Eigenvektor

11.02.2011, 23:51

knopf

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Eigenvektor

Meine Frage:
Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N , n \geq\ 3 , seien x,y \in \mathbb R ^{n} mit <br /> x^{T}x = y^{T}y = 1 <br /> und <br /> x^{T}y = \frac{1}{2} <br /> und A= xx^{T} + yy^{T} und B= xy^{T} + yx^{T} \end{eqnarray*}$

Ok, liebe Helfer,
nicht wundern, es sind die gleichen Vorraussetzungen wie aus einer anderen Frage von mir. Es gibt mehrere Teilfragen. Und ich hänge leider wieder...

Frage(n) ist: $\begin{eqnarray*} x \times y \end{eqnarray*}$ ist KEIN Eigenvektor von B?
Ein weitere Teilfrage: A+B ist regulär?

Meine Ideen:
Ich weiß wirklich nicht, wie das Kreuzprodukt aus x und y mir etwas über den Eigenvektor von B sagen kann. Ist ein Eigenvektor immer orthogonal auf den Spaltenvektoren der Matrix? - Keinen Dunst...

Und A+B regulär? regulär: Rang = Spaltenanzahl,- aber sonst...

12.02.2011, 00:03

Bjoern1982

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Was entsteht denn durch das Kreuzprodukt von x und y ganz allgemein ?

12.02.2011, 00:29

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Hallo

Augenzwinkern

Ein Vektor der auf x und y senkrecht steht?

12.02.2011, 00:49

Bjoern1982

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Hi

Augenzwinkern

Genau, ich muss allerdings gestehen, dass ich mittlerweile einen anderen Ansatz habe, weil dieser (glaube ich zumindest) zu nichts führt.
Worauf ich eigentlich hinaus wollte ist, dass durch deine eben erwähnte Tatsache wegen $\begin{eqnarray*} B \cdot v=\lambda \cdot v \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v=x\times y \end{eqnarray*}$ dann was gelten muss ?

12.02.2011, 00:57

knopf

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keine Ahnung. Ich weiß leider nichts mit der Info anzufangen, dass v senkrecht steht verwirrt

verwirrt

12.02.2011, 00:58

Bjoern1982

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Ist dir denn klar woher ich dieses $\begin{eqnarray*} B \cdot v=\lambda \cdot v \end{eqnarray*}$ habe ?

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12.02.2011, 01:00

knopf

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} B \cdot v=\lambda \cdot v \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v=x\times y \end{eqnarray*}$ dann was gelten muss ?

zuerst dachte ich, dass ich $\begin{eqnarray*} v=x\times y \end{eqnarray*}$ irgendwo/irgendwie einsetzen könnte, und dann auf ein kriterium für eigenvektoren anwende...aber

12.02.2011, 01:01

knopf

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Ist dir denn klar woher ich dieses $\begin{eqnarray*} B \cdot v=\lambda \cdot v \end{eqnarray*}$ habe ?

das kommt vom der "allg. Eigenwertgleichung" (weiß nicht die genaue Bez.), oder?

12.02.2011, 01:03

Bjoern1982

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Genau. Und jetzt stell dir vor wir schauen einfach mal was für $\begin{eqnarray*} B \cdot v \end{eqnarray*}$ hier entstehen muss.
Deine Idee mit dem Einsetzen war schon richtig, wie würde das denn dann aussehen ?

12.02.2011, 01:11

knopf

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$\begin{eqnarray*} B \cdot v=\lambda \cdot v \end{eqnarray*}$
Also ich dachte, dass ich $\begin{eqnarray*} x\times y \end{eqnarray*}$ dann irgendwie in beiden Seiten der Gleichung verwerten kann. Aber dafür bräuchte ich dann ja auch einen Eigenwert. Und das erschien mir auch nicht schlüssig...

12.02.2011, 01:17

Bjoern1982

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Wie gesagt, betrachten wir erstmal $\begin{eqnarray*} B \cdot v=(xy^T+yx^T) \cdot (x \times y)=xy^T(x \times y)+yx^T(x \times y) \end{eqnarray*}$

Entscheidend ist jetzt, was denn zwangsweise aus $\begin{eqnarray*} y^T(x \times y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^T(x \times y) \end{eqnarray*}$ werden muss, wenn durch $\begin{eqnarray*} x \times y \end{eqnarray*}$ ja ein zu x und y senkrechter Vektor ensteht.

12.02.2011, 01:33

knopf

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Zitat:

Entscheidend ist jetzt, was denn zwangsweise aus $\begin{eqnarray*} y^T(x \times y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^T(x \times y) \end{eqnarray*}$ werden muss,..

ich stell' mir irgendetwas falsch vor. wenn ich überlege was aus den einzelnen komponenten wird, -- dann kommt da eine zahl für mich heraus. das kann ja nicht sein unglücklich

unglücklich

12.02.2011, 01:36

Bjoern1982

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Doch doch, da kommt eine Zahl (ein Skalar) raus, die Frage ist welche Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hier wird doch ein Vektor mit einem anderen Vektor multipliziert, und diese beiden Vektoren stehen senkrecht zueinander...
Was hat sowas immer zur Folge ?

12.02.2011, 01:40

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Aber die werden nur "normal" multiplziert, oder hab ich da was vergessen? und dann werden die komponenten mal genommen, oder nicht?

12.02.2011, 01:43

Bjoern1982

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Es sind ja eh keine konkreten Vektoren gegeben.
Es geht hier nur um das so genannte Skalarprodukt zweier zueinander senkrecht stehender Vektoren.
Das hat immer einen bestimmten Wert (dafür muss man also nicht rechnen).

12.02.2011, 01:44

knopf

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null.
aber ich dachte hier wird gar kein skalarprodukt gerechnet. da kann ich grad nicht folgen?

12.02.2011, 01:48

Bjoern1982

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Doch, die beiden Produkte $\begin{eqnarray*} y^T(x \times y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^T(x \times y) \end{eqnarray*}$ sind nichts anderes als Skalarprodukte.
Der eine (tranponierte) Vektor ist $\begin{eqnarray*} y^T \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} x^T \end{eqnarray*}$ und der andere ergibt sich aus dem Kreuzprodukt von x und y.

12.02.2011, 01:50

knopf

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Oh, ok. das nehme ich jetzt als neues Wissen auf (c: Aber zurück zum Problem. Wenn die jetzt Null werden. Was weiß ich dann?

12.02.2011, 01:55

Bjoern1982

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Kommen wir also nochmal hierhin zurück:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} B \cdot v=(xy^T+yx^T) \cdot (x \times y)=xy^T(x \times y)+yx^T(x \times y) \end{eqnarray*}$

Was passiert denn dann für $\begin{eqnarray*} B \cdot v \end{eqnarray*}$ wenn ich die entsprechenden Sklarprodukte null setze ?

12.02.2011, 01:57

knopf

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das ganze wird Null?

12.02.2011, 02:00

Bjoern1982

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Ensteht aus $\begin{eqnarray*} B \cdot v \end{eqnarray*}$ eine Zahl (Skalar) oder ein Vektor ?

12.02.2011, 02:02

knopf

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also wenn v tatsächlich ein vektor wäre, hätte ich gesagt vektor. weil matrix B mal vektor. aber jetzt ist v ja null. also zahl.

12.02.2011, 02:06

Bjoern1982

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v ist nicht null.
Wir haben doch nun $\begin{eqnarray*} B \cdot v=x \cdot 0 +y \cdot 0 \end{eqnarray*}$
x und y sind Vektoren, das bedeutet also ?

12.02.2011, 02:08

knopf

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das v ein Vektor ist, sodass B auf null abgebildet wird?

12.02.2011, 02:08

knopf

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also die gleichung B * v = 0 erfüllt?

12.02.2011, 02:11

Bjoern1982

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Nein, B*v ist tatsächlich ein Vektor, hier also der Nullvektor (nicht null als Zahl).
Ok ?

12.02.2011, 02:15

knopf

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ahm. ja. doch. nur noch den bogen zur Frage. so wie ich das jetzt verstehe, ist also v (bzw. das kreuzprodukt aus x und y) ein Eigenvektor von B. Wäre also die Gleichung nicht "aufgegangen" wenn v KEIN Eigenvektor wäre?

12.02.2011, 02:18

Bjoern1982

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Der Bogen zur Frage ergibt sich wenn wir jetzt schauen was das nun für unsere Gleichung $\begin{eqnarray*} B \cdot v=\lambda \cdot v \end{eqnarray*}$ für Auswirkungen hat.
Wenn auf der linken Seite nun der Nullvektor steht (denn das haben wir ja gerade ausgerechnet), was muss dann auf der rechten Seite gelten damit die Gleichung wahr ist ?

12.02.2011, 02:20

knopf

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Ein Eigenwert ist Null?

12.02.2011, 02:22

knopf

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Also weil v ist ja nicht Null.

12.02.2011, 02:25

Bjoern1982

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Genau, denn v als Eigenvektor kann ja selbst nicht der Nullvektor sein und so kann die Gleichung nur für $\begin{eqnarray*} \lambda=0 \end{eqnarray*}$ wahr werden.

12.02.2011, 02:32

knopf

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ok. also ich werde gleich schlafen gehen und freu mich, dass mir jemand zu dieser späten stunde geholfen hat Tanzen

Tanzen

aber davor würd' ich gerne noch meine letzten ?? klären. woher weiß ich denn jetzt, dass das stimmt das 0 ein Eigenvektor von B ist?

12.02.2011, 02:37

Bjoern1982

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Du meinst "kein Eigenvektor" statt "ein Eigenvektor" oder ?

Eigenvektoren sind eben so definiert, also dass sie sie ungleich dem Nullvektor sein müssen und wir hatten zudem ja schon in einer vorherigen Aufgabe angesprochen, dass x und y linear unabhängig sind und auch daher kann das Kreuzprodukt von x und y nicht null werden (siehe auch unter Eigenschaften des Kreuzproduktes).

12.02.2011, 02:39

knopf

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entschuldige, ich meinte eigenwert!

12.02.2011, 02:41

knopf

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weil mit dem vektor "v" ist ja jetzt null als eigenwert herausgekommen. und um jetzt zu sagen, ob v tatsächlich eigenvektor ist, muss 0 ja auch der passende eigenwert sein oder?

12.02.2011, 02:45

Bjoern1982

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Ja genau wir haben damit quasi eine Lösung der Eigenwertbedingung $\begin{eqnarray*} B \cdot v=\lambda \cdot v \end{eqnarray*}$ gefunden, also einen passenden Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ zum Eigenvektor $\begin{eqnarray*} x \times y \end{eqnarray*}$ , und damit gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} x \times y \end{eqnarray*}$ in der Tat ein Eigenvektor von B ist.

12.02.2011, 02:48

knopf

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Prima, jetzt kann ich erstmal schlafen.
Schläfer

Schläfer

erneut: (riesiges!!!) Danke!
und erstmal gute Nacht!

12.02.2011, 02:51

Bjoern1982

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Keine Ursache, dir auch eine gute Nacht smile

smile

Edit:

Übrigens kannst du dasselbe Spielchen auch mal mit A+B probieren um eine Antwort auf deine andere Frage zu bekommen:

Zitat:

Ein weitere Teilfrage: A+B ist regulär?

Versuche nachher den Zusammenhang "regulär - invertierbar - bijektive Abbildung" zu benutzen.

12.02.2011, 14:25

knopf

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Danke noch für den Tipp (c: das werde ich heute auf jeden Fall noch mal durchspielen, - und dann hab ich da bestimmt noch mal ein Fragezeichen...

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