Hessesche Normalenform - Abstand Punkt - Ebene

16.02.2011, 16:40	franzmeisser	Auf diesen Beitrag antworten »
Hessesche Normalenform - Abstand Punkt - Ebene Meine Frage: Hallo, ich verstehe leider die Hessesche Normalenform nicht wirklich.. Habe hier eine Aufgabe um den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene zu berechnen: P (5\|-3\|0) E: 2x - 10y + 11z -10 = 0 Meine Ideen: Habe die Formel d (P;E) = (Vektor)n0 (skalar) [(vektor)p - (vektor)a] Für Vektor p kann ich ja die Koordinaten vom Punkt P eingeben, aber was ist Vektor a und n0?
16.02.2011, 17:05	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Punkt $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ mit Ortsvektor $\begin{eqnarray} \vec{p} \end{eqnarray}$ und Ebenengleichung: $\begin{eqnarray} n_1 x + n_2 y + n_3 z = c \end{eqnarray}$ 1. ablesen: $\begin{eqnarray} \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ 2. in Formel einsetzen: $\begin{eqnarray} d(P,E) = \frac{\left\| \vec{n} \cdot \vec{p} - c \right\|}{\left\| \vec{n} \right\|} \end{eqnarray}$
16.02.2011, 17:20	franzmeisser	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort aber ich versteh es noch nicht so recht wenn ich ehrlich bin.. n1= 2 n2= -10 n3= 11 richtig? und c = 10?
16.02.2011, 17:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist's.
16.02.2011, 17:46	franzmeisser	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also im Nenner kommt bei mir 15 raus. Aber ist das im Zähler jetzt ein Skalarpunkt oder ein Malpunkt? Als Skalar kommt bei mir dann 30 raus, also d=2 Das ist aber glaube ich falsch.. Habe doch (2\|-10\|11) [skalar] (5\|-3\|0) - 10 im Zähler. Dann als Skalar ausrechnen mit a1b1 + a2b2 + a3b3 = hier 40 Minus 10 ist 30 30 / 15 = 2 Wo könnte da der Fehler sein?
16.02.2011, 17:51	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist kein Fehler. Das ist richtig. (Mit "Skalarpunkt" meinst du wahrscheinlich "Skalarprodukt". Ja, das ist das Skalarprodukt zweier Vektoren.)
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16.02.2011, 17:56	franzmeisser	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso ok dann ist ja gut. Hatte mir als Lösung 1/14 aufgeschrieben gehabt, aber das ist schon etwas länger her.. Vielen Dank für die Hilfe.

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