Anwendung von Cayley-Hamilton

11.02.2011, 17:37

Nakatomi

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Anwendung von Cayley-Hamilton

Edit (mY+): Keine Hilfeersuchen in der Überschrift, bitte! Entfernt und Titel modifiziert.

Meine Frage:
Hallo, ich habe große Probleme bei folgender Aufgabe.
Gegeben ist die Matrix: $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 8\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Jetzt soll man den Satz von Cayley-Hamilton benutzen um $\begin{eqnarray*} A^{10} \end{eqnarray*}$ zuberechnen. ? unglücklich

unglücklich

?

gruß, Naka

Meine Ideen:
Ich stehe gerade so auf dem Schlauch, das glaubt ihr nicht traurig

traurig

11.02.2011, 18:02

ThomasL

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RE: Hilfe bei Aufgabe mit Cayley-Hamilton
ist dir klar, was der Satz von Cayley-Hamilton sagt, und wie das für deine 2x2-Matrix aussieht?

11.02.2011, 18:10

Broly

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Würde mich auch mal interessieren.

Was genau ist der Satz von Cayley-Hamilton eigentlich?Wie funktioniert er?Wikipedia ist da ziemlich knapp und undeutlich.

Bedeutet hier $\begin{eqnarray*} A^{10} \end{eqnarray*}$ eigentlich ganz "normal"
$\begin{eqnarray*} A \cdot A \cdot A \cdot A \cdot A \cdot A \cdot A \cdot A \cdot A \cdot A \end{eqnarray*}$ ?

Grüße

11.02.2011, 18:28

ThomasL

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Zitat:

Original von Broly
Bedeutet hier $\begin{eqnarray*} A^{10} \end{eqnarray*}$ eigentlich ganz "normal"
$\begin{eqnarray*} A \cdot A \cdot A \cdot A \cdot A \cdot A \cdot A \cdot A \cdot A \cdot A \end{eqnarray*}$ ?

Ja.
Wir können uns die Aussage von Cayley-Hamilton an obiger Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ klarmachen: Dazu brauchen wir zuerst das charakteristische Polynom von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .
Dann setzen wir unsere Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ in dieses Polynom ein (wobei die Potenzen der Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ so wie in deinem Beispiel zu verstehen sind). Das Ergebnis ist dann eine Matrix, und nach C-H muss es die Nullmatrix sein.

11.02.2011, 19:01

Broly

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Da ich mich hier quasi nur vorgedrängelt habe weil ich auch so ne Aufgabe habe schreibe ich hier nur mal formeln rein.Also um das charakteristische Polynom zu berechnen muss man bei einer 2x2 Matrix nur

$\begin{eqnarray*} det(A-\lambda\vec{e}) \end{eqnarray*}$ rechnen ?

Also
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}- \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1\end{pmatrix} = det(\begin{pmatrix} a-\lambda&b \\ c&d-\lambda \end{pmatrix}) = (a-\lambda)\cdot (d-\lambda) - cb = ad-\lambda a-\lambda d + \lambda^2-cd \end{eqnarray*}$

und jetzt für a,b,c,d die Werte der Matrix einsetzen(?) und was ist mit $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ?

Grüße

11.02.2011, 21:01

hnky

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ich habe eine frage zur aufgabenstellung: ist wirklich explizit verlangt, das ganze über cayley-hamilton zu lösen?

@broly: ja, du hast das prinzip richtig erkannt. du musst letzteres nur noch gleich 0 setzen und nach $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ auflösen, um die eigenwerte zu erhalten, denn diese sind nullstellen des char. polynoms.

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11.02.2011, 21:18

ThomasL

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Zitat:

Original von Broly
Also
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}- \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1\end{pmatrix} = det(\begin{pmatrix} a-\lambda&b \\ c&d-\lambda \end{pmatrix}) = (a-\lambda)\cdot (d-\lambda) - cb = ad-\lambda a-\lambda d + \lambda^2-cd \end{eqnarray*}$

ganz am Schluss hat es einen Schreibfehler: statt $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ sollte es $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ heissen. Vorne sollte man noch $\begin{eqnarray*} \det \end{eqnarray*}$ davorschreiben und die Differenz in Klammern setzen. Aber sonst stimmt deine Rechnung.

Zitat:

und jetzt für a,b,c,d die Werte der Matrix einsetzen(?) und was ist mit $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ?

ja - das Lambda ist die Variable des Polynoms, die bleibt also drin.

@hnky: nein, es geht hier nicht um die Berechnung der Eigenwerte.

11.02.2011, 21:37

Guest123

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A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}

P_A(\lambda )=det \left(A-\lambda E \right)

P_A(\lambda )=det \begin{vmatrix} \lambda * \begin{pmatrix} 1 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 \\2 & 4 \end{pmatrix} \end{vmatrix}

=det\begin{vmatrix} \lambda -1 & -2 \\ -2 & \lambda -4 \end{vmatrix}

=\left(\lambda -1\right) * \left(\lambda -4\right)-\left(-2*-2\right)

=\lambda^{2}-5\lambda

Und dann kommt der Cayley-Hamilton

11.02.2011, 21:46

Guest123

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sry hab da was vergessen ^^ warum das nun rechtsbündig ist kA :-/

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} <br /> <br /> P_A(\lambda )=det \left(A-\lambda E \right)<br /> <br /> P_A(\lambda )=det \begin{vmatrix} \lambda * \begin{pmatrix} 1 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 \\2 & 4 \end{pmatrix} \end{vmatrix} <br /> <br /> =det\begin{vmatrix} \lambda -1 & -2 \\ -2 & \lambda -4 \end{vmatrix} <br /> <br /> =\left(\lambda -1\right) * \left(\lambda -4\right)-\left(-2*-2\right)<br /> <br /> =\lambda^{2}-5\lambda \end{eqnarray*}$

11.02.2011, 21:58

Broly

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Danke!

Guest, das ist ne andere Aufgabe als der Threadstartet hat btw ;D

Okay aber gut nehmen wir an man hat jetzt das charackteristische polynom der Matrix ausgerechnet wie gehts dann weiter? Was ist C-H bzw. wie benutzt man ihn?

12.02.2011, 11:25

root

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Es ist schon richtig das erst das charateristische Polynom bestimmt wird.
Wenn wie schon richtig berechnet das Polynome $\begin{eqnarray*} \lambda^{2}-5\lambda \end{eqnarray*}$
ist dann folg aus Caley Hamilton $\begin{eqnarray*} A^{2}-5A=0 \end{eqnarray*}$ und somit hast du schon $\begin{eqnarray*} A^{2}=5A \end{eqnarray*}$

12.02.2011, 14:33

Broly

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Was habe ich davon jetzt und was hat das mit dem $\begin{eqnarray*} A^{10} \end{eqnarray*}$ zutun?

12.02.2011, 14:48

root

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jetzt kann man doch mal den nächsten schritt machen also $\begin{eqnarray*} A^3 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} A^3=A^2*A \end{eqnarray*}$

für A² setzt du jetzt dein 5A ein

$\begin{eqnarray*} 5A*A=5A^2=25A \end{eqnarray*}$

und daraus kann man dann sehen das

$\begin{eqnarray*} A^n=5^{n-1} * A \end{eqnarray*}$

geht bestimmt auch noch eleganter aber mir hat es erstma gereicht....

12.02.2011, 15:11

ThomasL

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das Prinzip stimmt schon, aber das charakteristische Polynom von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist nicht $\begin{eqnarray*} \lambda^2-5\lambda \end{eqnarray*}$ ...

@hnky: Damit kein Missverständnis entsteht: Es stimmt schon, dass man Potenzen auch durch Diagonalisieren berechnen kann (falls die Matrix diagonalisierbar ist), was du wahrscheinlich im Sinn hattest in deinem Beitrag oben. Aber in dieser Aufgabe war explizit Cayley-Hamilton verlangt.

12.02.2011, 17:09

root

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das charaktaristische Polynom sollte $\begin{eqnarray*} \lambda^2-10\lambda \end{eqnarray*}$ sein und nach
Caley Hamilton ist dann $\begin{eqnarray*} A^2-10A=0 \end{eqnarray*}$ und daraus $\begin{eqnarray*} A^2=10A \end{eqnarray*}$
und wir haben daraus in der uni dann sowas wie aus meinem letzten post abgeleitet

12.02.2011, 17:39

Broly

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Also mal angenommen ich habe die Matrix:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1&2 \\2&4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann ist das c. Polynom:

$\begin{eqnarray*} det(\begin{pmatrix}1-\lambda & 2 \\ 2& 4-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda)-4= 4 -\lambda -4\lambda+\lambda^2 -4 = -5\lambda +2 \lambda^2 \end{eqnarray*}$

Für das lambda kann ich A einsetzen?

$\begin{eqnarray*} -5A + A^2 = 0 <br /> => A^2 = 5A<br /> => A^3 = 5A*A = 5A^2=25A<br /> => A^4 = A^3*A=25A*A=25A^2=125A<br /> =>A^5=A^4 * A =125A^2 = 625 A <br /> => A^6 = A^5*A = 625A^2 =3125A<br /> =>A^7 = A^6*A = 3125A^2 =15625A<br /> =>A^8 = A^7*A = 15625A^2 =78125A<br /> =>A^9 = A^8*A = 78125A^2 =390625A<br /> =>A^{10} =A^9*A = 390625A^2 =1953125A \end{eqnarray*}$

so oder was ? xD sieht ziemlich "doof und sinnlos " aus...

13.02.2011, 09:41

root

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Zitat:

Original von Broly
Für das lambda kann ich A einsetzen?

Ja das kannst du.

Zitat:

Original von Broly
$\begin{eqnarray*} -5A + A^2 = 0 <br /> => A^2 = 5A<br /> => A^3 = 5A*A = 5A^2=25A<br /> => A^4 = A^3*A=25A*A=25A^2=125A<br /> =>A^5=A^4 * A =125A^2 = 625 A <br /> => A^6 = A^5*A = 625A^2 =3125A<br /> =>A^7 = A^6*A = 3125A^2 =15625A<br /> =>A^8 = A^7*A = 15625A^2 =78125A<br /> =>A^9 = A^8*A = 78125A^2 =390625A<br /> =>A^{10} =A^9*A = 390625A^2 =1953125A \end{eqnarray*}$

Denn Großteil davon hättest du dir sparen können.
Aus A² und A³ kann man doch schon sehen das $\begin{eqnarray*} A^n=5^{n-1}*A \end{eqnarray*}$ ist und
dann $\begin{eqnarray*} A^{10}=5^{9}*A=> 1953125A \end{eqnarray*}$

13.02.2011, 12:53

Broly

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Zitat:

Original von root

Denn Großteil davon hättest du dir sparen können.
Aus A² und A³ kann man doch schon sehen das $\begin{eqnarray*} A^n=5^{n-1}*A \end{eqnarray*}$ ist und
dann $\begin{eqnarray*} A^{10}=5^{9}*A=> 1953125A \end{eqnarray*}$

ja natürlich aber ich wollte erstens das Prinzip verstehen und hab es deswegen durchgerechnet und 2. ist die Frage wenn ich das komplett mit C-H durchrechnen muss kann ich dann die zwischenschritte weglassen oder muss ich sie machen?

Ansonsten wenn ich $\begin{eqnarray*} A^{10} \end{eqnarray*}$ berechnen soll bin ich jetzt komplett damit fertig?

Also ist $\begin{eqnarray*} A^{10 }= 1953125A \end{eqnarray*}$ oder muss ich da jetzt Beispielsweise noch die ursprungswerte von A einsetzen und ne neue MAtrix draus machen?^^

Grüße

14.02.2011, 02:31

Broly

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Mag da keiner mehr was zu sagen?

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