, dann erscheint mir das doch ein bißchen zuviel der Skepsis... Augenzwinkern

09.02.2011, 21:25

Iwan

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Jedenfalls riesen DANK an euch!!!

falls es mal wieder hackt werde ich mich wieder an euch wenden Augenzwinkern

Diesmal muss et sitzen....ist der 3. Versuch unglücklich

ersten dumm weggeschmissen weil ich dachte wird schon gut gehn, zweiter ganz ärgerlich weggeschmissen, weil schwerpunktmäßig gelernt wurde...
ich depp xD

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