Cauchy - Schwarz Ungleichung richtig angewendet?

16.02.2011, 12:52

confused Stud.

Cauchy - Schwarz Ungleichung richtig angewendet?

Meine Frage:
Ich versuche gerade die CSU zu verstehen. dabei stellt sich mir aber aktuell ein kleines Problem.
Die CSU ist definiert als $\begin{eqnarray*} |x * y| \leq \|x\| * \|y\| \end{eqnarray*}$ (x und y sind Vektoren)

Mein Beispiel sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich diese Vektoren nun in die Formel einsetzte, kommt doch folgendes Ergebnis raus:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{53^2} \leq \sqrt{5^2+4^2+3^2} * \sqrt{7^2+3^2+2^2} \end{eqnarray*}$

Das daraus resultierende Ergebnis ist $\begin{eqnarray*} 53 \leq 3100 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ist diese Erklärung richtig oder wo liegt der Fehler, den um = zu sein, müssten beide Vektoren so aussehen, oder? $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Edit: LaTeX korrigiert. Gruß, Reksilat.

16.02.2011, 18:40

tohuwabou

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RE: Cauchy - Schwarz Ungleichung richtig angewendet?
Gleichheit gilt dann, wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ linear abhänging sind,

was der Fall ist, wenn $\begin{eqnarray*} x=y=(1,1,1)^T \end{eqnarray*}$ .

16.02.2011, 18:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von confused Stud.
Das daraus resultierende Ergebnis ist $\begin{eqnarray*} 53 \leq 3100 \end{eqnarray*}$

So grob nun auch wieder nicht, sondern

$\begin{eqnarray*} 53 \leq \sqrt{3100} \end{eqnarray*}$ .

17.02.2011, 10:02

confused Stud.

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Also habe ich das richtig verstanden um die CSU anzuwenden muss ich auf der hier "größeren" rechten Seite der Ungleichung alle Zahlen quadrieren und danach die Wurzel aus dem Ergebnis ziehen. Den wenn ich erst einmal nicht berücksichtige, dass die Zahlen quadriert werden und danach bzw. davor die Wurzel aus ihnen gezogen wird. So kommt ein ganz anderes Ergebnis raus.

| $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ || $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ || * || $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ||

Variante 1:

$\begin{eqnarray*} \sqrt {5*7+4*3+3*2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{5^2+4^2+3^2} * \sqrt{7^2+3^2+2^2} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \sqrt {53^2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{25+16+9} * \sqrt{49+9+4} \end{eqnarray*}$

= 53 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ (gerundet) 55,68

Variante 2:

$\begin{eqnarray*} \sqrt {5*7+4*3+3*2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{5^2+4^2+3^2} * \sqrt{7^2+3^2+2^2} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \sqrt {53^2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{11^2} * \sqrt{12^2} \end{eqnarray*}$

= 53 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 132

Zur Gleichheit, setzt man jetzt für Vektor y den linear abhängigen Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 10 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein sind die Ergebnisse nach meiner Berechnung immer noch unterschiedlich. Nämlich
|100| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ |288| (nach Variante 2)

Irgendwie scheint die CSU nicht so meines zu sein, bis jetzt habe ich das restliche Matheskript gut verstanden. Vielen Dank schon mal für die Antworten, ich hoffe mal ich stelle mich gerade nicht zu dämlich an.

17.02.2011, 10:45

Ehos

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Du stellst Fragen.... Bei deiner Variante 1 darfst du auf der linken Seite keine Wurzel schreiben. Es muss heißen:

$\begin{eqnarray*} \left | \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\right |\leq \left |\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\right | \cdot \left |\begin{pmatrix} 7 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\right | \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} |5\cdot 7+4\cdot 3+3\cdot 2|\leq \sqrt{5^2+4^2+3^2} \cdot \sqrt{7^2+3^2+2^2} \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} 53 \leq \sqrt{50}\cdot \sqrt{62}=55,67... \end{eqnarray*}$
-----------------------------------------------------------------
Die Cauchy-Schwartzsche Ungleichung hängt übrigens mit der Definition des Skalarproduktes zusammen

$\begin{eqnarray*} \vec a\cdot \vec b=|\vec a|\cdot |\vec b|\cdot \cos(\phi) \end{eqnarray*}$

Bildet man auf beiden Seiten den Betrag, folgt

$\begin{eqnarray*} |(\vec a\cdot \vec b)|=|\vec a|\cdot |\vec b| \cdot |\cos(\phi)| \end{eqnarray*}$

Da der Betrag des Kosinus im Intervall [0;1] liegt, folgt unmittelbar die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

17.02.2011, 11:29

confused Stud.

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Erstmal danke Ehos nun hab ich das Ganze soweit verstanden. (Hab gerade gesehen, ich habe vergessen die Zahlen auf der linken Seite in eine Klammer zu setzen und danach zu quadrieren.)

Bleiben wir nun bei der richtigen Berechnungsweise und schauen uns den Fall des = an. dann kommt doch foldendes zu Stande.

|100| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{100} * \sqrt{200} \end{eqnarray*}$ und somit 100 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 141,42...
oder habe ich schon wieder einen Fehler gemacht?

vielen Dank schon mal für die Antworten, waren alle sehr hilfreich. Bin kein Mathematiker, sondern nur ein WiWi also habe ich wohl einen falschen Blickwinkel auf das Ganze.

17.02.2011, 11:54

tohuwabou

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Wieso $\begin{eqnarray*} \sqrt{100} \end{eqnarray*}$ ?

Du betrachtest doch diese 2 Vektoren gerade :

$\begin{eqnarray*} x=(5,4,3)^T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=(10,8,6)^T \end{eqnarray*}$

die linear abhängig sind ?

$\begin{eqnarray*} |x \cdot y| = |50+32+18|=|100| \le \sqrt{25+16+9} \cdot \sqrt{100+64+36}=\sqrt{50} \cdot \sqrt{200}=100 \end{eqnarray*}$

Also Gleichheit . Oder bist du bei einem anderen Bsp?

17.02.2011, 11:58

confused Stud.

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@ tohuwabou : Danke

Nein bin beim selben Beispiel habe mich nur irgendwie verrechnet bzw. einen Denkfehler. Hocke den ganzen Tag an meinem Matheskript und versuche mir dies so einfach wie möglich zu erklären und wieder in Textform zu bringen. Denke das dürfte auch den Nick-Namen, sowie den Grund erklären^^.

Vielen Dank allen die geantwortet haben, ihr habt mir sehr geholfen!

17.02.2011, 12:08

tohuwabou

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Viel Erfolg dabei. Bei weiteren Fragen wird dir hier sicherlich immer geholfen.

Nochmal zu linearen Abhängigkeit. Wenn 2 Vektoren lin. abhängig sind, dann müssen sie die gleiche, oder die entgegengesetzte Richtung haben.

Das bedeutet , dass der Winkel zwischen beiden Vektoren entweder 0° oder 180° ist.

$\begin{eqnarray*} cos(0°)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} cos(180°)=-1 \end{eqnarray*}$

Betrachtet man jetzt die Angabe von Ehos

$\begin{eqnarray*} |(\vec a\cdot \vec b)|=|\vec a|\cdot |\vec b| \cdot |\cos(\phi)| \end{eqnarray*}$

so folgt daraus, dass für lin. abh. Vektoren gilt

$\begin{eqnarray*} |a \cdot b|=|a| \cdot |b| \end{eqnarray*}$

Deshalb gilt also Gleichheit für linear abhängige Vektoren in der CSU.

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