Gauss- und Weingartenabbildung

13.02.2011, 22:16

LaraG

Gauss- und Weingartenabbildung

Guten Abend miteinander!

Ich möchte zur Übung die Weingartenabbildung von f(u,v) = (cos(u), sin(u), v) berechnen.

$\begin{eqnarray*} f_u = \begin{pmatrix} -sin(u) \\ cos(u) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_v = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_u \times f_v = \begin{pmatrix} -sin(u) \\ sin(u) \\ -sin(u) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||f_u \times f_v|| = \sqrt{3sin^2(u)} \end{eqnarray*}$

Die Gaussabbildung beträgt also:
$\begin{eqnarray*} v = \frac{(-sin(u), sin(u), -sin(u))}{\sqrt{3sin^2(u)}} \end{eqnarray*}$

Nun sollte man v partiell ableiten. Aber was heisst das genau, bzw. wie macht man das genau? (sorry diese dumme Frage...)

13.02.2011, 22:57

Cel

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N'abend,

lustig, dass solche Fragen gerade jetzt auftauchen, wo ich mich für meine Klausur vorbereite. Genau dieser Frage bin ich heute auch nachgegangen. Augenzwinkern

Zunächst einmal hast du deine Gauß-Abbildung falsch berechnet. Wende das Kreuzprodukt richtig an, der Normalenvektor sieht sogar etwas einfacher aus.

Zu deiner eigentlichen Frage sage ich erst mal noch nichts, die einzige Art, die Weingartenabbildung zu bestimmen, die ich kenne, benötigt die erste und zweite Fundamentalform. Die kennst du doch, oder? Dann bestimme sie, falls wir diesen Weg verfolgen wollen. Ansonsten müsste ich leider passen.

Übrigens bezeichnet man die Gaußabbildung meistens mit einem großen N.

13.02.2011, 23:11

LaraG

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Was hast du denn für eine Prüfung?
..ich bereite mich eben auch vor Augenzwinkern

Ahhh..ist die Weingartenabbilgung II / I
(zweite durch erste FF) ?

Mich verwirrt das eben ein wenig, weil wir so viele Wege in der VL beschrieben haben, aber nie wirklich einen in einer Übung brauchen mussten :S

(Gaussabbildung werde ich korrigieren, und die Verbesserung nachher posten.)

13.02.2011, 23:15

Cel

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Differentialgeometrie I. smile

Dividieren ist schlecht, immerhin sind das Matrizen. Es gilt

$\begin{eqnarray*} \dd N_p = -I_p^{-1} \cdot II_p \end{eqnarray*}$

13.02.2011, 23:19

LaraG

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Also, die Gauss-Abbildung ist: (cos(u), sin(u), 0)

Zwei Fragen:
dNp: Das ist die Ableitung von der Gauss-Abbildung, oder?
Und eine Frage, die ich immer wieder habe: I^-1 ist ja das Inverse. Gibt es einen "Trick", um dieses einfach zu bestimmen? (..also der Gauss-Algo. kann sehr mühsam sein..)

13.02.2011, 23:35

Cel

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Zitat:

Original von LaraG
Also, die Gauss-Abbildung ist: (cos(u), sin(u), 0)

Korrekt. Möglich wäre auch noch das gleiche mit einem Minus davor, aber meistens nimmt man deine Version, ich hatte sie auch so errechnet. Vermeide deswegen, von der Gauß-Abbildung zu sprechen, es gibt 2.

dNp ist dann die zugehörige Weingartenabbildung bzw. Differential der bestimmten Gauß-Abbildung.

Und ja, es gibt einen "Trick". I ist eine 2x2 - Matrix.

Und die Inverse einer jeden 2x2 - Matrix, sagen wir mal $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} A^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det(A)}} \begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

13.02.2011, 23:44

LaraG

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Yeah vielen Dank! smile

Hä, also ist die Weingartenabbildung in diesem Beispiel (-sin(u), cos(u), 0) ?

Wenn man also die Gauss-Abbildung hat, aber die I bzw. II noch nicht, so müsste man diese ja gar nicht mehr berechnen smile

14.02.2011, 00:30

LaraG

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Noch eine Zwischenfrage:
Was bedeutet es, wenn man schreibt:

$\begin{eqnarray*} II_p(v,v) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} W_p(v) \end{eqnarray*}$

Liebe Grüsse und gute Nacht!

14.02.2011, 17:24

Cel

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Zitat:

Original von LaraG
Yeah vielen Dank! smile

Wie kommst du denn darauf? Ich habe dir doch die Formel sogar hingeschrieben, das Ergebnis sollte eine Matrix sein. Es ist $\begin{eqnarray*} \dd N_p: T_p S \to T_p S \end{eqnarray*}$ . Bei dir kommt zwar ein Vektor aus dem IR³ heraus, aber der Definitionsbereich sieht bei dir eher wie der IR² aus.

14.02.2011, 18:27

LaraG

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Ich habe eben einfach die Gauss-Abbildung abgeleitet. Aber so wie's aussieht, kann (darf) man dies nicht machen, oder?

14.02.2011, 19:40

Cel

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Aha, so hast du dir das gedacht. Nein, das darf man auf keinen Fall.

Das liegt daran, dass die Gauß-Abbildung eine Abbildung zwischen zwei Flächen ist, von der betrachteten Fläche S zu der Einheitssphäre S². Hier ist die Ableitung "komisch" definiert. Auf der Fläche können wir nicht so ableiten, wie wir wollen, nämlich partiell, denn dafür brauchen wir offene Mengen. Flächen sind aber nicht offen, nimm dir mal die Einheitssphäre {(x,y,z) | x² + y² + z² = 1}. Das Komplement davon ist offen, also ist die Sphäre abgeschlossen. Das ist anschaulich sofort klar.

Deswegen müssen wir einen Umweg über die Koordinatensysteme gehen (vielleicht nennt ihr sie auch Karten). Dort kann man ableiten, denn in der Definition der Koordinaten ist Offenheit gefordert.

Die Formel, die ich dir aufgeschriebene habe, muss man auch noch herleiten, recht zäh. Du setzt dort Vektoren aus dem Tangentialraum ein.

14.02.2011, 20:11

LaraG

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Na gut - das würde wahrscheinlich etwa gleich lange dauern, wie wenn man die erste und die zweite FF berechnen würde und dann $\begin{eqnarray*} -I_p^{-1} \cdot II_p \end{eqnarray*}$ berechnet, um die Weingartenabbildung zu kriegen.

Ich habe das mit der Ableitung nur gefragt, weil es so, wie ich es gedacht habe, ja wirklich sehr schnell und einfach ginge. Aber eben - diese Formel oben ist (finde ich..) immernoch "schöner" also die Ableitungs-Variante.

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