Lineare Unabhängigkeit und Erzeugendensystem

13.02.2011, 19:04	hülle2	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit und Erzeugendensystem Meine Frage: Hallo, ich habe mal zwei kurze Fragen zur Prüfungsvorbereitung: 1. was ist eine notwendige und eine hinreichende Bedg. für Lin. Unabhängigkeit? 2. Bilden 2 Vektoren des R3 ein Erzeugendensystem des R3? Meine Ideen: zu 1.: notwendig: Besitzt den Nullvektor als Lsg. hinreichend: Dieser bildet die einzige? Geht das? zu 2.: Eigentlich nein - ich weiß nicht warum? Eigentlich müssen es doch soviele sein, wie die Dimension des VR ist, oder? Also 3? vielen Dank für eure Antworten
13.02.2011, 19:09	hülle2	Auf diesen Beitrag antworten »
oh zu 1. da hab ich mich vermacht: bei hinreichend sollte es heißen: dieser lässt sich nur durch z.B. a=b=c=0 darstellen, sprich durch die triv. Nullösung
13.02.2011, 19:29	hülle2	Auf diesen Beitrag antworten »
kann mir niemand helfen?
13.02.2011, 19:37	m-power	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, zu 1: Vergiss' den Nullvektor, der ist hier nicht gefragt. Es geht um was anderes. Kannst du mit eigenen Worten wiedergeben, was es denn bedeutet, dass ein System von Vektoren linear unabhängig ist? zu 2: Deine Antwort ist richtig. Es können nicht weniger als drei Vektoren ein Erzeugendensystem des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ bilden. Gruß, m-power
13.02.2011, 19:41	hülle2	Auf diesen Beitrag antworten »
danke erstmal. naja, lin unabh. heißt (mit eigenen Worten): ich muss trotzdem den nullvekt nehmen - sprich der nullvektor lässt sich nur als triviale lin. kombination darstellen - also nach dem schema: 0=v10+...+vn0
13.02.2011, 19:53	m-power	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist richtig. Ist das nun hinreichend oder notwendig? Was denkst du?
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14.02.2011, 12:04	hülle2	Auf diesen Beitrag antworten »
na dann wäre das notwendig. was soll aber dann hinreichend sein? sollte man es dann so formulieren: notw: 0=v10+...+vn0 und hinreichend: das bleibt auch die einzige lösung, also es gibt keine anderen koeffizienten, die das erfüllen?
14.02.2011, 13:25	hülle2	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habs: notwendig a1=...=an=0 (a entspricht koeffizienten) und hinreichend: 0=0v1+...+0vn? das müsste es doch sein
14.02.2011, 13:56	m-power	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Lösung: Dass sich der Nullvektor nur durch die triviale Linearkombination $\begin{eqnarray} 0 = (0\cdot v_1) \cdot\ \cdots\ \cdot (0\cdot v_n) \end{eqnarray}$ darstellen lässt, ist sowohl eine hinreichende Bedingung als auch eine notwendige Bedingung dafür, dass das System der Vektoren $\begin{eqnarray} \left \{ v_1,\cdots , v_n \right \} \end{eqnarray}$ linear unabhängig ist. Gruß, m-power

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