Ein paar Fragen zu Ebenen und Geraden

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fabe Auf diesen Beitrag antworten »
Ein paar Fragen zu Ebenen und Geraden
Also ich habe folgende Fragen:

1. Bestimmen Sie eine Gerade g1, die parallel zu E ist und durch den Koordinatenursprung geht. Gibt es noch weitere Geraden mit dieser Eigenschaft?
E: 2x-y+z

Und dann noch Folgendes:

1. Geben sie eine parameterfreie Darstellung der Ebene E an, die P1, P2 und P3 enthält. P1(1,0,1), P2(1,1,0) und P3(0,1,1)
Lösungsansatz: Richtungsvektoren von P1P2 und P1P3 bilden. Dann den Normalenvektor dazu und dann hat man es ja.
Und daran anknüpfend:
2. Geben Sie eine parameterfreie Darstellung einer Ebene E1 an, die parallel zu E verläuft und einen Abstand von 1 zu E hat. Wieviele solcher Ebenen E1 gäbe es?

Bitte helft mir weiter! Ist sehr dringend! Danke im Voraus
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Lieber Fragesteller,

leider hast du keine eigenen Gedanken oder Ansätze zum Lösen deines Problems aufgeschrieben. Dies ist aber unbedingt notwendig, wenn du Hilfe haben möchtest. Deshalb schreibe noch auf, welche Überlegungen du schon angestellt hast. Bitte achte auch darauf, deine Frage klar und präzise zu formulieren (z.B die gesamte Aufgabenstellung aufschreiben), damit dir jemand helfen kann.

Dein MatheBoard-Team
fabe Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1. : Der Nullpunkt wäre ein Aufpunkt auf g1. Aber ich weiß leider nicht wie ich die Parallelität damit verknüpfen kann.

Zu Folgendes 1. : Sie Lösungsansatz

Zu Folgendes 2. : Da ist es wieder das Problem mit der Parallelität.

Bitte helft mir weiter!
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zu 1. : Der Nullpunkt wäre ein Aufpunkt auf g1. Aber ich weiß leider nicht wie ich die Parallelität damit verknüpfen kann.


Wenn Ebene und Gerade (echt) parallel zueinander liegen, wie müssen dann Richtungsvektor der Geraden und Normalenvektor der Ebene zueinander liegen ?

Zitat:
Zu Folgendes 1. : Sie Lösungsansatz


Ansatz stimmt, nur damit erhält man zunächst nur einen möglichen Normalenvektor, etwas fehlt da dann noch.

Zitat:
Zu Folgendes 2. : Da ist es wieder das Problem mit der Parallelität.


Was kann man über die Normalenvektoren zweier zueinander parallel liegender Ebenen aussagen ?
Kennst du die Abstandsformel (Punkt-Ebene) ?

Übrigens ist E: 2x-y+z keine vollständige Ebenengleichung Augenzwinkern
fabe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ein paar Fragen zu Ebenen und Geraden
@Bjoern1982

Vielen Dank für deine Hilfe!

Bei der 1. stand ich irgendwie voll auf dem Schlauch. Mal schauen ob ich's jetzt rausbekomme

Bei Folgendes 1.: Naja man muss halt in ax+by+cz+d=0 für a,b,c die Werte des Normalenvektors einsetzen, dann einen der Aufpunkte, z.b. P1 für x,y,z einsetzen und dann d berechnen, oder?

Bei Folgendes 2.: Bin mir nicht sicher was du meinst. Der Abstand ist ja die Länge des Normalenvektors. Aber welche Formel meinst du?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Bei Folgendes 1.: Naja man muss halt in ax+by+cz+d=0 für a,b,c die Werte des Normalenvektors einsetzen, dann einen der Aufpunkte, z.b. P1 für x,y,z einsetzen und dann d berechnen, oder?


Richtig Freude

Zitat:
Der Abstand ist ja die Länge des Normalenvektors.


Nein, wie kommst du darauf ?

Zitat:
Aber welche Formel meinst du?


Die Formel für den Abstand "Punkte-Ebene" (hat mit der HNF zu tun).
 
 
fabe Auf diesen Beitrag antworten »

@Bjoern1982


Zu 1.:
Also bin auf Folgendes gekommen.
(0,0,0) ist der Aufpunkt auf der Geraden. Der Richtungsvektor v von g1 ist senkrecht zum Normalenvektor n von E. Also ist deren Skalarprodukt gleich 0. Wenn v (a,b,c) ist dann ist das Skalarprodukt mit n 2a-b+c=0. Und dann hab ich einfach passende Werte eingesetzt, d.h. a=1;b=2 und c=0.
Die Gerade g1 ist also g1:x= (0,0,0) + t*(1,2,0).

Wäre dies eine Möglichkeit für g1?

Die Formel sagt mir jetzt nichts. Aber Der Abstand zweier Ebenen kann man doch auch als die Länge des Normalenvektors ansehen, also von n. Oder?

Vielen vielen Dank für deine Hilfe!
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wäre dies eine Möglichkeit für g1?


Freude

Zitat:
Aber Der Abstand zweier Ebenen kann man doch auch als die Länge des Normalenvektors ansehen,


Hmm also ich weiß wirklich nicht wie du darauf kommst, vielleicht verwechselt du da irgendwas verwirrt

Wenn du diese Abstandsformel bzw die HNF einer Ebene nicht kennst, könntest du auch einfach in einem Punkt von E starten und von dort aus in Richtung eines Normalenvektors von E um 1 Einheit "wandern". Dafür ist das Normieren, also das Dividieren deines Normalenvektor durch seine Länge, notwendig, denn dadurch hat er dann die (gewünschte) Länge 1.
Der Punkt, den du damit erreichst liegt in jedem Fall in deiner gesuchten Ebene.
Nun bleibt nur noch die Frage offen welchen Normalenvektor man für die zu E parallele Ebene nehmen könnte Augenzwinkern
fabe Auf diesen Beitrag antworten »

Das 1. richtig ist baut einen richtig aufAugenzwinkern

Ja ich werde mal deinen Weg verfolgen um auf das Ergebnis zu Folgendes 2. rauszubekommen.

Mein Gedanke war halt folgender. Man weiß, dass n der Normalenvektor von E ist. Und auch von E1 da die beiden Ebenen ja parallel sind. Aber ist es nicht so, dass die Länge dieses Vektors nicht gleich dem Abstand ist? Gut möglich, dass ich da jetzt was verwechsel. Wollte wissen, ob das jetzt generell ein falscher Denkansatz von mir für solche Aufgabentypen ist?

Weiterhin vielen Dank für deine Hilfe!
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Man weiß, dass n der Normalenvektor von E ist. Und auch von E1 da die beiden Ebenen ja parallel sind.


Das ist schonmal der erste wichtige Gedankengang und im Prinzip schon die halbe Miete, denn eine Ebenengleichung ist durch einen Normalenvektor und einen in ihr liegenden Punkt P eindeutig charakterisiert.
Wie man an einen solchen Punkt P kommen kann, hatte ich bereits beschrieben.

Zitat:
Aber ist es nicht so, dass die Länge dieses Vektors nicht gleich dem Abstand ist?


Nicht automatisch, wenn du ihn auf die Länge 1 bringst, dann ja.
Oder von welchem Abstand redest du ? verwirrt
Wenn du eine Ebenengleichung der Form ax+by+cx=d durch die entsprechende Länge des ablesbaren Normalenvektors dividierst, dann entspricht der Betrag auf der rechten Seite dem Abstand der Ebene vom Ursprung.
Evtl spukt dir das auch im Kopf herum ?
fabe Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe jetzt mal folgenden Lösungsansatz überlegt:
E1: x+y+z=d, da ja beide Ebenen den gleichen Normalenvektor haben. Dann wird d auf die linke Seite gebracht und die Ebene gleich 1 gesetzt da der Abstand ja so großt ist. Und dann hab ich mir überlegt, dass ich den Abstand vom Punkt P1 aus betrachte. Also für x,y,z die Werte 1,0,1, die Werte von P1 eben einsetze. Dann teil ich wie du schon gesagt hattest das ganze durch die Länge vom Normalenvektor. Der Betrag wird nun nach d aufgelöst. Und dann erhält man 2 Werte, da es ja ein Betrag ist und somit auch zwei mögliche Ebenen.

Das Problem war halt, dass wir solche Aufgaben nie besprochen haben und dann kam sowas einfach in der Probeklausur dran. Ich hoffe ich habs jetzt endlich verstanden damit ich dies dann in der Klausur am Freitag, falls so eine Aufgabe denn drankäme, auch beherrsche.

Ich möchte mich für deine Hilfe ganz herzlich bedanken! Hast mir echt weitergeholfen!
Freude
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