Normierter Eigenvektor gesucht..

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17.02.2011, 13:10	Langer221	Auf diesen Beitrag antworten »
Normierter Eigenvektor gesucht.. Meine Frage: Hi, würde gerne erfahren ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe. Gesucht: ein normierter Eigenvektor zur Matrix B. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 7 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Mit dem Eigenwert= 1, der sich aus dem ch. Polynom ergab habe ich versucht den dazugehörigen Vektor zu bestimmen. (B-LamdaE)X = 0 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 7 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Durch Ausmultiplizieren: => 7x2 + 2x3 = 0 3x2 =0 => x1 =0 ; x2 = -10 ; x3 =70 (gewählt) Norm.EigenVektor : $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{5000} }\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 70 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
17.02.2011, 13:13	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normierter Eigenvektor gesucht.. Wie kommst du denn auf die Idee, x_2=-10 zu wählen? Damit würde die letzte Gleichung falsch seion, 3*(-10)=0 stimmt so ja nun nicht. Der von dir ermittelte Vektor ist auch kein Eigenvektor der Abbildung.
17.02.2011, 13:28	Langer221	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, das hab ich nicht beachtet. Mhh müsste ich ja dann x2 = 0 wählen, jeodch damit die erste gleichung stimmt muss ja dann auch x3 = 0 sein oder geht es noch anders? Allerdings würde man bei der Normierung ja dann durch 0 teilen das macht ja keinen Sinn.
17.02.2011, 13:31	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
x_2=0 ist richtig, dann ist auch x_3=0, x_1 ist zu parametrisieren, die Lösung ist nicht der Nullvektor.
17.02.2011, 13:34	Langer221	Auf diesen Beitrag antworten »
Also könnte ich x_1 =1 einfach wählen, obwohl ja durchs ausmultiplizieren x_1 komplett weg fällt oder nich?
17.02.2011, 13:35	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Diesen Satz verstehe ich nicht, bitte drücke dich klarer aus, wieso fällt x_1 durch welches ausmultiplizieren weg? Und ich habe doch schon gesagt, x_1 ist zu parametrisisren.
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17.02.2011, 13:39	Langer221	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ich meinte jetzt wenn ich den Vektor (x_1 x_2 x_3)T mit der Matrix multipliziere komme ich ja auf die beiden gleichungen so wie ich sie schon aufgeschrieben hab. Und in dehnen kommt ja x_1 garnicht mehr vor weil es jedesmal mit 0 multipliziert wird.
17.02.2011, 13:43	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, und da $\begin{eqnarray} 0x_1=0 \end{eqnarray*}$ für jedes beliebige x_1 richtig ist wird, wie ich jetzt bereits das dritte mal sage, x_1 parametrisiert.
17.02.2011, 13:47	Langer221	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann wähle ich x_1 = 1 , dann wäre es: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{1} } \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = X bzw: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = X
17.02.2011, 13:53	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Der erste Einheitsvektor ist der gesuchte Eigenvektor, dennoch gilt es nicht, x_1 beliebig zu wählen, sondern x_1 zu parametrisieren, denn es existiert nicht ein Eigenvektor, sondern ein ganzer Eigenraum, und dieser ist in deinem Fall die Gerade $\begin{eqnarray} \vec{x}=\lambda \begin{pmatrix}1//0//0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ .
17.02.2011, 13:56	Langer221	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja gut das mag sein das ein ganzer Eigenraum ex. , nur in der Aufgabenstellung ist ja nur nach einem der Vektoren die im Raum liegen gefragt. Was verstehst du unter parametrisieren?
17.02.2011, 14:00	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir wählen für x_1 ein Parameter, in meinem obigen Fall hab ich das Lambda genannt, mann kann es auch t nennen oder s, wir setzen also x_1=t und stellen alle anderen x_i in Abhängigkeit von t dar, dann erhalten wir den Lösungsraum.
17.02.2011, 14:15	Langer221	Auf diesen Beitrag antworten »
Wobei t $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R ist?
17.02.2011, 14:17	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
t stammt aus dem zugrundeliegenden Körper, der ja nicht zwangsläufig R sein muss, in diesem Fall aber wohl schon.
17.02.2011, 16:34	Langer221	Auf diesen Beitrag antworten »
Müsste ich es dann um es korrekt darzustellen schreiben: $\begin{eqnarray} \vec{x} =\frac{1}{\sqrt{1} } t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ?
17.02.2011, 17:24	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Um den Eigenraum darzustellen schon, in der Aufgabenstellung ist jedoch nach dem Eigenvektor gefragt, der den Betrag 1 hat, und das ist der 1. Einheitsvektor. Meine Anmerkung sollte allgemeiner Natur sein, es ist üblich, um den Eigenraum darzustellen, ein (oder mehrere) x_i zu parametrisieren und nicht einfach irgendeinen Wert einzustezen.

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