Ring - Einheiten

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wiley Auf diesen Beitrag antworten »
Ring - Einheiten
Hallo, ich habe ein parr verständisfragen

die erste:

Ring einer Lokalisierung: Ist ein multiplikativ abgeschlossene Teilmenge (ohne Nullteiler), dann ist
ein Ring, ein Oberring von R. Welche Elemente von
sind Einheiten?


Einheiten sind jene Elemente für die gilt, dass
gilt. Also Allgemein mit
und

Meine Idee ist es, s2 so zu wählen, dass s2=r. da , ist dies ohne probleme machbar, bleibt nur aufzupassen, dass , und dass r kein Nullteiler ist.

Analog zu r2, dass gerade so gewählt werden muss, dass r2=s.

also ist die Menge der Einheiten ,
bzw denn für diese ist erfüllt.

----------------------------------------------------------------------
und eine weitere:

Was sind Einheiten in Ringen? Welche Struktur hat die Menge der Einheiten? Geben Sie Beispiele!

Was mich wundert ist, dass ringe bezüglich der mult. keine inversen Besitzen, wie können dort also Einheiten existieren? Also ist nur für das neutrale Element
eine Einheit definiert verwirrt

Vielen dank
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ring - Einheiten
Zunächst musst du dir klar machen, welche Elemente in deinem Ring liegen, da S keine Nullteiler hat und S eine Teilmenge von R ist gilt doch für alle Elemente .

Nun musst du überlegen, wann in R_s liegt, das ist doch dann der Fall, wenn s in R liegt (das gilt für alle s) und r in S (das gilt nicht für alle r).

Zitat:

Was mich wundert ist, dass ringe bezüglich der mult. keine inversen Besitzen, wie können dort also Einheiten existieren? Also ist nur für das neutrale Element
eine Einheit definiert


Das stimmt nicht, auch in Ringen können Elemente inverse besitzen.

Im Ring der ganzen Zahlen sind 1 und (-1) die einzigen Einheiten, aber im Ring zum Beispiel sind 1 und 5 Einheiten.

Es sollte helfen, dass in einem Ring jedes Element entweder eine Einheit oder ein Nullteiler ist.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ring - Einheiten
Zitat:
Original von lgrizu
Es sollte helfen, dass in einem Ring jedes Element entweder eine Einheit oder ein Nullteiler ist.

Ehrlich gesagt, glaube ich nicht, dass das hilft... Schließlich ist ja schon der "nullteilerfreie" Ring ein Gegenbeispiel dafür, wofür du ja selber eine Zeile vorher das Argument geliefert hast...
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ring - Einheiten
Hammer stimmt, da war ich gestern ein wenig vorschnell, ist ja nur in endlichen Ringen so.....
wiley Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ring - Einheiten
Zitat:
Original von lgrizu
Nun musst du überlegen, wann in R_s liegt, das ist doch dann der Fall, wenn s in R liegt (das gilt für alle s) und r in S (das gilt nicht für alle r).



Diese Überlegung hatte ich doch schon getätigt, denn ich hatte doch meine
Menge E so beschrieben, so dass sein muss, damit
. denn wenn , ist ja gerade durch die Vorrausetzung gegeben und wenn .

-----------------------------------

Im ring der ganzen Zahlen sehe ich ein, dass {-1,1} die Menge der Einheiten ist.
Aber dein Beispiel mit ist 5 eine Einheit, da -1 ein repräsentant dieser klasse ist, und -1 * (-1) = 1 ?
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