Abstand Ebene zu zwei Punkten

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througer Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand Ebene zu zwei Punkten
Hallo, ich habe eine Frage zu der folgenden Aufgabe:

Es seien A=(1,0,1) und B=(0,1,0): Geben Sie in Hessescher Normalenform die Ebene E an, deren Punkte von beiden Punkten A und B denselben Abstand besitzen.

Ich wollte das jetzt so lösen, dass ich den Abstand von Punkt A und der Ebene gleich den Abstand von Punkt B und der Ebene setze:

1/|n| *|A*n-d| = 1/|n| *|B*n-d|

hier setzte ich jetzt Punkt A und Punkt B ein und kann ja den Term 1/|n| kürzen. Dann erhalte ich:
x2 = x1+x3

Ich wähle x1 = -1 und x3 = 1 => x2 =0
Jetzt setze ich noch d = 1 und bin fertig. Meine Ebene in Hessescher Normalenform lautet:

r * 1/ * (-1,0,1) = 1

Prüfe ich jetzt den Abstand mit der oben genannten gleichung erhalte ich für beide Punkte 1/

Die Lösung soll aber:

r* 1/ * (1,-1,1) = 1/2* lauten

Berechne ich aber von der vorgegebene Lösung den Abstand zu den beiden Punkten erhalte ich zwei verschiedene Abstände. Ich denke deshalb, dass die offizielle Lösung falsch ist. Was mich nur wunderft, ist das ich bei meinem Lösungsvorschlag d beliebig wählen kann.
Nelstar Auf diesen Beitrag antworten »

Die offizielle Lösung ist richtig.

Was ich nicht verstehe, ist, wie du die gleichgesetzte Gleichung vereinfacht hast.

Und die Lösung ist im Übrigen ganz einfach ... du kannst Normalenvektor und Stützvektor der Ebene extrem einfach bestimmen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Vorgehen ist fragwürdig und führt auch auf ein falsches Ergebnis.
Du musst dir vor Augen halten, dass ALLE Punkte der gesuchten Ebene von den gegebenen Punkten A und B den gleichen Abstand haben müssen.

Daher geht die Ebene durch den Halbierungspunkt der Strecke AB und steht auf AB senkrecht. Sie hat als ihren Normalvektor (1; -1; 1), dessen Betrag ist .

mY+
Nelstar Auf diesen Beitrag antworten »

Genau Augenzwinkern
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand Ebene zu zwei Punkten
die "offizielle" lösung ist korrekt.



mit wie es sich gehört Augenzwinkern
througer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme an du meinst, dass ich den Normalenvektor auch bestimmen kann indem ich A-B rechne. Ich habe mich nur bei der Abstandsberechnung vertan und deshalb gedacht, die Lösung wäre falsch.

Hatte für d nicht 1/2 sondern 1/(2*) eingesetzt.
Oh man, ist schon spät. Hammer

Aber mal abgesehen davon, dass ich mich bei der Berechnung mit der offiziellen Lösung vertan habe, müsste meine Ebene doch auch den gleichen Abstand zu den beiden Punkten haben?

1/ * |(1,0,1) * (1,0,-1) -1|
=1/ | -1|
=1/

und

1/ |(0,1,0) * (1,0,-1) -1|
= 1/ |-1|
=1/

oder setze ich schon wieder einen Wert falsch ein?

EDIT: Mit so vielen Antworten hätte ich zu so später Stunde nicht mehr gerechnet. Wie gesagt, habe ich gedacht, dass das Ergebnis nicht stimmt und versucht irgendeine andere Lösung zu finden. Aber eine Sache ist mir noch nicht klar:

Ich kann natürlich eine Ebene zwischen die beiden Punkten legen, dann hat die Ebene zu beiden Punkten den gleichen Abstand. Aber wenn ich doch eine Ebene vor beide Punkte "halte" dann hat diese Ebene doch auch den gleichen Abstand zu den Punkten. Und egal wie weit ich meine Ebene von den Punkten weg oder heran führe, der Abstand beider Punkte zur Ebene ist immer gleich? (Ausgenommen der Abstand der Ebene zu den Punkten ist 0, dann liegen die Punkte in der Ebene.)
 
 
Nelstar Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast offensichtlich eine Ebene bestimmt, zu der beide Punkte den selben kürzesten Abstand haben.

Davon gibt es aber unendlich viele.

Das heißt aber nicht, dass jeder Punkt der Ebene den gleichen Abstand zu beiden Punkten hat.
througer Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, ich bin heute wirklich zu langsam, aber danke, jetzt habe ich es.
Natürlich, alle Punkte sollen den gleichen Abstand haben. Wenn ich jetzt einen Punkt meiner Ebene nehme, der nicht "direkt" über dem Punkt A oder B liegt, dann ist der Abstan zu A größer als zu B (oder umgekehrt). Deswegen habe ich mich auch gewundert, warum ich d frei wählen kann.^^
Nelstar Auf diesen Beitrag antworten »

Ich visualisiere dir das mal zweidimensional:



P(1/2) und Q(2/1) haben den gleichen Abstand zu beiden Geraden.

Aber nur für f(x) = 4x gilt: jeder Punkt der Gerade hat zu beiden Punkten den gleichen Abstand.
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