Summenzeichen mit zwei laufenden Variablen

17.02.2011, 19:36	LyraListenreich	Auf diesen Beitrag antworten »
Summenzeichen mit zwei laufenden Variablen Meine Frage: Hallo liebes Matheboard-Forum, Ich habe zwei Gleichungen, von denen ich nicht weiß, ob sie nicht eigentlich dasselbe darstellen. Die erste lautet: $\begin{eqnarray} C[dx',dy']=\sum\limits_{i=1}^n \sum_{j=1}^n I_{t1}[x'_i,y'_j]\cdot I_{t2}[x'_i+dx',y'_j+dy'] \end{eqnarray}$ Bei der berechneten Funktion C handelt es sich laut Literatur um eine vierdimensionale Funktion. Die zweite Gleichung lautet $\begin{eqnarray} C[dx',dy']=\sum\limits_{i=1,j=1}^{i=n,j=n} I_{t1}[x'_i,y'_j]\cdot I_{t2}[x'_i+dx',y'_j+dy'] \end{eqnarray}$ Hier soll die Lösung ein zweidimensionales Array sein. Meine Ideen: Bedeutet das, dass die Indizes i und j bei der zweiten Gleichung immer gleichzeitig um 1 erhöht werden? Oder ist dies eigentlich nur eine andere Schreibweise der doppelten Summe? Dann würde ich allerdings nicht verstehen, warum die obere Funktion vierdimensional ist, die untere hingegen nur zweidimensional?!
18.02.2011, 10:09	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Beide Schreibweisen meinen das Gleiche. Es soll über alle Index-Variationen summiert werden: Beispiel $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1;j=1}^3 a_{i}b_{j}=\sum\limits_{i=1}^3 \sum\limits_{j=1}^3 a_{i}b_{j}=a_1b_1+a_1b_2+a_1b_3+a_2b_1+a_2b_2+a_2b_3 +a_3b_1+a_3b_2+a_3b_3 \end{eqnarray}$
18.02.2011, 10:27	LyraListenreich	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, das dachte ich mir schon. Das Ergebnis ist dann zweidimensional, oder? $\begin{eqnarray} I_{t1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} I_{t2} \end{eqnarray}$ sind ja Matritzen der Größe $\begin{eqnarray} n\times n \end{eqnarray}$
26.02.2011, 11:30	Hubert1965	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn, wie Ehos sagt und ich auch glaube, die beiden Formeln identisch sind, dann folgt daraus, dass entweder die Aussage "C ist eine vierdimensionale Funktion" falsch ist, oder dass die Aussage "die Lösung ist ein zweidimensionales Array" falsch ist, oder dass beide Aussagen falsch sind, oder (Achtung, jetzt kommts!) dass beide Ausagen wahr sind, weil sie sich gar nicht widersprechen. Hast du diese letzte Möglichkeit schon ins Auge gefasst? Worum geht es denn da eigentlich? Du hast Matritzen erwähnt, aber mir ist nicht klar, ob diese Formel die Definition einer Funktion ist, deren Kern eine Matritzenmultiplikation ist, oder ob diese Formel eine Gleichung ist, für die eine Lösung gesucht wird. Denn dein Satz "Bei der berechneten Funktion C handelt es sich [...] um eine vierdimensionale Funktion" scheint auf die Definition einer Funktion hinzuweisen, während du mit "Hier soll die Lösung ein zweidimensionales Array sein." Anlass gibst zu glauben, es handle sich um eine Gleichung, deren Lösung gesucht werden soll. Was stellen eigentlich die $\begin{eqnarray} x'_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y'_i \end{eqnarray}$ dar? Sind das n-dimensionale Vektoren? Noch ein Denkanstoß: Eine 4x4-Matrix ist ein zweidimensionales Array (also eine Ansammlung von 16 mathematischen Objekten in vier Zeilen und vier Spalten). Aber man kann sie auch als Ansammlung von vier Spaltenvektoren auffassen, wobei jeder Vektor einen Punkt in einem vierdimensionalen Raum beschreibt. - Ein und dasselbe Ding kann also je nach Betrachtungsweise mal zweidimensional und mal vierdimensional sein. Ein Vektor selbst ist eine eindimensionale Ansammlung von mathematischen Objekten (sie stehen ja alle schön in einer eindimensionalen Reihe). Die Anzahl der Objekte nennt man aber trotzdem die Dimension. Wenn also 380 Objekte in einer schönen (eindimensionalen) Reihe stehen, dann ist das trotzdem ein 380-dimensionaler Vektor. Was ich hier als "mathematisches Objekt" beschrieben habe, ist meist eine Zahl. Statt Zahlen können aber auch Vektoren, Matritzen, Tensoren, ja sogar Funktionen oder auch ganz andere Dinge an der Stelle einfacher Zahlen stehen. Und diese Dinge können selbst auch mehrere Dimensionen haben.

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