Schnittgerade dreier Ebenen

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nick-ed Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittgerade dreier Ebenen
Hallo allerseits,

gegeben sind 3 Ebenen und man soll deren gegenseitige Lage bestimmen.

I: x - 8y - 14z = 3
II: 2x - 6y - 3z = 1
III: -3x + 4y - 8z= 1

Egal ob ich x = t, y = t oder z = t setzte, ich komme nie auf die Lösung:

(5/2/-1) + t * (-12/-5/2) (gemeinsame Schnittgerade)

Nichtmal auf denselben Richtungsvektor....
Bitte helft mir bei diesem Beispiel.

lG.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Egal ob ich x = t, y = t oder z = t setzte, ich komme nie auf die Lösung


Ich lese das oft, dass direkt am Anfang oder auch mittendrin versucht wird irgendwelche Koordinaten durch t oder sowas zu ersetzen.
Da Frage ist warum nur, das ist im Endeffekt vollkommen nebensächlich und eigentlich nur verwirrend verwirrt
Viel wesentlicher ist es das gegebene LGS ganz normal mit Gauss zu lösen.

Zitat:
Nichtmal auf denselben Richtungsvektor


Kommst du denn auf ein Vielfaches von ihm ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

.

Wenn also mit Gauss gelöst wird, bleibt nach Elimination* letztendlich eine Gleichung mit 2 Variablen stehen, denn das lGS ist abhängig. In dieser muss dann eine Variable "sinnvoll" mit einem Parameter belegt werden.

z.B.:

(*) Nach Elimination von x: -> 2y + 5z = -1

mY+
nick-ed Auf diesen Beitrag antworten »

Leider nicht(NV), bin gewohnt eine Koordinate mit t gleichzusetzen, damit die jeweilige Koordinate 1 im Richtungsvektor beträgt. Bei meinem Beispiel scheint dies wohl nicht möglich zu sein...

Danke für den Hinweis mit dem Gaus Eliminationsverfahren, dieses kannte ich nicht :/
nick-ed Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ganze sieht dann so aus:

1 -8 -14 3 *-2 + II *3 + III
2 -6 -3 1
-3 4 -8 1

1 -8 -14 3
0 10 25 -5 *-2 + III 2y + 5z = -1
0 20 -50 10 Hier erkennt man 2y - 5z = 1

1 -8 -14 3
0 10 25 -5
0 0 -100 20


Stimmt es so? Beim einsetzen des Parameters kommt bei mir wieder nicht (-12/-5/2) oder ein Vielfaches raus.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von nick-ed
...
Hier erkennt man 2y - 5z = 1
...

Das ist richtig. Erst jetzt darfst du eine der beiden Variablen durch einen Parameterausdruck ersetzen. Setze also durchaus y = t oder z = t. Noch schöner ist z.B. z = 1 + 2t, damit vermeidet man hier weitgehend Brüche bei dem Stützpunkt.

Dazu ist zu bemerken, dass es viele verschiedene Parametergleichungen der Geraden gibt. Sie haben nämlich unterschiedliche Stützpunkte und zueinander proportionale Richtungsvektoren. Insoferne wirst du NICHT immer dieselbe Gleichung wie die in der Lösung angegebene erhalten. Allerdings muss in allen möglichen Gleichungen der grundlegende Richtungsvektor (-12; -5; 2) abgesehen von seinen unendlich vielen Vielfachen herauszulesen sein.

Noch eine Bemerkung zum Ersetzen der Variablen durch Parameter: Wenn du von vornherein eine beliebige Variable durch einen Parameter ersetzt, kann sich das fatal auswirken, also schwer ins Auge gehen. Denn es gibt Fälle, in denen eine Variable nur einen konstanten Zahlenwert besitzt und daher gar nicht mit einem Parameter zu belegen ist.

Ein Beispiel ist diese Gerade:

x = 3 + 2t; y = 2; z = 1 - t

Welche besondere Lage hat diese?

mY+
 
 
nick-ed Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Zitat:
Original von nick-ed
...
Hier erkennt man 2y - 5z = 1
...


x = 3 + 2t; y = 2; z = 1 - t

Welche besondere Lage hat diese?

mY+


Diese Gerade sollte parallel zur Ebene der x und z Achse sein. Abstand müsste 2 betragen.

PS: Hatte vorher nur einen Fehler, welchen ich mittlerweile behoben habe.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig! Genau so ist es! smile

mY+
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