Ordnung Diedergruppe

18.02.2011, 20:33

Gast11022013

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Ordnung Diedergruppe

Meine Frage:
In $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} \sigma \in O(\mathbb R^2) \end{eqnarray*}$ die Drehung um den Winkel $\begin{eqnarray*} \Phi=\frac{2\pi}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \in O(\mathbb R^2) \end{eqnarray*}$ die Spiegelung an der y-Achse, also $\begin{eqnarray*} \lambda(x,y)=(-x,y) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Die von $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ erzeugte Untergruppe $\begin{eqnarray*} D_{2n}=<\sigma,\lambda> \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} O(\mathbb R^2) \end{eqnarray*}$ heißt Diedergruppe.

a) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} D_{2n} \end{eqnarray*}$ die endliche Ordnung 2n hat.

Wer kann mir helfen, dies zu zeigen?

Meine Ideen:
Wenn ich das richtig verstanden habe, muss ich jetzt irgendwie zeigen, dass diese Gruppe 2n Elemente hat.

Das bedeutet doch, dass ich alle möglichen "Kombinationen" bilden muss:

Also die Identität ist enthalten, ebenso $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Das sind schonmal 3 Elemente.

Dann alle Verknüpfungen von $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ mit sich selbst:
Da gilt m.E. $\begin{eqnarray*} \sigma^n=id \end{eqnarray*}$ , also sind m.E. noch $\begin{eqnarray*} q^2, q^3,...,q^{n-1} \end{eqnarray*}$ enthalten.

[Aber was ist mit den Inversen? Zum Beispiel das Inverse von $\begin{eqnarray*} q^3 \end{eqnarray*}$ wäre doch dann $\begin{eqnarray*} q^{n-3} \end{eqnarray*}$ , aber das habe ich ja eigentlich schon berücksichtigt in meiner Aufzählung.]

Dann alle Verknüpfungen von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ mit sich:
Da gilt m.E. $\begin{eqnarray*} \lambda^2=id \end{eqnarray*}$ , da eine Spiegelung, die ich zweimal durchführe, wieder zur Ausgangssituation führt. Damit ist diese Spiegelung zu sich selbst invers, also das Inverse enthalten

Nun die eigentliche Schwierigkeit, die ich habe:

Und jetzt fehlen ja noch alle denkbaren Verknüpfungen, die man sich nur irgendwie zwischen $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ vorstellen kann und das überfordert mich irgendwie.

Kann mir bei diesem Schritt jemand helfen?

Und liege ich mit meiner Vorgehensweise überhaupt richtig?

18.02.2011, 20:53

Math1986

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RE: Ordnung Diedergruppe
Hi,
am Besten löst du das Problem indem du dazu die Elemente miteinander verknüpft und das in eine Verknüpfungstafel einträgst, an dieser kannst du dann auch die Inversen ablesen smile

smile

Die Verknüpfungen musst du per Hand berechnen, da führt kein Weg dran vorbei Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.02.2011, 21:08

Gast11022013

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RE: Ordnung Diedergruppe
Entschuldige, wenn ich so blöde nachfrage, aber...

Wie stelle ich diese Knüpfungstabelle auf?
Also ich weiß, was eine Verknüpfungstabelle ist, aber welche Elemente muss ich denn hier in die Waagerechte und Senkreichte schreiben?

18.02.2011, 21:15

Math1986

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RE: Ordnung Diedergruppe

Zitat:

Original von Dennis2010
Entschuldige, wenn ich so blöde nachfrage, aber...

Wie stelle ich diese Knüpfungstabelle auf?
Also ich weiß, was eine Verknüpfungstabelle ist, aber welche Elemente muss ich denn hier in die Waagerechte und Senkreichte schreiben?

Naja du hast ja geben: $\begin{eqnarray*} \lambda , \sigma \in O(\mathbb R^2) \end{eqnarray*}$ , diese Elemente musst du nun miteinander verknüpfen um die Verknüpfungstafel zu erhalten

18.02.2011, 21:21

Gast11022013

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RE: Ordnung Diedergruppe
Irgendwie begreife ich nicht so ganz, was Du meinst.

Meinst Du sowas hier?

http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/in...el/beispiel373/

Ich verstehe nicht so recht, was Du meinst.
Denn mein Problem war ja gerade, dass ich nicht weiß, welche Elemente ich verknüpfen kann.

18.02.2011, 21:24

Math1986

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RE: Ordnung Diedergruppe

Zitat:

Original von Dennis2010
Irgendwie begreife ich nicht so ganz, was Du meinst.

Meinst Du sowas hier?

http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/in...el/beispiel373/

Ich verstehe nicht so recht, was Du meinst.
Denn mein Problem war ja gerade, dass ich nicht weiß, welche Elemente ich verknüpfen kann.

Ja, so eine Art Verknüpfungstafel meine ich..

Du hast doch bereits 2 Elemente gegeben, ist dir klar wie du die miteinander verknüpfst?

PS: Die Verknüpfungstafel machst du zu Veranschaulichung mit n=2 oder n=3

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18.02.2011, 21:30

Gast11022013

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RE: Ordnung Diedergruppe
Die Verknüpfung ist doch die Komposition $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ .

Meinst Du

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|c|c||c|}<br /> <br /> \circ & \sigma & \lambda\\<br /> \hline<br /> \sigma & .. & ..\\<br /> \lambda & .. & ..\\<br /> \end{array} \end{eqnarray*}$

?

Und so soll man alle Elemente ermitteln können...??
Ich muss sicher noch in der Waagerechten und Senkrechtren Elemente dazufügen, aber ich weiß halt nicht, welche das sind.

Verstehst Du mein Problem?

18.02.2011, 21:32

Math1986

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RE: Ordnung Diedergruppe
Du machst zuerst eine Übersicht über sämtliche Elemente der Gruppe, dazu verknüpft du diese miteinander und erhälst neue Elemente, so bekommst du alle Elemente der Gruppe.

Dir ist klar wie der Erzeuger einer Gruppe definiert ist? Einfach diese Definition anwenden

18.02.2011, 21:36

Gast11022013

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RE: Ordnung Diedergruppe
Ich glaubem, wir reden aneinander vorbei.

Die Übersicht über alle Elemente der Gruppe gelingt mir eben nicht.
Anscheinend weiß ich alsio nicht, was der Erzeuger ist.

18.02.2011, 21:46

Math1986

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RE: Ordnung Diedergruppe

Zitat:

Original von Dennis2010
Ich glaubem, wir reden aneinander vorbei.

Die Übersicht über alle Elemente der Gruppe gelingt mir eben nicht.
Anscheinend weiß ich alsio nicht, was der Erzeuger ist.

Den Erzeuger hast du doch gegeben:

Zitat:

Original von Dennis2010
Meine Frage:
Die von $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ erzeugte Untergruppe $\begin{eqnarray*} D_{2n}=<\sigma,\lambda> \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} O(\mathbb R^2) \end{eqnarray*}$ heißt Diedergruppe.

Und die erzeugenden Elemente sind auch oben definiert.

Am Besten du schlägst die Definition eines Erzeugers mal nach und postest sie hier, ich glaube da liegt dein Problem

18.02.2011, 21:50

Gast11022013

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RE: Ordnung Diedergruppe
Also ich habe den Begriff so kennen gelernt, wie ichs anfangs beschrieben habe.

Dass man halt mit den Elemente, die im Erzeuger sind, also hier die beiden, alle möglichen Verknüpfungen macht.

Also erstmal schaut man, was dabei herauskommt, wenn man die Elemente mit sich selbst verknüpft.

Dann die Elemente untereinander.

Aber das scheint nicht korrekt zu sein, ich finde aber nirgends eine Definition, die ich verstehe. Vielleicht kannst Du eine geben, mir wäre damit sehr geholfen.

18.02.2011, 21:54

Math1986

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RE: Ordnung Diedergruppe

Zitat:

Original von Dennis2010
Dass man halt mit den Elemente, die im Erzeuger sind, also hier die beiden, alle möglichen Verknüpfungen macht.

Also erstmal schaut man, was dabei herauskommt, wenn man die Elemente mit sich selbst verknüpft.

Dann die Elemente untereinander.

Das ist doch soweit richtig.. Ich verstehe nicht das Problem dabei

18.02.2011, 21:57

Gast11022013

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RE: Ordnung Diedergruppe
Hammer

Hammer

Sind wir wieder am Anfang.. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich meine Folgendes:

Es ist kein Problem, einfach zichmal sigmas zu verknüpfen und zu gucken, was dabei rauskommt. Ebenso bei den lambdas.

Aber woher weiß man denn wie man jetzt was wie verknüpfen muss, wenn man jetzt die lambdas und sigmas verknüpft:

sigma lambda sigma lambda . . . ??
lambda sigma lambda sigma...?

Lambda lambda sigma sigma......

Ich kriege da keine Ordnung rein, wie man das systematisch untersucht und du sagst: Tabelle machen. Aber dazu muss ich doch auch erstmal das wissen,....

18.02.2011, 22:30

Gast11022013

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RE: Ordnung Diedergruppe
Ich versuche nochmal besser zu erklären, was eigentlich mein Problem ist.

Ich weiß also, dass $\begin{eqnarray*} D_{2n} \end{eqnarray*}$ erzeugt wird von einer Drehung $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ und einer Spiegelung $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} D_{2n}=<\sigma,\lambda> \end{eqnarray*}$ , so weit - so gut.

Mein Vorgehen ist jetzt, dass ich mir erst ansehe, was passiert, wenn ich $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ mit sich selbst verknüpfe - analog dann mit $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .

Hier habe ich herausgefunden, dass $\begin{eqnarray*} \sigma^n=id, \lambda^2=id \end{eqnarray*}$ gilt:

Also weiß ich bereits, dass $\begin{eqnarray*} id, \lambda, \sigma,...,\sigma^{n-1} \end{eqnarray*}$ Elemente der Gruppe sind. Die Inversen sind schon inbegriffen, da das Inverse von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ selbst und für z.B. $\begin{eqnarray*} \sigma^3 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sigma^{n-3} \end{eqnarray*}$ das Inverse und dies ist ja enthalten nach Obigem.

Und nun muss man noch wissen, was passiert, wenn man alle möglichen Kombinationen aus $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ verknüpft. Und das finde ich sehr unübersichtlich und ich erkenne nicht, was alles für Kombinationen möglich sind.

Welche ich erkenne sind:

$\begin{eqnarray*} \lambda\circ \sigma^{n-1},...,\lambda\circ \sigma \end{eqnarray*}$ .

Ich habe daraufhin meinem Tutor folgendes Fazit aufgeschrieben, einfach, weil ich mehr nicht erkannt oder beachtet habe:

$\begin{eqnarray*} <\sigma,\lambda>=\left\{id,\sigma^{n-1},...,\sigma,\lambda,\lambda\circ \sigma^{n-1},...,\lambda\circ \sigma\right\} \end{eqnarray*}$ .

Er hat das abgehakt, aber dazu geschrieben:

"Beweis dieser Darstellung fehlt, was ist mit $\begin{eqnarray*} \lambda\sigma^3\lambda^{-1}\sigma\in D_{2n} \end{eqnarray*}$ ?"

Daraufhin habe ich mich gefragt, was er meint - - anscheinend, dass ich nicht gezeigt habe, wie ich auf die Lösung gekommen bin - ich wusste ja nichtmal, dass ich schon alle 2n Elemente getroffen hatte.

Nun frage ich mich selbst:

Was ist denn z.B. mit Kombinationen wie

$\begin{eqnarray*} \sigma^{n-1}\circ \lambda,...,\sigma\circ \lambda \end{eqnarray*}$ oder
dem vom Tutor genannten Beispiel oder $\begin{eqnarray*} \sigma\lambda\sigma\sigma\lambda \end{eqnarray*}$ und so weiter und so fort.

Mir ist nicht klar, wie man analytisch auf das Ergebnis kommt - was mein Tutor vermutlich mit "Beweis" meinte.

18.02.2011, 22:45

Mystic

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RE: Ordnung Diedergruppe
Wenn ich mich mal kurz einmischen darf, dann liegt dein Problem darin, dass du nicht siehst (oder zumindestens nicht verwendest), dass die Untergruppe $\begin{eqnarray*} <\sigma> \end{eqnarray*}$ ein Normalteiler der $\begin{eqnarray*} D_{2n} \end{eqnarray*}$ ist, da sie Index 2 hat... Mit anderen Worten, du weisst, dass $\begin{eqnarray*} \lambda \sigma \lambda =\sigma^j \end{eqnarray*}$ für ein festes $\begin{eqnarray*} j \neq 1 \end{eqnarray*}$ sein muss, das zu n teilerfremd ist (z.B. j=n-1) und das hilft ungemein... Wink

Wink

Und lass die Operationssymbole $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ konsequent weg, damit stellst du dir nur selbst ein Bein... Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.02.2011, 22:49

Gast11022013

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RE: Ordnung Diedergruppe
Danke für diesen Hinweis.

Hast Du vllt. auch eine Ahnung, was mein Tutor mir mitteilen wollte?..

Ich verstehe nämlich seine Bemerkung nicht so gut: Beweis... und dann das Beispiel, das er gegeben hat... was war wohl seine Absicht dabei... verwirrt

verwirrt

18.02.2011, 22:50

C3P0

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Hallo,
ich würde dir folgende Alternativlösung vorschlagen:

Betrachte zuerst die Untergruppe $\begin{eqnarray*} U = \langle \sigma \rangle \end{eqnarray*}$ , die hat dann die Ordnung n.
Zeige dann, dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ normalisiert wird, also $\begin{eqnarray*} \lambda^{-1}U\lambda = U \end{eqnarray*}$ . Dann folgt $\begin{eqnarray*} \langle \sigma, \lambda \rangle = \langle \sigma \rangle \cdot \langle \lambda \rangle \end{eqnarray*}$ . Dann kannst du die Ordnung recht einfach ausrechnen.

Edit: Ah, wie ich sehe, kam der Vorschlag gerade schon smile

smile

18.02.2011, 22:59

Gast11022013

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Mit dem Hinweis, dass $\begin{eqnarray*} \sigma=\lambda\sigma\lambda \end{eqnarray*}$ scheiden ja dann alle anderen Kombinationen aus.

Und wahrscheinlich wollte mein Tutor einfach, dass ich zu der von mir angegebenen Menge noch dazu schreibe:

1.) $\begin{eqnarray*} \sigma^n=id \end{eqnarray*}$
2.) $\begin{eqnarray*} \lambda^2=id \end{eqnarray*}$
3.) $\begin{eqnarray*} \sigma\lambda\sigma\lambda=id \end{eqnarray*}$

EDIT:

Was ist mit $\begin{eqnarray*} \sigma^k\lambda=\lambda\sigma^{n-k} \end{eqnarray*}$ ?

Das hatte er noch dazu geschrieben, aber verstehs grad nicht.

18.02.2011, 23:14

Mystic

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Zitat:

Original von Dennis2010
Mit dem Hinweis, dass $\begin{eqnarray*} \sigma=\lambda\sigma\lambda \end{eqnarray*}$ scheiden ja dann alle anderen Kombinationen aus.

Diese Gleichung kann niemals gelten, da $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ dann vertauschbar und die Gruppe kommutativ wäre, und das ist sie ja nicht...

Zitat:

Original von Dennis2010
Was ist mit $\begin{eqnarray*} \sigma^k\lambda=\lambda\sigma^{n-k} \end{eqnarray*}$ ?

Das hatte er noch dazu geschrieben, aber verstehs grad nicht.

Das bedeutet, dass man $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ so wählen kann, dass gilt

$\begin{eqnarray*} \lambda\sigma\lambda=\sigma^{n-1} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt durch Bildung der k-ten Potenz auf beiden Seiten seine Behauptung...

Edit: Man kann das auch so sehen (R=Rotation, S=Spiegelung):

$\begin{eqnarray*} R \circ R=R,\ R \circ S = S \circ R = S, S \circ S =R \end{eqnarray*}$

Damit hast dann insbesondere auch

$\begin{eqnarray*} (\lambda\sigma)^2=(\sigma\lambda)^2=id \end{eqnarray*}$

also deine dritte Gleichng oben...

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