Unterraum

18.02.2011, 21:56

confused Stud.

Unterraum

Hallo ich weiß nicht warum, vielleicht bin ich nicht mehr aufnahmefähig, aber ich hänge gerade beim Unterraum fest.
Ich weiß: Der Unterraum eines Vektorraums ist eine Menge von Vektoren die drei Bedingungen erfüllen müssen:
1. In der Menge muss der Nullvektor enthalten sein.
2. Zwei Vektoren aus dem Unterraum, ergeben addiert ein Element des Unterraums.
3. Das Skalarprodukt aus einem Vektor des Unterraums und einer beliebigen reellen Zahl ist ein Element des Unterraums.

Aber wie hilft mir das zu überprüfen ob sagen wir zwei gegebene Vektoren einen Unterraum aufspannen. (kann man hier von aufspannen reden?)
z.B. Vektor $\begin{eqnarray*} v = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} und w = \begin{pmatrix} 9 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Oder braucht man noch mehr Infos. Suche mich schon seit mehr als 2 Stunden durch hompages um eine halbwegs erklärte Formel zur Bildung eines Unterraums oder auch Spanns zu finden.

Vielen Dank schon mal im voraus. Diese Seite war bis jetzt eine echte Hilfe, deswegen werde ich mal schauen auch die ein oder andere helfende Nachricht nach meinen Klausuren zu verfassen :-)

18.02.2011, 22:33

Merlinius

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Also wenn wenn Du beliebige Vektoren eines Vektorraums nimmst, dann spannen diese immer einen Unterraum auf. Da der "Span" ja definiert ist als Untervektorraum, der von den gegebenen Vektoren erzeugt wird. Z.B. ist:

$\begin{eqnarray*} <v_1, v_2> = Span(v_1, v_2) = \{\lambda v_1 + \mu v_2 | \lambda, \mu \in \mathbb R\} \subset \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ = "Kleinster Untervektorraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , der $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ enthält."

Diese Definition impliziert bereits, dass die Unterraumaxiome erfüllt sind.

Deshalb hat die Frage danach, ob gegebene Vektoren (irgend)einen Unterraum aufspannen eigentlich nicht viel Sinn. Was man höchstens fragen kann, ist: Spannen die gegebenen Vektoren einen bestimmten Unterraum auf? D.h. Du gibst einen Unterraum anhand eines Erzeugendensystems oder anhand der Lösungsmenge eines Gleichungssystems an, und fragst danach, ob bestimmte Vektoren diesen Raum (durch Linearkombinationen) aufspannen.

18.02.2011, 22:39

Iorek

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Zitat:

Original von Merlinius
Was man höchstens fragen kann, ist: Spannen die gegebenen Vektoren einen bestimmten Unterraum auf? D.h. Du gibst einen Unterraum anhand eines Erzeugendensystems oder anhand der Lösungsmenge eines Gleichungssystems an, und fragst danach, ob bestimmte Vektoren diesen Raum (durch Linearkombinationen) aufspannen.

Das würde ich so nicht stehen lassen wollen, es gibt durchaus andere Aufgabenstellungen die die Anwendung der Unterraumkriterien dann auch wirklich verlangen. Ist z.B. die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{x\in\mathbb R^3~|~x_1-x_2+x_3=0\right\} \end{eqnarray*}$ ein Unterraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ? Oder ein schönes, theoretischeres Beispiel ist im [Artikel] Untervektorraum zu finden, auch hier müssen die Kriterien überprüft werden.

Und da das weder mit Analysis noch mit Schulmathematik zu tun hat, verschiebe ich das mal in die Hochschulalgebra.

19.02.2011, 00:57

Merlinius

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Zitat:

Original von Iorek

Zitat:

Okay, aber inwiefern widerspricht das dem von mir Gesagten? Es ging doch hier um Span(...). Und wenn ich Span(u, v) betrachte, dann ist das immer ein UVR. Man kann natürlich irgendeine Menge nehmen und diese auf die UVR-Eigenschaft untersuchen, aber die Frage war ja "Wie kann ich überprüfen, ob zwei gegebene Vektoren eines Vektorraums einen UVR aufspannen?" Und meine Antwort ist "Zwei gegebene Vektoren spannen immer (irgend)einen UVR auf. Man könnte höchstens fragen, ob gegebene Vektoren einen bestimmten UVR aufspannen, für den man sich gerade interessiert."

Dass nicht jede Menge einen UVR darstellt, ist klar, aber das war m.M.n. nicht gefragt hier.

19.02.2011, 10:36

confused Stud.

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RE: Unterraum
Danke für die Antworten, sie haben mich schon ein gutes Stück weiter gebracht. Doch ich scheine meine Frage zu Beginn wohl wohl nicht richtig gestellt zu haben.
Also ich habe den theoretischen Ansatz gegeben, dass 1. der Nullvektor in der Menge enthalten sein muss, 2. ...

Unabhängig davon, dass ein Span immer von zwei (im R³ ) linear unabhängigen Vektoren aufgespannt wird, wie überprüfe ich nun dass die zwei gegebenen Vektoren einen Vektorraum aufspannen in dem der Nullvektor enthalten ist.

$\begin{eqnarray*} v = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} und w = \begin{pmatrix} 9 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich würde jetzt überprüfen ob beide Vektoren als Linearkombination den Nullvektor bilden können. Können Sie den Nullvektor abbilden sind sie aber lin. abhängig voneinander und spannen somit nicht mehr eine Ebene auf verwirrt

.
Das kann also nicht des Rätsels Lösung sein.

@ Iorek: Sry, hab mich wohl verklickt, das Thema sollte in die Algebra.

19.02.2011, 12:22

confused Stud.

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Ok, ich glaube ich habe meinen Fehler gefunden, in meinem Aufgaben untersuche ich gegebene Geraden und Ebenen ob Sie Unterräume sind und keine Vektoren.

Also z.B. die Punkte $\begin{eqnarray*} v = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} und \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} w = \begin{pmatrix} -4 \\ - 6 \\ -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ einer Geraden sind gegeben. Um herauszufinden ob der Nullvektor Element der Geraden ist rechne ich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -4 \\ - 6 \\ -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aufgelöst in einem LGS erhalte ich für $\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Gut und wie sieht das Ganze nun bei einer Ebene aus. Ich grübel mal weiter vielleicht komme ich auch noch selbst drauf.

19.02.2011, 12:27

Iorek

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Dann habe ich deine Ausführung wohl falsch verstanden, du hast natürlich Recht, ich hatte anscheinend eine andere Aufgabenstellung im Kopf. smile

Zitat:

Original von confused Stud.
Unabhängig davon, dass ein Span immer von zwei (im R³ ) linear unabhängigen Vektoren aufgespannt wird, wie überprüfe ich nun dass die zwei gegebenen Vektoren einen Vektorraum aufspannen in dem der Nullvektor enthalten ist.

Das ist erst einmal falsch, es gibt nicht DEN Span, der Span einer Teilmenge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller Linearkombinationen mit Vektoren aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und Skalaren aus dem zugrunde liegenden Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ . Auch wird "ein Span nicht immer von zwei l.u. Vektoren aufgespannt".

Wenn du zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ hast, dann ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{span}(x,y) \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum, der kleinste Vektorraum der $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ enthält, da gibt es nichts nachzuprüfen.

19.02.2011, 16:44

Merlinius

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Genau, also war Deine Frage anders. Du hast einen Stützvektor v und einen Richtungsvektor u. Dann musst Du natürlich nachprüfen, ob die Menge "{Stützvektor+µ·Richtungsvektor}" die Untervektorraum-Axiome erfüllt.

Man musste hier dazusagen, dass das eine ein Stützvektor war. Denn sonst würde man ja einfach sagen 0·v+0·u = 0 liegt in der Menge.

Bei der Ebene gehst Du genauso vor wie bei Deiner Geraden. Es ist ja eigentlich das selbe. Die Gerade ist Hyperebene des R² und die Ebene des R³. Nur dieses mal hast Du dann ein Gleichungssystem mit zwei Variablen (sofern Du die Ebene in der gleichen Darstellungsform angegeben bekommen hast und jetzt einen Stütz- und zwei Richtungsvektoren hast). Das Gleichungssystem ist inhomogen, wenn der Stützvektor ungleich 0 ist (homogene LGS sind immer lösbar, daran sieht man dann auch wieder, dass die 0 immer im Span liegt. Denn Span ist ja das, was gegebene (Richtungs)Vektoren aufspannen, ohne dass man einen Stützvektor dazunimmt.).

Somit stellst Du halt auf: $\begin{eqnarray*} a+\lambda u + \mu v = 0 \Rightarrow \lambda u + \mu v = -a \end{eqnarray*}$ , wobei a der Stützvektor ist.

Das ist ein ganz normales LGS, das Du jetzt auf Lösbarkeit überprüfen kannst. Damit wäre dann klar, ob der Nullvektor zur Ebene gehört.

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