Abzählbare Mengen |
| 15.02.2011, 14:28 | zählen | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Abzählbare Mengen Kann man sagen, dass jede Menge, deren Elemente aus Rechenoperationen mit natürlichen Zahlen entstanden ist, wieder höchstens abzählbar unendlich ist? Weil man ja als Grundmenge nur die natürlichen Zahlen zur Verfügung hat, und diese sind abzählbar unendlich. Mir fallen eigentlich nur positive Beispiele dazu ein, z.B. die Rationalen Zahlen, sogar die Menge aller n-ten Wurzeln aus natürlichen Zahlen (für natürliche n) ist abzählbar, obwohl hier auch ein paar irrationale Zahlen hinzugekommen sind. Diese beiden Mengen vereinigt sind wieder abzählbar usw. Man müsste natürlich noch die Bedingung stellen, dass die Elemente dieser Menge nur Einermengen sind (sagt man das so?), man also keine Potenzmenge generieren kann, die dann natürlich nicht abzählbar ist. |
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| 15.02.2011, 18:25 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Frage ist natürlich, was du genau unter Rechenoperationen verstehst. Aber vielleicht willst du auf das hinaus: Sind und höchstens abzählbar, so auch und damit auch jede Teilmenge von . |
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| 15.02.2011, 20:09 | Fragen über Fragen | Auf diesen Beitrag antworten » |
hi, (jetzt mit Benutzername angemeldet) hm nein eigentlich meinte ich mit Rechenoperationen die 4 Grundrechenarten, sowie Potenzieren, Radizieren. Man führt damit zwar Rechenoperationen aus, die Zahlen liefern, die gar nicht Element der ursprünglichen Menge (der natürlichen Zahlen) sind, aber bis jetzt ist mir kein Beispiel aufgefallen, wo man damit die Mächtigkeit von abzählbar auf überabzählbar unendlich erhöht. Ich habe den Verdacht, so allgemein wie im Eingangsbeitrag, kann man das nicht formulieren, sonst bräuchte es ja nicht solche Tricks wie die Diagonalargumente. Nur habe ich mir gedacht, ich könnte aus den bekannten Beispielen nun schlussfolgern, dass - egal was man mit Elementen der Menge rechnet und zu einer neuen Menge hinzunimmt- , die Mächtigkeit der neuen Menge gleich der Mächtigkeit der Grundmenge bleibt. Führe ich alle Rechenarten, die ich oben aufgezählt habe, in den natürlichen Zahlen beliebig aus, so erhalte ich eine neue Menge, die zusätzlich die negativen ganzen Zahlen, sowie die positiven rationalen Zahlen enthält, sowie einige irrationale Zahlen. Die Mächtigkeit bleibt aber abzählbar. Führe ich in den Reellen Zahlen noch das Radizieren unbeschränkt aus, erhalte ich geeordnete Paare in der Ebene, ebenfalls mit gleicher Mächtigkeit, wie die Reellen Zahlen, nämlich überabzählbar. Nun weiß ich nicht, ob das nur Zufall ist, oder ob so ein Zusammenhang wirklich gesichert gilt...oder ob das vielleicht auch schon so trivial ist, dass ich so eine Aussage noch nicht gelesen habe 
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| 18.02.2011, 21:05 | fragen.... | Auf diesen Beitrag antworten » |
bitte lasst mich nicht dumm sterben
Wäre auch schon mit einem bloßen "ja/nein/kommt drauf an" zufrieden |
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| 18.02.2011, 21:49 | abc2011 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Der Erweiterungsschritt vom Abzählbaren ins Überabzählbare kann nicht mit Abschliessen einer Rechenoperation gemacht werden. Dazu braucht es vielmehr die Elemente der Potenzmenge etwa von Q (sie ist hinlänglich mächtig), konkret Dedekindsche Schnitte oder Klassen von Cauchyfolgen oder Klassen von Intervallschachtelungen oder ... |
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