Grenzwert

16.02.2011, 15:40

Gast11022013

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Grenzwert

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} p_n\in\Pi_n \end{eqnarray*}$ das Interpolationspolynom vom Grad n, das die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=e^x \end{eqnarray*}$ interpoliert mit den Stützpunkten $\begin{eqnarray*} i\cdot \frac{2}{n}, i=0,...,n \end{eqnarray*}$ .

Man zeige $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}||p_n-f||=0 \end{eqnarray*}$ .

Kann da jemand durchsteigen?

Meine Ideen:
An diese Aufgabe erinnere ich mich noch, dass sie in der Klausur vorkam und ich sie nicht geschafft habe.

EDIT:

Mir ist bisher nur eingefallen, dass an den Stützpunkten gilt:

$\begin{eqnarray*} p_n(i\cdot \frac{2}{n})=f(i\cdot \frac{2}{n})=e^{i\cdot \frac{2}{n}} \end{eqnarray*}$ .

16.02.2011, 18:41

tigerbine

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RE: Grenzwert
Wo ist denn allgemein dass Problem mit der Konvergenz? Haben wir das hier auch? Wie sehen die Intervalle aus? Wie sehen die ersten IPs aus?

16.02.2011, 18:46

Gast11022013

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RE: Grenzwert
Allgemein das Problem mit der Konvergenz? Was meinst Du damit?

Und welche Intervalle denn?

Ich glaube ich habe noch vergessen zu sagen, dass das Polynom die Funktion auf dem Intervall [0,2] approximiert und dass ich die unendlich-Norm meine.

Ist mir eben wieder eingefallen.

Kann man vielleicht Folgendes verwenden?

$\begin{eqnarray*} ||p_n-f||_{\infty}=\max_{i=0,...,1}|p_n-f| \end{eqnarray*}$ und dann für den Betrag die Abschätzung für den Interpolationsfehler, bei der vielleicht rauskommt, dass der Betrag kleiner, gleich 0 ist?

16.02.2011, 18:49

tigerbine

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RE: Grenzwert
Nja, die e-Funktion ist ja mit eine der dankbarsten Funktionen, oder? Wenn man sich die Fehlerformel anschaut, steigt mit n auch die Forderung an die Diffbarkeit der Funktion. Das ist schlecht, denn dann klappt das nur für sehr spezielle Funktionen. In anderen Gebieten ist schon 2mal stetig diffbar eine sehr starke Anforderung an eine Funktion.

Wie sieht denn, da nun [0,2] bekannt, die Fehlerabschätzung aus?

16.02.2011, 18:56

Gast11022013

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RE: Grenzwert
Also meine Idee ist folgende:

$\begin{eqnarray*} ||p_n-f||_{\infty}=\max_{i=0,...,n} |p_n-f|\leq \max_{i=0,...,n} (\max_{y\in [0,2]}|\frac{f^{(n+1)}(y)}{(n+1)!}\cdot L(x)| \end{eqnarray*}$

Und da nun die Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ immer wieder $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ist, geht doch der Ausdruck ganz rechts bzw. der Bruch gegen 0.

Und damit - würde ich sagen - hat man alles gezeigt.

16.02.2011, 19:10

tigerbine

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RE: Grenzwert
Das mit der Norm verstehe ich nun nicht. n ist doch fest. Die oo-Norm würde über das Intervall zu festem n den größten Abstand ermitteln. Hier haben wir ja keinen endlichen Vektor. Siehe Supremumnsnorm.

In dieser Form schätzt man ja für ein festes x im Grunde ab. Daher der Betrag.

$\begin{eqnarray*} |\varepsilon(x)| \leq |\prod_{j=0}^{n}(x-x_j)|\cdot \max_{t\in [a,b]} \frac{|f^{(n+1)}(t)|}{|(n+1)!|} \leq (b-a)^{n+1} \cdot \max_{t\in [a,b]} \frac{|f^{(n+1)}(t)|}{|(n+1)!|} \end{eqnarray*}$

So reduziert sich, die Ableitung verändert sich ja nicht, die Frage imho darauf ob 2^n oder n! schneller wächst. Das erinnert mich an eine der ersten Aufgaben zur vollständigen Induktion. Somit ist für jedes x aus [0,2]: |e(x)| -> 0.

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16.02.2011, 19:19

Gast11022013

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RE: Grenzwert
Dann muss ich das mit der oo-Norm falsch erinnert haben!

Danke.

Ganz klar ists mir noch nicht, aber ich verstehs vielleicht noch.

16.02.2011, 19:23

Gast11022013

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RE: Grenzwert
Was bedeutet das $\begin{eqnarray*} |\epsilon(x)| \end{eqnarray*}$ ?

16.02.2011, 19:25

tigerbine

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RE: Grenzwert
Sie kann es ja sein, nur muss dann allgemein ein sup da hin und der Index muss das Intervall sein, nicht 1...n.

$\begin{eqnarray*} |\varepsilon(x)| \leq 2^{n+1} \cdot \frac{e^2}{(n+1)!} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot e^2 \end{eqnarray*}$

code:
1: 2: 3: 4: 5:	n=0,1,2,3,4 2,4,8,16,32 1,2,6,24,120

edit: Das ist der Interpolationsfehler.

16.02.2011, 19:30

Gast11022013

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RE: Grenzwert
Okay, so weit verstanden.

Eine Frage bleibt noch:

Du hasts bestimmt schon erklärt, aber ich habs nicht begriffen:

Wie kommt man von der Norm auf den Betrag, den man dann wie oben abschätzen kann. Dazu muss doch die Maximum-Norm gefordert sein.

Fehlt dann nicht ein max davor bei Dir?

16.02.2011, 19:35

tigerbine

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RE: Grenzwert
Die oo-Norm betrachtet den unendlichen langen Vektor. Also für alle x aus dem Intervall.

In meiner Fehlerabschätzung lasse ich x fest. Dann ist e(x) nur eine reelle Zahl und ich kann den Betrag nehmen. Die Rechnung zeigt aber, dass für alle x aus [0,2] gilt e(x) -> 0. Das ist punktweise Konvergenz.

16.02.2011, 19:57

Gast11022013

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RE: Grenzwert
Du hast Dir alle Mühe gegeben, es verständlich zu machen. Verstehe trotzdem nicht, wieso man aus $\begin{eqnarray*} ||p_n-f||_{\infty} \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} |p_n-f| \end{eqnarray*}$ machen kann.

Erstaunt2

Erstaunt2

Was ich noch nicht verstehe, ist, wieso in der Aufgabenstellung die Knoten so explizit angegeben sind. Man braucht diese Info doch eigentlich nicht.

16.02.2011, 20:08

tigerbine

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RE: Grenzwert
Ich mache nicht das eine aus dem anderen. Es ist ein anderer Weg ans Ziel. Ich kenne in meinen Unterlagen meine Fehlerformel. Mit der arbeite ich.

Mit dem sup Weg kommt man aber genauso hin. Weil man nimmt ja intern die gleichen Ideen zum Abschätzen. Dabei ist hier natürlich der Induktionsbeweis für "Fakultät schlägt Potenz" zu führen. Vielleicht spart man sich das, mit dem konkreten Knotenpolynom der jeweiligen äquidistanten Zerlegung.

Macht ihr eine Besprechung der Klausur?

16.02.2011, 20:11

Gast11022013

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RE: Grenzwert
Das heißt, wenn ich oben bei meinem Ansatz statt max sup nehme, stimmts auch?

Ich weiß nicht, bisher gab es aber nie Nachbesprechungen von Klausuren.
Die werden gleich eingemottet.

Ich weiß nichtmal, obs eine Nachklausur gibt.

16.02.2011, 20:13

tigerbine

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RE: Grenzwert
Nein, dass max über i=1,...n ist falsch. Es ist sup über [0,2]. Nun ist hier - stetig auf Kompaktum! - das auch max über [0,2]. Das ist der Unterschied.

16.02.2011, 20:23

Gast11022013

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RE: Grenzwert
Okay, ich frage jetzt nicht weiter.

Vielleicht versteh ichs später.

16.02.2011, 20:36

Gast11022013

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RE: Grenzwert
Ich komme nur auf das max, weil im Skript steht:

"Um die nachfolgende Analyse durchzuführen benötigen wir den Begriff der zugeordneten Matrixnorm. Wir erinnern zunächst an verschiedene Normen für Vektoren $\begin{eqnarray*} x\in R^n \end{eqnarray*}$ . [...] oder die

$\begin{eqnarray*} ||x||_{\infty}=\max_{i=1,...,n} |x_i| \end{eqnarray*}$ ."

Ich begreife, dass man hier ein endliches n hat und daher max nimmt und in der Aufgabe hat man keinen endlichen Vektor, weil man n gegen unendlich laufen lässt. Daher sup. Das ist mir wohl verständlich.

Aaber warum sup über [0,2] verstehe ich nicht.

EDIT:

Vielleicht habe ich nie verstanden, was die Supremumsnorm/ Maximumsnorm ist.

16.02.2011, 20:44

tigerbine

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RE: Grenzwert
Wo steht das im Skript?

Zitat:

Original von Dennis2010
"Um die nachfolgende Analyse durchzuführen benötigen wir den Begriff der zugeordneten Matrixnorm. Wir erinnern zunächst an verschiedene Normen für Vektoren $\begin{eqnarray*} x\in R^n \end{eqnarray*}$ . [...] oder die

$\begin{eqnarray*} ||x||_{\infty}=\max_{i=1,...,n} |x_i| \end{eqnarray*}$ ."

Das n stammt aber doch aus der Dimension des Vektorraums. Bei uns ist n der aktuelle Index einer Folge von Polynomen steigenden Grades, betrachtet als Funktion. "Denn wir müssen uns dort aufhalten, wo auch die e-Funktion lebt". Daher brauchen wir die Supremumsnorm http://www.matheboard.de/archive/395892/thread.html Und M (aus dem Link) ist bei uns [0,2].

Mein Ansatz mit |.| untersucht punktweise Konvergenz. Mit ||.|| bekommst du glm. Konvergenz Da dies eine stärkere Aussage ist, kann sein, dass wir die Knoten noch brauchen.

Nun brauch ich erst mal eine Pause. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.02.2011, 20:55

Gast11022013

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RE: Grenzwert
Die Supremumsnorm... ist die für Funktionen mit sup definiert und bei Vektoren mit max?

16.02.2011, 21:14

tigerbine

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RE: Grenzwert
Schaue bitte die links an. Sie haben halt beide das Unendlichzeichen drin. Bei endlichen Geschichten macht gilt ja sup=max. Wir bekommen bei unserer Stetigen Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall auch sup=max. Der Kern ist aber, dass du den Index verstehen musst und von "welchem Objekt" du eine Norm betrachtest.

Vielleicht machst du heute auch einfach mal Pause. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Morgen ist auch noch ein Tag.

Wie hattet ihr euch denn den Interpolationsfehler notiert? Deine Formel

Zitat:

$\begin{eqnarray*} ||p_n-f||_{\infty}=\max_{i=0,...,n} |p_n-f|\leq \max_{i=0,...,n} (\max_{y\in [0,2]}|\frac{f^{(n+1)}(y)}{(n+1)!}\cdot L(x)| \end{eqnarray*}$

irritiert mich aus den oben genannten Gründen. Steht das so wirklich im Skript?

16.02.2011, 21:17

Gast11022013

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RE: Grenzwert
Ich gebs auf, ich bin zu blöd-.

16.02.2011, 21:19

tigerbine

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RE: Grenzwert
Nein, es ist heute nur nicht dein Tag. Es kommen auch wieder bessere.

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