Mächtigkeit |
19.02.2011, 11:41 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mächtigkeit Hallo, ich bin gerade dabei, Algebra I zu wiederholen und schon auf dem ersten Übungszettel finde ich eine Aufgabe, die ich nicht lösen kann, nämlich: Es sei G Gruppe. Zeigen Sie, dass . Meine Ideen: Ich habe noch keine Idee, wie man das zeigen kann. Man soll doch zeigen, dass Gleichmächtigkeit vorliegt und daher denke ich, dass man irgendeine Bijektion finden muss? |
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19.02.2011, 11:58 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Mächtigkeit
Die Aufgabe ist wohl eher zu zeigen, dass die Ordnungen der Elemente und übereinstimmen. |
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19.02.2011, 12:11 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Mächtigkeit Stimmt. Dankesehr für die Korrektur! Okay, was ich zum Thema "Ordnung eines Gruppenelements" weiß, ist Folgendes: 1. 2. teilt Hier würde ich eher vermuten, dass man Punkt 1 benötigt. Da zur Gruppe G nicht steht, ob sie endlich oder unendlich ist, muss man sicher beide Fälle in Betracht ziehen: a) Sei b) Sei Dann muss es doch geben, sodass . Also: Wie man nun die Gleichheit zeigt, wie die Aufgabe es verlangt, weiß ich nicht. Im Fall a) würde ich rein intuitiv sagen: Man sieht ja, dass die Mengen gleichviele Elemente haben... mathematisch weiß ich das aber nicht zu beweisen. Im Fall b) müsste man sicher zeigen, dass k=m. Auch hier weiß ich nicht, wie man das macht. Ein Tipp wäre willkommen! |
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19.02.2011, 12:33 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles was zu zeigen ist, ist: Dabei ist sogar nur eine Richtung zu zeigen, weil man h und g vertauschen kann. Man braucht dabei auch keine Fallunterscheidung, ob die Ordnung endlich ist oder nicht, obige Äquivalenz liefert bereits alles. Nehme dazu mal an, es gilt und berechne dann . |
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19.02.2011, 12:41 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich komme gleich auf Deinen Vorschlag zurück und werde ihn sehr gerne berücksichtigen, aber kann man es auch nach meinem Ansatz zeigen? Denn dieser Ansatz wurde auch im Tutorium besprochen. Leider habe ich nicht sauber mitgeschrieben, weshalb ich jetzt Probleme habe. |
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19.02.2011, 12:56 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Natürlich geht es auch mit deinem Ansatz, dann zeigt man, dass eine bijektive Abbildung ist. Aber das läuft, wenn man sich der Injektivität (und der Wohldefiniertheit, die Surjektivität ist trivial) widmet, auch darauf hinaus die obige Äquivalenz zu zeigen. |
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19.02.2011, 13:06 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke! |
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