Irreduzibles Polynom über algebraischem Abschluss.

15.02.2011, 17:36	Cheebi	Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduzibles Polynom über algebraischem Abschluss. Meine Frage: Hallo, in "An elementary introduction to hyperelliptic curves" by Menezes (http://www.math.uiuc.edu/~handuong/crypto/menezes_wu_zuccherato.pdf) heißt Lemma 9: Das Polynom r(u,v)=v²+h(u)v-f(u), das auf Seite 3 mit deg(h(u))<=g und deg(f(u)=2g+1 eingeführt ist, ist irreduzibel über dem algebraischen Abschluss von K auch geschrieben als $\begin{eqnarray} \bar K \end{eqnarray}$ . Der Beweis in dem Paper steht eine Zeile tiefer: Sei r reduzibel über dem algebraischen Abschluss, so könnte man es in (v-a(u))(v-b(u)) für $\begin{eqnarray} a,b\in\bar K \end{eqnarray}$ zerlegen. Aber dann ist deg(ab)=deg(f)=2g+1 und deg(a+b)=deg(h)<=g, was unmöglich ist. qed Meine Ideen:* Ich denke aber, dass gerade das Lemma beweist, dass das Polynom REDUZIBEL ist, denn nach Definition ist deg(f)=2g+1 und geh(h)<=g. Ich sehe da eben keinen Widerspruch.
15.02.2011, 19:27	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgendes: $\begin{eqnarray} \text{Grad } a\cdot b = 2g+1 \end{eqnarray}$ ist ungerade. Also haben a und b nicht den selben Grad. Daher ist $\begin{eqnarray} g \geq \text{Grad }a+b = max\{\text{Grad } a, \text{Grad } b\} \end{eqnarray}$ . Also $\begin{eqnarray} \text{Grad } a \leq g, \text{Grad } b \leq g \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \text{Grad }a \cdot b \leq \text{Grad } a + \text{Grad } b \end{eqnarray}$ ist, muss also $\begin{eqnarray} \text{Grad } a\cdot b \leq 2g \end{eqnarray}$ sein. Widerspruch zur Annahme $\begin{eqnarray} \text{Grad }a \cdot b = 2g+1 \end{eqnarray}$
15.02.2011, 19:41	Cheebi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Das hat geholfen!

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