Rekursion zu geschlossener Formel

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ftx Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursion zu geschlossener Formel
Meine Frage:
Moin,
ich stehe gerade auf dem Schlauch und weiß nicht mehr weiter... Ich habe eine erzeugende Funktion:



Diese soll ich zu einer geschlossenen Formel bringen. Ein Teil habe ich schon.



Meine Ideen:
und
Das habe ich so wie in der Vorelesung über das reflektierte Polynom gelöst.

Jetzt muss man aber a,b finden mit:


Das haben wir in der Vorlesung immer mit Koeffizientenvergleich gemacht, aber wie soll das hier ablaufen? Das ist die Stelle die ich nicht ganz verstehe.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Partialbruchzerlegung (PBZ), wie du sie hier ja vorhast, kann nur klappen, wenn der Zählergrad echt kleiner als der Nennergrad ist - das ist bei dir hier nicht der Fall.

Im Normalfall ist vorab eine Polynomdivísion fällig. In deinem Fall mit den erzeugenden Funktionen kannst du alternativ auch ein ausklammern



und den "Restbruch" rechts der PBZ unterziehen. Dann musst du natürlich den Faktor anschließend noch bei den entstehenden geometrischen Reihen verarbeiten. Augenzwinkern
ftx Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal smile

Achso okay, d.h. ich hätte dann im Endeffekt (durch Koeffizientenvergleich) folgendes Gleichungssystem:

Und damit würde ich dann a und b rausbekommen und hätte sowas:



Wobei ich das dann wieder umschreiben kann zu:



Habe ich das bis dahin richtig verstanden?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Die Klammersetzung ist abenteuerlich falsch, aber falls wir das zu



korrigieren, ist es richtig.
ftx Auf diesen Beitrag antworten »

Hehe ja so meinte ich das auch, habe aber den ganzen Tag an diesem Rekursionskram gesessen und da war mein Hirn schon ein wenig Brei smile

Dementsprechend müsste ich ja (wenn ich das x reinziehe) folgende geschlossene Formel bekommen:



Ist das richtig? Und wenn ja, wie komme ich denn dann auf folgende Formel:


Das ist naemlich die Formel auf die ich kommen sollte.. aber da stimmen ja die Exponenten schonmal nicht. Wie kann ich das denn irgendwie so hindrehen? smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ftx
Dementsprechend müsste ich ja (wenn ich das x reinziehe) folgende geschlossene Formel bekommen:


Genau, zumindest für . Ergänzend ist dann .

Zitat:
Original von ftx
Und wenn ja, wie komme ich denn dann auf folgende Formel:

Bisher hast du dich ja nicht dazu bequemt, das obige Gleichungssystem

Zitat:
Original von ftx

zu lösen - zumindest hast du uns die Lösung nicht mitgeteilt. Und ob irgendwelche Exponenten "nicht stimmen", kannst du ohne konkrete Kenntnis von noch gar nicht entscheiden! Diese Jammerei ist also völlig überfrüht.
 
 
ftx Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort smile

Also ich habe das Gleichungssystem gelöst und es ergibt sich dann folgendes:



Ich bin gerade glaube ich zu blöd zu sehen wie ich das noch weiter umformen kann... kann mir noch jemand nen Denkanstoß geben? :/
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn du von vornherein auf Teufel komm raus Exponent hättest haben wollen, dann wäre der Weg über Polynomdivision und erst anschließender PBZ (Weg 1, habe ich oben erwähnt) der bessere gewesen.

Aber kein Grund zur Verzweiflung, da du jetzt lediglich noch



in die andere Darstellung überführen musst. "Rationalmachen des Nenners" sagt dir doch was?



EDIT: Ich denke übrigens, du hast dich verschrieben: Das Resultat lautet in Wahrheit

.

Wenn man nicht alles nachprüft... unglücklich
ftx Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ja du hast recht ich habe mich verschrieben...

So ich nähere mich langsam dem Verständnis dank euch Augenzwinkern

Ich habs nun mal mit der Polynomdivison gemacht und bekommen dann:




So nun habe ich die PBZ ausgeführt (auf den x+1 - Teil) und erhalte dann für a,b:



das gibt ja in der Gesamtform im Endeffekt genau das was ich brauch... aber "wo ist die -1 hin von der Polynomdivision"? Ich weiß das ist ne komische Frage wahrscheinlich, aber wir haben nie PBZ oder sowas besprochen, deswegen fehlt mir da ein wenig Grundwissen scheinbar.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis der Polynomdivision beeinflusst den Koeffizienten . Ich hatte oben bereits geschrieben

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von ftx
Dementsprechend müsste ich ja (wenn ich das x reinziehe) folgende geschlossene Formel bekommen:


Genau, zumindest für . Ergänzend ist dann .

das ist wohl untergegangen: Wenn du nämlich in die eigentlich nur für gültige Formel

Zitat:
Original von ftx

einsetzt erhältst du

,

was zusammen mit dem Polynomdivisionsergebnis summa summarum den tatsächlichen Wert ergibt.
ftx Auf diesen Beitrag antworten »

Danke jetzt habe ichs verstanden!
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