Basis R^n |
| 17.02.2011, 16:48 | Studi10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| Basis R^n R^n (k <= n) zu einer Basis des R^n ergänzen ? (3P) Brauch mal bitte paar Lösungsvorschläge...Danke |
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| 17.02.2011, 17:08 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Füge zu der Menge einfach sukzessive einen weiteren Vektor hinzu, sodass die Menge linear unabhängig bleibt. Nach endlich vielen Schritten geht das nicht mehr .(Warum?) Jetzt musst du noch begründen, dass man dann letztendlich eine Basis erhalten hat. |
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| 17.02.2011, 17:28 | Studi10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
soweit ich weiß, kann die dimension der basis nicht größer sein als das n. ist das schon ein teil begründung? hab echt keinen plan, wie ich das begründen muss... |
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| 17.02.2011, 19:54 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Man spricht von der Dimension eines Raums. Diese ist definiert als die Mächtigkeit einer Basis. Eine Basis ist im allgemeinen nicht eindeutig bestimmt, man kann einen Vektor z.b. gegen ein skalares vielfaches austauschen. Die Mächtigkeit einer Basis, d.h. die Dimension ist hingegen eindeutig bestimmt. Offenbar denkst Du aber an das richtige. Was sagt denn die Dimension eines Vektorraums aus, das für die Frage hilfreich ist? |
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| 17.02.2011, 20:47 | Studi10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
dadurch, dass die basisvektoren bis a_k gehen und k<=n ist, kann die dimension der basis nicht größer als n sein. also kann es nur so viele basisvektoren geben oder? (dimension ist die anzahl der basisvektoren) weiß nicht, wie ich mich da richtig ausdrücken soll... hab noch ne frag, wenn es schon mal um dimensionen geht. muss die dimension im R^3 3 sin oder kann sie auch 2 sein? wenn ja, würde ich mich über ein beispiel freuen. |
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| 17.02.2011, 21:39 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Das ist die Frage, nicht die Antwort. Im Übrigen nochmal:
Ja. Und was hat das mit linearer Unabhängigkeit zu tun?
Wie du selbst sagst:
Was würde es bedeuten, dass Dimension 2 hätte? |
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| 17.02.2011, 21:53 | Studi10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
danke, ist ne gute definition für die prüfung. habs auch mitbekommen, als ich es abgeschickt hab. :S hab in irgendwelchen foren gelesen, dass die dimension des R^3 auch 2 sein kann. und das hat mich etwas verwirrt. das hieße ja, dass sich alle vektoren des R^3 aus nur 2 basisvektoren bilden lassen...und soweit ich weiß, geht das nicht...? naja da die basisvektoren ja unabhängig voneinander sein müssen, können nur so viele vektoren die basis des R^n bilden, die auch unabhängig sind. ich weiß aber immer noch nicht, wie ich das beantworten soll. ich glaub, ich steh echt grad auf dem schlauch... 
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| 17.02.2011, 22:01 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Zumindest nicht die Dimension, über die wir gerade reden.
Richtig. Das kannst Du Dir gut anhand der Standardbasis verdeutlichen.
Ja, du hast das richtige vor Augen. Der Punkt ist, dass eine Basis aus der maximalen Anzahl linear unabhängiger Vektoren besteht. Das ist letztlich die Antwort auf tmos Hinweis:
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| 17.02.2011, 22:08 | Studi10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
ja das mit der standardbasis ist einleuchtend. 
wenn das aber schon die ganze antwort auf die frage ist, weiß ich nicht, worauf es da 3 punkte geben soll. Vielen Dank auf jeden Fall. Da kann die Prüfung ja kommen. Ich hoffe es zumindest. 
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