Dimension und Basis einer Matrix Lösungsproblem |
| 12.02.2011, 20:16 | Sneik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Dimension und Basis einer Matrix Lösungsproblem Hallo, da ich in zwei Tagen eine Matheklausur schreibe, bin ich wie erwartet im Lernstress. Nun da ich bei der Lösung zur Probeklausur einige Probleme bzw. Falschangaben vermute, wollte ich dies mal hier posten und um Hilfe bzw. Korrektur bitten. Aufgabe: Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis des Kerns der Matrix A = 2 4 5 6 3 1 2 3 0 2 4 8 9 18 5 Meine Lösung: Stufenform: 2 4 5 6 3 0 0 1/2 -3 1/2 0 0 0 0 0 Da laut Wikipedia (Link: http://de.wikipedia.org/wiki/Rang_(Mathematik)#Berechnung) der Rang so zu bestimmen ist, geh ich von einem Rang von 2 aus. Bisher war ich der Meinung Rang und Dimension seien dasselbe. Falls dies nicht der Fall ist, was müsste ich tun um von dem Rang auf die Dimension zu kommen. Als Basis hätte ich die zwei Pivotspaltenvektoren (2, 0, 0) und (5, 1/2, 0) gewählt. Die Lösung laut Blatt ist folgende: 2 4 5 6 3 1 2 3 0 2 4 8 9 18 5 1 2 3 0 2 2 4 5 6 3 4 8 9 18 5 1 2 3 0 2 0 0 -1 6 -1 0 0 -3 18 -3 1 2 3 0 2 0 0 -1 6 -1 0 0 0 0 0 1 2 0 18 -1 0 0 1 -6 1 0 0 0 0 0 dim(N(A)) = 3 BN(A) = { (-2, 1, 0, 0, 0) (-18, 0, 6, 1, 0) (1, 0, -1, 0, 1) } So ich wüsste gerne was ich falsch verstanden habe, und wie ich es anders machen muss, um zu dem richtigen Ergebnis zu kommen. Da ich bereits einige Stunden nach meinem Problem gesucht habe, hoffe ich das mir hier geholfen werden kann. Zudem bitte ich um baldige Antwort, da mir nurnoch heute und morgen als Vorbereitung bleibt, und ich würde gerne noch diesen Fehler loswerden. Vielen Dank! MFG, Sneik Meine Ideen: |
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| 12.02.2011, 20:20 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Dimension und Basis einer Matrix Lösungsproblem [Artikel] Basis, Bild und Kern
Siehst du, wo der Denkfehler ist?
Dimension von was? edit: Ich bin nun eine Weile off. |
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| 13.02.2011, 13:51 | [email protected] | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, danke schonmal für die Antwort und für den Link zu dem Tutorial. Wenn ich nach deinem Tutorial gehe muss ich - wenn ichs richtig verstanden habe - um auf den Kern der Matrix zu kommen die Matrix mit dem Nullvektor verrechnen. (Mv=0) Jedoch hab ich da noch ein Verständnisproblem. Stufenform: 2 4 5 6 3 0 0 1/2 -3 1/2 0 0 0 0 2 Damit wäre schonmal klar x5 = 0 (s. letzte Zeile Stufenform). Oder nicht? Kann ich jetzt den Teil der Matrix, welcher unter der 5, 6 und 3 steht weiter verkleinern oder ist das mathematisch falsch? Sodass bei mir folgendes als weiterer Schritt wäre. 2 4 5 6 3 0 0 0 -36/10 -1/5 0 0 0 0 6/5 Damit wäre (falls das noch korrekt ist, wovon ich irgendwie nicht ausgehe) x4 = 0 und x5 = 0 Falls dies jedoch doch korrekt sein sollte, wie komme ich auf die restlichen x1, x2 und x3 und was fange ich dann damit an bzw. ist das dann der Kern der Matrix? mfg Sneik |
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| 13.02.2011, 15:04 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
1. Bleibe bei einem Namen 2. Verwende latex für lesbare Beiträge. Es geht um die Matrix: Sie kann maximal den Rang 3 besitzen, also ist der Kern mindestens von der Dimension 2. Nun steht ihm Link doch ganz deutlich, was zu tun ist. Es muss der Lösungsraum (dessen Dimension) des homogenen LGS Ax=0 bestimmt werden. Dazu bringt man die Matrix auf Zeilenstufenform. Dann kann man die parametrisierte Lösung ablesen. Da verstehe ich dein Vorgehen nun nicht. |
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| 13.02.2011, 15:33 | [email protected] | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich würde ja bei einem Namen bleiben, wenn er mir nciht immer sagen würde das der Benutzername ungültig ist... Leider hat das aktivieren wohl gestern nicht geklappt und die email hab ich auch schon gelöscht... Ist doch meine Zeilenstufenform.... daraus kann man doch jetzt wie von dir gesagt die parameterisierte Lösung ablesen. Oder nicht?? Wenn nicht könntest du mir bitte mal sagen was ich ändern muss, sodass ich endlich aufhören zu grübeln und anfangen zu verstehen kann?? |
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| 13.02.2011, 15:52 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Neue Mail. Es folgt durch Rückwärtssubstitution: Nun ist x2 wieder frei wählbar. Also neuen Parameter vergeben. 
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| 13.02.2011, 16:08 | [email protected] | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja gut nur irgendwo muss mir doch noch was fehlen ich hab nur 3 Funktionen und 5 Parameter insgesamt. |
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| 13.02.2011, 16:21 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Deswegen sagte ich ja auch schon, dass der Kern mind. die Dimension 5-3=2 hat.
Hast du denn nun mal die Lösung in Abhg. von Parametern ermittelt? Damm kannst du doch auch den Lösungsraum angeben. |
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| 13.02.2011, 16:25 | [email protected] | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich nehme an das die Lösung in Abhängigkeit von Parametern das ist. |
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| 13.02.2011, 16:33 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein. Du siehst doch im Link, wie die Lösung aufbereitet werden muss. Wie zeit am Ende der Lösungsvektor x in Abhängigkeit von t und z aus? |
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| 13.02.2011, 16:52 | [email protected] | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du meinst so? |
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| 13.02.2011, 16:54 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, den der Vektor x stammt ja aus dem R^5. |
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| 13.02.2011, 17:09 | [email protected] | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
da bin ich ja beim selben Problem wie vorhin. Komme nicht auf x1 oder x2 selbst wenn ich dafür parameter einsetze, fehlen mir die Funktionen um nach den Parametern aufzulösen. Naja ich bin jetzt erstmal ne runde schlafen bissl energien sammeln und dann wag ich mich nochmal von vorne an die Aufgabe, vllt find ich ja meinen Logikfehler wenn ich ausgeschlafen bin. |
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