Vereinigung von 2 linear unabhängigen Systemen

27.11.2006, 19:42

SilverBullet

Vereinigung von 2 linear unabhängigen Systemen

Nabend zusammen,

habe hier eine Aufgabe und möchte wissen ob ich die so lösen kann wie ich es gemacht hab oder ob ich noch was entscheidendes vergessen habe :

Zitat:

Aufgabe :
Seien U, U´ lineare Unterräume eines K-Vektorraums V mit U n U´ = {0}.
Gegeben seien außerdem lineare unabhängige Systeme:
$\begin{eqnarray*} x_1,.....,x_r \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_1,.....,y_s \in U' \end{eqnarray*}$

Zeigen sie, dass die Vereinigung $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_r,y_1,...,y_s \end{eqnarray*}$ der beiden Systeme linear UNAbhängig in V ist.

Lösung :

Wir nehmen einfach an, dass U und U´ linear abhängig sind.
$\begin{eqnarray*} x \in U, y \in U' \end{eqnarray*}$

Aufgrund der lin. Abhängigkeit gilt nun :

$\begin{eqnarray*} x= \sum_{k=1}^n~\beta_k y_k \end{eqnarray*}$

(Summe Element von U´)

Daraus folgt, dass U eine Teilmenge von U´ ist, da das Element x in U´ enthalten ist.
Das ist nun der Widerspruch zu Vorraussetzung das U n U´ = {0} ist.
Somit ist gezeigt, dass die Vereinigung $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_r,y_1,...,y_s \end{eqnarray*}$ der beiden Systeme linear Abhängig in V ist.

Was sagt ihr zu der Lösung ? Kann ich das so schreiben ?

mfg
Silver

27.11.2006, 20:10

Abakus

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RE: Vereinigung von 2 linear unabhängigen Systemen

Zitat:

Original von SilverBullet
Lösung :

Wir nehmen einfach an, dass U und U´ linear abhängig sind.

Was meinst du damit und wieso kannst du das annehmen ?

Mir fehlt bei der Aufgabe noch irgendeine Bedingung. Hast du die vollständige Aufgabenstellung gepostet ?

Grüße Abakus smile

27.11.2006, 20:13

SilverBullet

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Hallo Abakus,

ja das war die komplette Aufgabe.

Die Aufgabenstellung lautet :

Zitat:

Zeigen sie, dass die Vereinigung $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_r,y_1,...,y_s \end{eqnarray*}$ der beiden Systeme linear UNAbhängig in V ist.

Nun mit :

Zitat:

Wir nehmen einfach an, dass U und U´ linear abhängig sind.

will ich einen Beweis durch Widerspruch einleiten.

Nun ist nur die Frage ob das so geht wie ich es versucht habe ^^

edit : Ups hab mich beim abtippen vertan... In der Aufgabenstellung hab ich geschrieben das die Abhängigkeit zu zeigen sei. Es soll aber die Unabhängigkeit gezeigt werden ^^ Habs editiert oben und hier =)

27.11.2006, 20:30

Abakus

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Zitat:

Original von SilverBullet
Nun mit :

Zitat:

Wir nehmen einfach an, dass U und U´ linear abhängig sind.

will ich einen Beweis durch Widerspruch einleiten.

Ein nichtleerer Unterraum als Menge betrachtet ist immer linear abhängig. Mit a, b aus U ist auch jede Linearkombination in U.

Was du meinst, sind die beiden vorgegebenen Erzeugendensysteme (also Annahme: das aus beiden Erzeugendensysteme gebildete neue System ist linear abhängig).

OK, wie geht es von da ab weiter ?

Zitat:

edit : Ups hab mich beim abtippen vertan... In der Aufgabenstellung hab ich geschrieben das die Abhängigkeit zu zeigen sei. Es soll aber die Unabhängigkeit gezeigt werden ^^ Habs editiert oben und hier =)

Ja, deshalb meine Nachfrage. (Besser du lässt in solchen Fällen des Post stehen und korrigierst es im nächsten Post, weil sonst die Diskussion schwerer verfolgbar wird.)

Grüße Abakus smile

27.11.2006, 20:51

SilverBullet

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Zitat:

OK, wie geht es von da ab weiter ?

Ja also mit

$\begin{eqnarray*} x= \sum_{k=1}^n~\beta_k y_k \end{eqnarray*}$

zeige ich das ich ein Element aus U und zwar das Element x durch eine linearkombination von y´s erzeugen kann.
Damit wäre also mein x auch in U´ enthalten und das widerspricht der orraussetzung.

27.11.2006, 21:24

Abakus

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Zitat:

Original von SilverBullet
Ja also mit

$\begin{eqnarray*} x= \sum_{k=1}^n~\beta_k y_k \end{eqnarray*}$

zeige ich das ich ein Element aus U und zwar das Element x durch eine linearkombination von y´s erzeugen kann.

Wie machst du das ? Einfach so behaupten, dass das geht, kannst du in einem Beweis nicht.

Grüße Abakus smile

EDIT: Text

27.11.2006, 21:30

SilverBullet

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Hmm ...

So vielleicht :

Aus meiner Annahme, dass das gebildete neue System llinear abhängig ist folgt :
Es muss demnach ein x in U existieren das durch eine Linearkombination von
$\begin{eqnarray*} \beta_1 \cdot y_1 + \beta_2 \cdot y_2 + .... + \beta_s \cdot y_s \end{eqnarray*}$ gebildet werden kann.

Also gilt :
$\begin{eqnarray*} x= \sum_{k=1}^n~\beta_k y_k \end{eqnarray*}$

dann weiter wie oben...

Was sagste ?

27.11.2006, 21:47

Abakus

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Zitat:

Original von SilverBullet
Aus meiner Annahme, dass das gebildete neue System llinear abhängig ist folgt :
Es muss demnach ein x in U existieren das durch eine Linearkombination von
$\begin{eqnarray*} \beta_1 \cdot y_1 + \beta_2 \cdot y_2 + .... + \beta_s \cdot y_s \end{eqnarray*}$ gebildet werden kann.

Letztendlich ja, bloß wie genau folgt das ? Du hast erstmal nur die lineare Abhängigkeit des zusammengesetzten Systems. Was bedeutet das erstmal ?

Grüße Abakus smile

27.11.2006, 22:00

SilverBullet

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Also entweder ich denke zu schlicht oder ich hab nen Brett vorm Kopf.

Zitat:

Letztendlich ja, bloß wie genau folgt das ? Du hast erstmal nur die lineare Abhängigkeit des zusammengesetzten Systems. Was bedeutet das erstmal ?

Nunja vorher waren meine Systeme ja linear unabhängig wenn das neu erzeugte System dann linear abhängig ist muss demnach ein oder mehrere Elemente aus einem ursprünglichen System durch die Kombination der Vektoren des anderen erzeugt werden.
Daraus sollte es folgen hoffe ich

27.11.2006, 22:35

Abakus

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Zitat:

Original von SilverBullet
Nunja vorher waren meine Systeme ja linear unabhängig wenn das neu erzeugte System dann linear abhängig ist muss demnach ein oder mehrere Elemente aus einem ursprünglichen System durch die Kombination der Vektoren des anderen erzeugt werden.

Wieso muss das so sein ? Als Beweis überzeugt das nur, wenn du es zeigen kannst.

Du hast bisher die lineare Abhängigkeit des neuen Systems, d.h. zB dass du mit einer nichttrivialen Linearkombination den Nullvektor kombinieren kannst:

$\begin{eqnarray*} 0 = \sum_{k=1}^r~\alpha_k~ x_k + \sum_{k=1}^s~\beta_k~ y_k \end{eqnarray*}$

Nicht alle Koeffizienten dieser Gleichung sind 0. Wenn du das jetzt etwas umstellst und die Unterraum-Eigenschaften ausnutzt, kommst du zu deinem Vektor.

Grüße Abakus smile

27.11.2006, 22:48

SilverBullet

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ahh alles klaro =)
Wir habe in der Vorlesung gezeigt und bewiese, das folgende 3 Aussagen Äquivalent sind :

1 a1,.....,an linear abhängig
2 Einer der ai ist linearkomb. der restlichen, d.h. es existiert ein p in {1,...,n} mit ap € <a1,...,a(p-1),a(p+1),....,an>
3 Es existiert p € {1,....,n} mit <a1,...,a(p-1),a(p+1),....,an> = <a1,....,an>

Da die Beweise hierfür in der Vorlesung erbracht wurden kann ich mich ja darauf berufen.
Damit müsste doch der Rest nun auch ok sein

27.11.2006, 22:58

Abakus

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Letztendlich stellst du es so um:

$\begin{eqnarray*} x := \sum_{k=1}^r~\alpha_k~ x_k = - \sum_{k=1}^s~\beta_k~ y_k \end{eqnarray*}$

Nur einen der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen, würde nicht reichen.

Grüße Abakus smile

28.11.2006, 18:08

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von SilverBullet
Da die Beweise hierfür in der Vorlesung erbracht wurden kann ich mich ja darauf berufen.

Das kannst du ruhig tun, aber nicht so wie oben! Aus der linearen Abhängigkeit des Systems $\begin{eqnarray*} x_1,\ldots,x_r,y_1,\ldots,y_s \end{eqnarray*}$ lässt sich ja nur folgen, dass einer der Vektoren Linearkombination der anderen ist! Das ist ein Existenzsatz! Da gibt es noch folgende Fälle, die du nicht betrachtet hast!
1. Dieser eine Vektor ist einer der Vektoren $\begin{eqnarray*} y_1,\ldots,y_s \end{eqnarray*}$ . Im schlimmsten Fall ist er (laut des Satzes zunächst) sogar nur eine Linearkombination der restlichen $\begin{eqnarray*} y_i \end{eqnarray*}$ 's. Die Koeffizienten vor den $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ 's können ja auch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein.
2. Dieser eine Vektor ist einer der Vektoren $\begin{eqnarray*} x_1,\ldots,x_r \end{eqnarray*}$ . Dann muss die Darstellung dieses Vektors aber nicht ausschließlich eine Linearkombination der $\begin{eqnarray*} y_i \end{eqnarray*}$ 's sein! Es kann auch eine Linearkombination der $\begin{eqnarray*} y_i \end{eqnarray*}$ 's und der restlichen $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ 's sein, d.h. die Koeffizienten vor den $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ 's müssen hier ebenfalls nicht $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein.

Du siehst, da musst du noch ein paar nicht mögliche Fälle begründen. Übernimm also lieber die Idee von Abakus.

Gruß MSS

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