Eigenwert

15.02.2011, 22:44

Clamat

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Eigenwert

Hallo zusammen.
Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe.

Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ a & 3 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ den Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda = 3 \end{eqnarray*}$ hat. Wie lautet der andere Eigenwert von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ?

Mein Problem bezieht sich auf den ersten Teil der Aufgabe.
Muss ich hier das Polynom $\begin{eqnarray*} det (A-\lambda E) = 0 \end{eqnarray*}$ setzen und nach dem gesuchten $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ auflösen?

Wenn ich das nämlich mache, dann ist $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ und die Eigenwerte dazu würden nicht passen.

Vorab vielen Dank für Eure Mühen.

Gruß Benni

15.02.2011, 22:49

tigerbine

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Step 1
Wie lautet denn das CharPoly in Abhängigkeit von a?

15.02.2011, 22:50

Bjoern1982

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Zitat:

Wenn ich das nämlich mache, dann ist $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ und die Eigenwerte dazu würden nicht passen.

Was genau würde denn nicht passen ?

15.02.2011, 22:58

Clamat

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oh, ich sehe gerade, dass ich mich bei der Probe, um zu schauen, ob der Eigenwert bei a=0 auch wirklich 3 ist, verrechnet habe.
Der zweite Eigenwert müsste dann -2 sein, oder?

15.02.2011, 23:01

tigerbine

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RE: Step 1

Zitat:

Original von tigerbine
Wie lautet denn das CharPoly in Abhängigkeit von a?

15.02.2011, 23:02

Clamat

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das char. Polynom ist -2a=0

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15.02.2011, 23:05

tigerbine

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Das glaube ich nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.02.2011, 23:08

Clamat

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Also für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ habe ich den Eigenwert 3 gleich eingesetzt. Wenn ich dann die det ausrechne kommt das Ergebnis raus.

15.02.2011, 23:16

tigerbine

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Eine Kommunikation ist nur möglich, wenn du auch auf Fragen eingehst. Idee!

Idee!

Ich frage dich nach dem Charpoly, also nach

$\begin{eqnarray*} det (A-\lambda E) = ? \end{eqnarray*}$

15.02.2011, 23:22

Clamat

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In Abhängigkeit von a lautet es: $\begin{eqnarray*} \lambda² - 4 \lambda +3 - 2a = 0 \end{eqnarray*}$

15.02.2011, 23:29

tigerbine

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unglücklich

Das char. Polynom ist keine Gleichung, auch wenn wir uns für seine Nullstellen interessieren. Bitte sorgsamer schreiben. Betrachten wir nun

$\begin{eqnarray*} \lambda² - 4 \lambda + (3 - 2a) \stackrel{!} = 0 \end{eqnarray*}$

Wie berechnet man nun die Nullstellen? Immer noch in Abhängigkeit von a.

Das liefert dann eine Bedingung an a und direkt die beiden Eigenwerte. Wenn du diesen Weg gegangen bist, schaue dir die Diagonale von A noch einmal an und was man mit dem speziellen a über die Eigenwerte einer solchen Matrix weiß. Idee!

Idee!

15.02.2011, 23:37

Clamat

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Hierzu benutze ich meistens die Pq-Formel und würde dann als Ergebnis $\begin{eqnarray*} 2\pm \sqrt{1+2a} \end{eqnarray*}$

15.02.2011, 23:40

Clamat

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Ich weiß nicht, was man mit dem speziellen a über die Eigenwerte einer 2x2 Matrix wissen müsste.

15.02.2011, 23:41

tigerbine

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Welches a ermittelst du, damit einer der Eigenwerte 3 ist? Wie lautet dann der andere Eigenwert?

15.02.2011, 23:44

Clamat

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Wie meinst du das ?

15.02.2011, 23:47

tigerbine

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Wo bin ich denn so unklar? Würdest du mal sauberer aufschreiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2}=2\pm \sqrt{1+2a} \end{eqnarray*}$

Nun soll gelten $\begin{eqnarray*} \lambda_1=3 \end{eqnarray*}$ . Was muss a also sein? Was ist dann $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ ? Idee!

Idee!

16.02.2011, 00:05

Clamat

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Da du in dem Fall annimmst, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_1=3 \end{eqnarray*}$ ist weiß ich, dass ich den positiven Teil der Wurzel nehmen muss und somit ist $\begin{eqnarray*} a=0 . \end{eqnarray*}$
Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ berechne, dann rechne ich $\begin{eqnarray*} 2- \sqrt{1} \end{eqnarray*}$ und erhalte als Ergebnis $\begin{eqnarray*} \lambda_2=1 \end{eqnarray*}$
Müsste stimmen, oder?

16.02.2011, 00:08

tigerbine

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Nicht ich nehme das an, das steht in der Aufgabenstellung. Der Rest ist korrekt. Freude

Freude

Ein geübtes Auge hätte die Lösung a=0 auch ohne Rechnung gesehen. Wie sieht A denn nun aus?

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist eine 2x2Matrix, ja. Aber viel wichtiger ist: es ist eine Dreiecksmatrix. Und die Diagonale kommt uns nun doch sehr vertraut vor... Idee!

Idee!

16.02.2011, 00:13

Clamat

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Das wusste ich gar nicht, dass bei einer 2x2 Dreiecksmatrix die Eigenwerte gleich den Werten in der Diagonalen sind.
Vielen Dank für deine gute Hilfe!

16.02.2011, 00:14

tigerbine

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Das ist nicht nur bei 2x2 Dreiecksmatrizen so. Wink

Wink

16.02.2011, 00:20

Clamat

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Ok zum Verständnis hier ein willkürliches Beispiel was ich mir gerade ausgedacht habe.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Eigenwerte müssten dann $\begin{eqnarray*} \lambda_1=1, \lambda_2=3 ,\lambda_3=6 \end{eqnarray*}$ lauten, oder?

16.02.2011, 00:25

tigerbine

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http://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksmatrix#Eigenschaften

Ja.

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