komplexe gleichung ((z+1)^3)+8=0 lösen

Neue Frage »

13.02.2011, 13:32	gast345	Auf diesen Beitrag antworten »
komplexe gleichung ((z+1)^3)+8=0 lösen Meine Frage: Hallo ich bräuchte mal Hilfe bei folgender Gleichung $\begin{eqnarray} \left(z+1\right)^{3} + 8= 0 \end{eqnarray}$ ich habe keine Ahnung wie ich anfangen soll.... Meine Ideen:
13.02.2011, 13:39	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Substituiere $\begin{eqnarray} w:=z+1 \end{eqnarray}$ und löse $\begin{eqnarray} w^3+8=0 \end{eqnarray}$ .
13.02.2011, 13:46	gast345	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das habe ich auch schon gemacht.dann komme ich auf z=-3 so aber meine aufgabenstellung lautet: geben sie alle Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray} \left(z+1\right)^{3} + 8= 0 \end{eqnarray}$ und stellen sie diese in kartesischer Form dar.
13.02.2011, 13:49	tito	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde die 8 auf die Rechte Seite bringen und dann auf beiden Seiten wurzel ziehen. Dann hab ich z+1=-2 und z=-3
13.02.2011, 13:53	gast345	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja aber wenn z eine komplexe Zahl ist, wie soll ich jetzt z=-3 in kartesischer Form darstellen? Das heißt ja das \|z\| = -3 und das geht doch nicht oder? Oder hab ich da jetzt einen Denkfehler drin?
13.02.2011, 14:00	gast345	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry! Ich hatte glaube ich gerade kurz Hirntod....also ich hab jetzt letztendlich $\begin{eqnarray} z= 3 \left(cos\pi + 0 \sin\pi \right) \end{eqnarray}$ raus...stimmt das so?
Anzeige

13.02.2011, 14:09	m-power	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Es gibt drei Lösungen dieser Gleichung. Eine ist $\begin{eqnarray} z=-3. \end{eqnarray}$ Diese kann man auch schreiben als $\begin{eqnarray} z= -3 = -3(\cos (0)+ i \cdot \sin (0)) \end{eqnarray}$ . Die anderen beiden Lösungen lauten: $\begin{eqnarray} +i \sqrt{3},\ -i \sqrt{3}. \end{eqnarray}$ Gruß, m-power
13.02.2011, 14:15	gast345	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja und wie kommst du darauf?....ich hab übrigens die falsche Form geschrieben.... z=-3+0i wäre dann richtig oder?
13.02.2011, 14:18	Lentio	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Wie kommt man denn auf die Ergebnisse $\begin{eqnarray} \pm \sqrt{3}i \end{eqnarray}$ ? uuups...zu langsam
13.02.2011, 16:04	gast345	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo? Ich würde mich wirklich über weiter Antworten bzw. über den Weg zu den Ergebnissen $\begin{eqnarray} \pm \sqrt{3} i \end{eqnarray}$ freuen...
13.02.2011, 16:26	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Um mal bei meiner obigen Notation zu bleiben: Du musst also $\begin{eqnarray} w^3+8=0 \end{eqnarray}$ lösen bzw $\begin{eqnarray} w^3=-8 \end{eqnarray}$ und dafür siehst du sofort eine Lösung, nämlich $\begin{eqnarray} w=-2 \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} (-2)^3=-2^3=-8 \end{eqnarray}$ . Nun kann man im Komplexen aber schlicht nicht "einfach" die Wurzel ziehen wie manche meinen, man muss schon ein bischen aufpassen. Genauer gesagt kann man jede Lösung die man hat mit einer - hier dritten - Einheitswurzel multiplizieren und man kriegt wieder eine Lösung. Dritte Einheitswurzeln sind alle drei Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray} X^3-1=0 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} 1,\exp\left(\frac{2\pi i}{3}\right),\exp\left(\frac{4\pi i}{3}\right) \end{eqnarray}$ . Dementsprechend kriegst du zb. durch $\begin{eqnarray} w=(-2)\cdot\exp\left(\frac{2\pi i}{3}\right) \end{eqnarray}$ eine zweite Lösung, denn $\begin{eqnarray} w^3=(-2)^3\exp\left(\frac{2\pi i\cdot3}{3}\right)=-8\cdot\exp(2\pi i)=-8\cdot1=-8 \end{eqnarray}$ .
13.02.2011, 19:05	gast345	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke! Ich bin jetzt auch auf die 3 Lösungen $\begin{eqnarray} <br /> z_1= + \sqrt{3} i<br /> z_2= - 3<br /> z_3= - \sqrt{3} i<br /> \end{eqnarray}$ Noch eine Frage: Ich habe gegeben: $\begin{eqnarray} <br /> w= e^{3+i} <br /> \end{eqnarray}$ Davon soll ich nun den Betrag angeben Meine Idee: $\begin{eqnarray} <br /> = e^{3} \times e^{i} <br /> \|w\| = e^{3} <br /> \end{eqnarray}$ Richtig so? Danke für eure Hilfe übrigens!!! Gruß Florian
13.02.2011, 19:29	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist richtig. Allerdings solltest du schon noch dazu sagen, dass $\begin{eqnarray} \|e^i\|=1 \end{eqnarray}$ ist.
13.02.2011, 19:32	sonor	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok...danke nochmal!.....hab mich jetzt gleich mal hier angemeldet

Neue Frage »

Antworten »

komplexe gleichung ((z+1)^3)+8=0 lösen

Verwandte Themen