exp Gleichung lösen

14.02.2011, 20:41

mathe20113

exp Gleichung lösen

Meine Frage:
Hi,

ich stehe gerade echt ziemlich auf dem Schlauch.

Meine Problemgleichung:
exp(k) - exp(-k) - k*exp(k) - k*exp(-k) = k

kann man hier überhaupt noch zu einer Lösung von k kommen?
Kann nämlich sein, dass ich mich bei der Vorrechnung verrechnet habe Augenzwinkern

Vielen Dank für eine Antwort im Voraus smile

lg

Meine Ideen:

14.02.2011, 20:49

Equester

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Es gibt nur die triviale Lösung k=0.
Passt das? Augenzwinkern

14.02.2011, 20:58

mathe20113

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dann muss ich mich wohl vorher schon verrechnet haben unglücklich

Ergebnis sollte 1,148 sein.

also...

Integral: [0/4k]
fk(x) = exp (0.5x - k) + exp(-0,5x + k) - exp(k) - exp(- k)

mein Ansatz:

(2 exp(k) - 2 exp(-k) - exp(k) * 4k - exp( - k) * 4k) - ( 2 exp(- k) - 2 exp(k) = 4k

und dann komm ich eben auf die Lösung siehe oben unglücklich

14.02.2011, 21:00

Equester

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Integral: [0/4k]
fk(x) = exp (0.5x - k) + exp(-0,5x + k) - exp(k) - exp(- k)

Das soll erst noch integriert werden?

14.02.2011, 21:02

mathe20113

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ja...
also fk(x) ist die Ausgangsfunktion.
Diese wird im Bereich [0/4k] integriert.
Begrenzung sind Sb und x-Achse...

14.02.2011, 21:06

Equester

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Integriere mal jeden Summanden für sich...
Die e-Funktion selbst bleibt immer so stehen wie sie ist!

14.02.2011, 21:09

mathe20113

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[2exp (0.5x - k) - 2exp(-0,5x + k) - exp(k) * x - exp(- k) * x]

So würde ich die Funktion integrieren...

14.02.2011, 21:15

Equester

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Die Integration stimmt.

Hast du mir mal die komplette Aufgabe in Originalwortlaut?

14.02.2011, 21:20

mathe20113

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Dsa Schaubild der Funktion fk und die x-Achse schließen eine Fläche (inhalt = 4k) ein.
Bestimmen sie k.

Jetzt wo ich mir die Aufgabe nochmal angeschaut hab, fällt mir auf, dass man wohl doch mit dem Integral [0/k] hätte rechnen müssen.
Das hab ich auch anfangs gemacht. Kam aber leider auch nicht gewünschtes Ergebnis raus.

Aber wahrscheinlich hab ich mich da irg.wo verrechnet...ich werd's nochmal schnell durchgehen....

14.02.2011, 21:30

mathe20113

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also das Problem ist, wenn ich das mit Integral [0/k) rechne, bekomme ich folgende Gleichung nach Integrieren raus:

2* exp( - 0,5k) - 2* exp(0,5k) - k*exp(k) - k* exp( - k) - 2 exp ( - k) + 2 exp(k) = 4k

Da häng ich Augenzwinkern

14.02.2011, 21:39

Equester

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Ich kann nicht nachvollziehen, warum du die Grenze [0,k) nimmst?!
Allerdings ist die Aufgabe ohnehin nicht mein Spezialgebiet :P Ich schau mal nach
Ersatz^^

Deine Ableitung an sich ist aber richtig, auch hätte ich das =4k gesetzt.
Doch wenn mans auflöst kommt k=0 raus Augenzwinkern

14.02.2011, 21:42

mathe20113

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ok...danke.

Also auf die 4k kam ich, da 4k die zweite Nullstelle der Gleichung ist. Somit würde man dann die Fläche unter der x-Achse und über dem Sb erhalten.
Jedoch soll ja die Fläche 4k sein. Also muss man einen x-Wert rausbekommen. Was mich jedoch wundert ist, dass dieser Wert auch k heißt...

14.02.2011, 22:40

mYthos

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Die Fläche kann durchaus ein Vielfaches von k werden, warum nicht? k ist ja nur ein Parameter.
___________

Kannst du mal die Aufgabe vollständig und im Originalwortlaut posten, wenn du an wirksamer Hilfe interessiert bist? Alles andere ist nur Herumraten und bedeutet "leere Kilometer" für Helfer und Fragesteller.

Die Funktionsschar, wie sie bis jetzt zu erahnen ist, lautet - etwas umgeformt

$\begin{eqnarray*} f_k(x) = (e^{0,5x} - 1)(e^k + e^{-k}) \end{eqnarray*}$

Und diese hat als Nullstelle zwar 0, aber niemals k oder 4k.

mY+

14.02.2011, 22:47

Nelstar

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Meines Erachtens sind Ansatz [0;4k] und die entstandene Gleichung richtig. Sowohl 1,148 als auch -1,148 sind Lösungen der Gleichung. Beides Flächen liegen allerdings unter der x-Achse.

Aber irgendwie steh ich auch grad auf dem Schlauch, wie die Aufgabe zu lösen ist ...

14.02.2011, 22:49

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Seine Nullstelle müsste korrekt sein?

$\begin{eqnarray*} e^{0.5x - k} + e^{-0,5x + k} - e^k - e^{- k} \end{eqnarray*}$

-> mit x=4k
$\begin{eqnarray*} e^{2k - k} + e^{-2k + k} - e^{k} - e{- k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^k+e^{-k}-e^k-e^{-k}=0 \end{eqnarray*}$

14.02.2011, 22:50

Nelstar

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mYthos
Die Funktionsschar, wie sie bis jetzt zu erahnen ist, lautet - etwas umgeformt

$\begin{eqnarray*} f_k(x) = (e^{0,5x} - 1)(e^k + e^{-k}) \end{eqnarray*}$

Nicht ganz richtig; die gepostete Funktionsschar hat den Summanden e^{-0,5x+k}

Die Funktion hat tatsächlich die Nullstellen x=0 und x=4k.

14.02.2011, 22:55

lgrizu

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Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(k)=\exp(k) - \exp(-k) - k*\exp(k) - k*\exp(-k) -k \end{eqnarray*}$ hat keine Nullstelle außer k=0.

Edit: jedenfalls wenn ich sie mir plotten lasse.....

gerechnet hab ich noch nicht.

14.02.2011, 23:04

Nelstar

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Da nicht ausdrücklich angegeben ist, dass die Fläche oberhalb der x-Achse liegen soll, müssen wir ja nicht nur

$\begin{eqnarray*} ... = 4k \end{eqnarray*}$

sondern auch

$\begin{eqnarray*} ... = -4k \end{eqnarray*}$

betrachten.

14.02.2011, 23:15

mYthos

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Was ein kleiner Ablesefehler (bei mir) doch ausmachen kann. Deshalb war meine vorige Umformung der Funktionsschar nicht richtig.

Nun habe ich die Lösungen (Nullstellen) - am Papier - auch korrekt berechnen können.

Wird gleich nachgereicht ...

mY+

14.02.2011, 23:17

Equester

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Danke für euer Einspringen Freude

Hoffe damit ists dann (gleich) klar, mathe Augenzwinkern

14.02.2011, 23:18

Nelstar

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mYthos
Nun habe ich die Lösungen (Nullstellen) - am Papier - auch korrekt berechnen können.

Wird gleich nachgereicht ...

mY+

Großartig

14.02.2011, 23:30

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Also:

$\begin{eqnarray*} e^{0,5x-k} + e^{-0,5x+k} - e^k - e^{-k} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-k}e^{0,5x} + e^k e^{-0,5x} - e^k - e^{-k} = 0 \end{eqnarray*}$
---------------------

Substitution:

$\begin{eqnarray*} e^{0,5x} = u; \ \ e^{-0,5x} = \frac 1 u \end{eqnarray*}$
---------------------

$\begin{eqnarray*} u e^{-k} + \frac 1 u e^k - e^k - e^{-k} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u^2e^{-k} + e^k - ue^k - ue^{-k} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u^2e^{-k} - u(e^k + e^{-k}) + e^k = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u^2 - u(e^{2k} + 1) + e^{2k} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_{1,2} = \frac{e^{2k}+1} 2 \pm \frac {e^{2k} - 1} 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_1 = e^{2k}; \ \ u_2 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {x_1} 2 = 2k; \ \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

15.02.2011, 12:35

mathe20113

Auf diesen Beitrag antworten »

ok die Nullstellenberechnung von mythos finde ich sehr beeindruckend! Da wär ich nie drauf gekommen!

Danke, dass ihr euch damit befasst habt. Nur ist leider meine Aufgabe immer noch nicht ganz gelöst...

Die Frage war:

Das Schaubild der Funktion und die x-Achse schließen eine Fläche (Inhalt = 4k) ein.
Bestimmen sie k. (Lösung: k = 1.1480)

fk(x) = $\begin{eqnarray*} e^{0,5x-k} + e^{-0,5x+k} - e^k - e^{-k} = 0 \end{eqnarray*}$

mein Ansatz war:

Integral [0/4k] mit 4k gleichsetzen.
Dann komm ich auf folgende Gleichung:

2 exp(k) - 2 exp(-k) - exp(k) * 4k - exp( - k) * 4k) - ( 2 exp(- k) - 2 exp(k) = 4k

Leider bekomme ich, wenn ich damit weiterrechne auf k = 0 unglücklich

15.02.2011, 12:46

mathe20113

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das " = 0" nach der Funktion sei weg zu denken Augenzwinkern

15.02.2011, 12:48

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Lies dir dies noch mal durch:

Zitat:

Original von Nelstar
Da nicht ausdrücklich angegeben ist, dass die Fläche oberhalb der x-Achse liegen soll, müssen wir ja nicht nur

$\begin{eqnarray*} ... = 4k \end{eqnarray*}$

sondern auch

$\begin{eqnarray*} ... = -4k \end{eqnarray*}$

betrachten.

Es stimmt, die von dir aufgestellte Gleichung hat nur die Lösung k=0.

15.02.2011, 20:03

mathe20113

Auf diesen Beitrag antworten »

also es scheint, als wäre die vorgegebene Lösung von k (1,148) falsch.
...man kommt egal wie man's dreht und wendet immer auf k=0...

Trotzdem vielen Dank für die Hilfe. Nett, dass ihr euch so intensiv damit befasst habt!

15.02.2011, 20:24

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Dies ist der entscheidende Beitrag:

Zitat:

Schau dir auch die Funktion noch mal an, die hat zwei Nullstellen die nicht 0 sind, diese sind die gesuchten Lösungen.

15.02.2011, 21:07

mathe20113

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt! Wenn ich mir das Schaubild anschaue, stimmte k=1,148 scheinbar.
Komischerweise ziegt mein GtR, wenn ich die Funktion zeichnen lasse, einen anderen graph an...

15.02.2011, 21:12

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Weil du nicht in betracht gezogen hast, dass -4k auch eine Lösung sein kann, sondern nur die Lösung 4k in betracht ziehst.

15.02.2011, 22:00

mathe20113

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wenn ich
exp(x) - exp(-x) - x exp(x) - x exp(-x) + x eingebe, erhalte ich nicht den Graphen, den Nelstar hat.

15.02.2011, 22:01

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

genau und dieser hat drei Nullstellen, zwei davon sind ungleich 0.

15.02.2011, 22:22

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mathe20113
Aber wenn ich
exp(x) - exp(-x) - x exp(x) - x exp(-x) + x eingebe, erhalte ich nicht den Graphen, den Nelstar hat.

Dann musst du bei der Eingabe einen Fehler gemacht haben. Vergleiche doch mit dem Graphen von lgrizu weiter oben, dort steht exakt der gleiche Funktionsterm! Auch der Graph von Nelstar sieht gleich aus.

Übrigens: Die Bestimmung der Nullstellen, also das Auflösen des Null gesetzten Funktionstermes - ist algebraisch nicht möglich. Dazu ist ein Näherungsverfahren zu verwenden.

mY+

15.02.2011, 23:20

mathe20113

Auf diesen Beitrag antworten »

also ich hab das jetzt gelöst smile

. War ein persönliches Problem von meinem Taschenrechner und mir. Ich glaub er hatte einfach gestern Abend keine Lust mehr Augenzwinkern

Das mit den Nullstellen hab ich mir jetzt nochmal genauer angeschaut und es sieht alles recht logisch aus...bis zu der binomischen Formel. Da fehlt meiner Meinung nach das "q" bei Dir. Aber das hat dann wohl was mit dem Näherungswert zu tun.

An unsrer Schule gab es einen, der die Nullstellen gelöst hatte. Anscheinend mit zwei pq-Formeln O.o... vllt werd ich da mal nachfragen...

vielen Dank nochmal ... könnte sein, dass ich euch jetzt des öfteren mit Fragen bombadiere... Big Laugh

15.02.2011, 23:36

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Nullstellen NICHT näherungsweise, sondern exakt mit der p-q - Formel der quadratischen Gleichung aufgelöst. Unter der Wurzel steht (nach Reduktion) ein reines Quadrat, welches mit der entsprechenden binomischen Formel aufgelöst werden kann.

Welches "q" soll ich denn vergessen haben? verwirrt

mY+

15.02.2011, 23:59

Nelstar

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Zitat:

Original von mYthos
Welches "q" soll ich denn vergessen haben? verwirrt

mY+

Meine Vermutung: er meint das q der pq-formel, übersieht dabei aber die nun entstandenen unterschiedlichen Vorzeichen in den Zählern.

16.02.2011, 00:53

mYthos

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Nun, dazu eine kurze Erläuterung:

$\begin{eqnarray*} -\frac p 2 = \frac{e^{2k}+1} 2 \ \text{und} \ q = e^{2k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\left( \frac p 2 \right)^2 - q} = \sqrt{\frac {e^{4k} + 2e^{2k} + 1 - 4e^{2k}} 4} = \sqrt{\frac{(e^{2k} - 1)^2} 4} = \frac {e^{2k} - 1} 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u^2 - (e^{2k} + 1)u + e^{2k} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_{1,2} = \frac{e^{2k}+1} 2 \pm \frac {e^{2k} - 1} 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_1 = e^{2k}; \ \ u_2 = 1 \end{eqnarray*}$

Man kann diese Lösungen auch sehr gut bereits mittels des Vieta'schen Wurzelsatzes "sehen". Dann erspart man sich das Ausrechnen mittels der p,q - Formel.

mY+

16.02.2011, 18:39

mathe20113

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ok...das klingt größtenteils sehr einleuchtend.

nur versteh ich noch nicht ganz, woher man hier:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\left( \frac p 2 \right)^2 - q} = \sqrt{\frac {e^{4k} + 2e^{2k} + 1 - 4e^{2k}} 4} = \sqrt{\frac{(e^{2k} - 1)^2} 4} = \frac {e^{2k} - 1} 2 \end{eqnarray*}$

die 4e^2k hat. Ist das das "q" der pq-Formel? Wenn ja, warum quadriert man auch das?
Und warum kann man es einfach in den Zähler schreiben?

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