Quadratur des Kreises

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JL Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratur des Kreises
Meine Frage:
hallo zusammen!=)

ich beschäftige mich im Zuge der Matura unter anderem mit der "berühmten" Quadratur eines Kreises. Archimedes hat eine Methode entwickelt, bei der er zu einem Kreis in ein Flächengleiches Dreieck konstruiert(Archimedische Spirale). Zu einem Dreieck ein quadrat mit gleicher Fläche zu konstruieren ist kein Problem.

Die Frage ist nun, ob diese Methode desshalb keine "Lösung" darstellt, weil sie nur bei Kreisen von Ganzzahligen(natürlichen) Radien funktioniert, beziehungsweise wenn nicht, wie geht es bei nicht ganzzahligen?

Meine Ideen:
siehe oben

hier ein link zur veranschaulichung: http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/probleme1.htm

danke im voraus
abc2011 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratur des kreises
Zitat:
Original von JL
Archimedes hat eine Methode entwickelt, bei der er zu einem Kreis in ein Flächengleiches Dreieck konstruiert(Archimedische Spirale).


Da die «Quadratur des Kreises», d.h. die Konstruktion eines flächengleichen Rechtecks bei vorgegebenem Kreis, bewiesenermassen unmöglich ist, kann Archimedes höchstens eine Näherung gefunden haben oder aber er setzt Konstruktionswerkzeuge ein, die der «Euklidischen Geometrie» fremd sind. (Die «Spirale» wie etwa auch die Ellipse sind KEINE Kurven, deren Schnittpunkte und erst recht Tangenten als konstruiert gelten würden.)
JL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratur des kreises
selbst die berechnung der fläche eines kreises allein ist eine Näherung!!!!

sieh dir den link an...ich habe keinen Fehler entdeckt du etwa?? smile

aber danke für die erleuchtung!!
abc2011 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratur des kreises
Zitat:
Original von JL
selbst die berechnung der fläche eines kreises allein ist eine Näherung!!!!


Es geht um Konstruktionen.
JL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratur des kreises
dass es unmöglich ist ist klar, aber wenn du meine Frage gelesen hättest wüsstest du, dass sie lautet WARUM dieses verfahren keine lösung ist. dass es keine sein kann steht außer frage!!!
abc2011 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratur des kreises
Zitat:
Original von abc2011
Die «Spirale» wie etwa auch die Ellipse sind KEINE Kurven, deren Schnittpunkte und erst recht Tangenten als konstruiert gelten würden.
 
 
JL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratur des kreises
sry hab deinen edit zu spät gesehen=)

warum kann die Tangente einer spirale nicht konstruiert werden??

Edit: wenn keine kurven, was sind spiralen dann? gibt es eine Gruppe wie etwa bei kegelschnitten?
abc2011 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratur des kreises
Die strenge konstruktie Geometrie erlaubt nur folgende Operationen:
- durch 2 Punkte die Gerade ziehen (mit Lineal)
- einen Kreis zu gegebenem Radius schlagen (mit Zirkel)
- Schnittpunkte von Geraden und Kreisen gelten als konstruiert
JL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratur des kreises
verstehe.

aber um auf meine ursprüngliche Frage zurückzukommen, kann das Verfahren das Archimedes anwendet auch bei nicht ganzzahligen Radien des Ausgangskreises verwendet werden??
abc2011 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratur des kreises
Eine Masseinheit spielt überhaupt keine Rolle: Der Kreisinhalt wird in einen Dreiecksinhalt überführt.
JL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratur des kreises
ja schon, aber es wird doch angenommen, dass der abstand auf der x achse vom ursprung der spirale zu einer der windungen dem radius entspricht. und wenn man dann vom ursprung eine normale auf die erste achse und vom endpunkt des radius=punkt der spirale die Tangente in diesem Punkt erstellt, so entsteht ein rechtwinkeliges dreieck das als eine tangente den radius und als andere den Umfang des kreises hat, und somit Flächengleich mit ihm ist.

wenn aber der umfang, der vom ursprung aus aufgetragen wird nicht 1 sondern 1.5 ist, dann ist der endpunkt des radius kein element der spirale, und somit kann auch keine Tangente gezeichnet werden oder?
JL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratur des kreises
@abc2011: ich hoffe ein weiteres mal auf deine hilfe!

kannst du mir dabei helfen eine spirale zu beschreibnen?
ich verweise hiermit auf den threat "spirale beschreiben".=)

danke
abc2011 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratur des kreises
Zitat:
Original von JL
wenn aber der umfang, der vom ursprung aus aufgetragen wird nicht 1 sondern 1.5 ist, dann ist der endpunkt des radius kein element der spirale, und somit kann auch keine Tangente gezeichnet werden oder?


Ich weiss nicht, wieso der Umfang 1 sein soll.
Archimedes Argumentation bezieht sich immer auf den ersten Spiralenschnittpunkt P auf der positiven x-Halbachse, nichts Anderes kommt in Frage.

Die hier wichtige Spiralenart heisst «archimedische Spirale». Es gibt andere. Die Beschreibungen sind verschieden. Aber eine Beschreibung mit einer Gleichung in kartesischen (d.h. x-y-) Koordinaten ist kaum geeignet. Polarkoordinaten sind dagegen wie gemacht für Spiralen. Es gibt allenfalls noch die Möglichkeit einer Beschreibung mit einem Parameter. Was möchtest du genau machen, wissen?
JL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratur des kreises
dann würde dieses Verfahren doch nur mit dem einheitskreis funktionieren. ist es nicht so, dass die tangente von jedem punkt aus, den umfang begrenzt, auf der normalen zu der Strecke mit dem geringsten abstand zum ursprung zu besagtem Punkt ?

wenn das zutrifft,

gibt es für jeden rationalen abstand vom ursprung 0, einen Punkt P der archimedischen spirale, der diesen abstand begrenzt?

oder anders gesagt:gibt es für egal welchen abstand ich vom ursprung auftrage in egal welche Richtung einen Punkt der spirale, in dem diese strecke endet?

danke
abc2011 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratur des kreises
Ich habe dich hoffentlich richtig verstanden und statt dem Vollwinkel mal nur einen Viertel davon verwendet: P liegt bei (0, 0.25) und T bei (pi/2, 0). Der Kreis mit Radius OP hat nun wieder (leicht nachweislich) denselben Flächeninhalt wie das Dreieck OPT. Offensichtlich ist PT aber keine Spiralentangente.
Dabei spielt die Frage der Skaleneinheit überhaupt keine Rolle.

[attach]18242[/attach]
JL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratur des kreises
aber der punkt ist doch, den Umfang zu konstruieren oder?
die tangente in dem punkt in dem der Radius vom ursprung aus aufgetragen die Spirale berührt, sollte doch mit dem schnittpunkt mit der normalen zum radius den Umfang begrenzen oder? verwirrt

danke
abc2011 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratur des kreises
Ja, tut er.
altru Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratur des kreises
Ich habe alle Ansätze und Antworten hier unter dem Thema QdK gelesen - läuft alles auf Annäherungen hinaus.
Mein Studium geht in die Richtung, wie etwa am 13.11.2013 hier unter "transzendente Zahl" angedeutet, nämlich dass ungeachtet der Transzendenz (Ferdinand von Lindemann) der Zahl Pi ev. doch eine Lösung gefunden werden kann, sofern eine Größe im Raum zu finden ist, in welcher zwei vergleichbare Abschnitte eines Kreises einerseits, und dem Abschnitt eines Quadrates anderseits, abgesteckt ("mit Zirkel und Lineal") werden kann.
Ich stelle hier 'mal eine schlichte Zeichnung rein, 3 Kreise mit D. 70, 60, 50 , und mit jeweils einem umschließendes Quadrat.
Dass es einen Kreis mit einem umschließenden Quadrat in einem Größenverhältnis gibt, welche in einem erkennbaren, konkreten Verhältnis zueinander stehen, ist außer Zweifel.
"Nur" finden und erkennen muss man es.
Sieht das jemand anders ?
altru Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratur des Kreises
Hier noch eine Ergänzung zum meinem Ansatz der Quadratur eines Kreises - gezeichnet:
In jedem Quadrat mit einem eingeschriebenen Kreis gibt es einen Punkt, den die beiden im Raum gemeinsam haben, bzw. sind es, kreuz und quer gespiegelt, 8 Punkte (siehe angehängte Zeichnung, wenn's denn klappt).
Danach teile ich den Kreis mit Quadrat in zwei Hälften, halbes Quadrat links, halber Kreis rechts.
Meine Frage kommt erst nach dem nächsten Schritt (die Erkenntnis ist schon da, weiß aber noch nicht, wie am besten formulieren..).

[attach]32220[/attach]

Edit opi: Ich habe den Beitrag hier angefügt, der Zusammenhang ginge andernfalls verloren.
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