G endliche Gruppe

19.02.2011, 13:12

Gast11022013

G endliche Gruppe

Meine Frage:
Es sei G eine endliche Gruppe, deren Elemente sämtlich eine Ordnung $\begin{eqnarray*} \leq 2 \end{eqnarray*}$ haben.

Zeigen Sie:

(a) G ist abelsch.
(b) Die Ordnung von G ist eine Potenz von 2.

Meine Ideen:
Meine Idee zu (a):

Angenommen, G ist nicht abelsch.

Das einzige Element, das Ordnung 1 hat, ist das Neutralelement.
Das bedeutet: Alle anderen Elemente haben die Ordnung 2.

Seien $\begin{eqnarray*} g,h\in G \end{eqnarray*}$ . Dann haben beide Elemente die Ordnung 2 und das bedeutet:

$\begin{eqnarray*} g=g^{-1},h=h^{-1} \end{eqnarray*}$ [selbstinvers]

Auch das Element $\begin{eqnarray*} gh \end{eqnarray*}$ hat Ordnung 2.
Das heißt $\begin{eqnarray*} gh=(gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}=hg \end{eqnarray*}$ [nach Obigem]

Das ist ein Widerspruch dazu, dass G nicht abelsch ist.
Also muss G abelsch sein.

Zu (b) habe ich noch nichts.

19.02.2011, 13:25

Mystic

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RE: G endliche Gruppe
Du solltest im Beweisteil (a) nicht unterscheiden zwischen Einselement und anderen Elementen (was bringt das hier?), denn alles was du brauchst ist ja, dass alle Elemente selbstinvers sind, und das gilt uneingeschränkt für alle Gruppenelemente...

Für Beweisteil (b) musst du einfach die Gruppe zu einem Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray*}$ machen, und das war's dann schon...

19.02.2011, 13:28

Gast11022013

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RE: G endliche Gruppe
Achja, stimmt!
Die Unterscheidung bei (a) ist wirklich überflüssig. Danke!

Bei Deinem Hinweis zu (b) weiß ich nicht, was $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ ist und auch nicht, wie man eine Gruppe zu einem Vektorraum macht.

Vielleicht kannst Du dazu etwas erläutern.
Wenn Du keine Lust dazu hast, versteh ichs aber auch. Augenzwinkern

19.02.2011, 13:35

Mystic

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RE: G endliche Gruppe

Zitat:

Original von Dennis2010
Wenn Du keine Lust dazu hast, versteh ichs aber auch. Augenzwinkern

Ich versteh zwar nicht, warum du das verstehst, aber hier die Anwort: $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray*}$ ist ein Körper (engl. field, daher das F!) mit 2 Elementen (daher der Index 2!) und diese beiden Elemente bezeichnet man aus naheliegenden Gründen mit 0 und 1...

Deine Aufgabe besteht also darin, für die Gruppe G, deren Operation du am besten additiv schreibst, da sie abelsch ist, wie wir schon wissen, in "vernünftiger Weise" eine Skalarmultiplikation mit 0 und 1 zu definieren... Klingt nicht schwer? Ist es auch nicht... Augenzwinkern

19.02.2011, 13:47

Gast11022013

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RE: G endliche Gruppe
DAnke!

19.02.2011, 13:57

Mystic

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RE: G endliche Gruppe
Hm, hoffentlich glaubst du jetzt nicht, mit der Definition der Skalarmultiplikation ist es schon getan, man muss natürlich schon noch die Vektorraumaxiome nachweisen, soweit sie hier nicht ohnehin trivial sind...

19.02.2011, 14:44

tmo

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Der Ansatz mit dem $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ gefällt mir sehr gut. Freude

Am Ende müsste man wohl auch noch erwähnen, dass G als VR insbesondere endlichdimensional ist, also isomorph zu einem $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2^n \end{eqnarray*}$ , was dann die Behauptung liefert.

Hier noch 2 weitere Ansätze, in denen vielleicht keine Begriffe vorkommen, die dir unklar sind.

1. Ansatz: Mit dem Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen, kann man leicht folgern, dass bei einer Gruppe mit $\begin{eqnarray*} 2^km \end{eqnarray*}$ Elementen (m ungerade) die Ordnung eines Primteilers von m realisiert wird, d.h. es gibt ein Element dieser Ordnung. Das würde ja sofort m=1 liefern.

Da es natürlich sein kann, dass du den Hauptsatz noch nicht kennst, hier etwas elementarer der 2. Ansatz:

Man setze wieder mit $\begin{eqnarray*} |G|=2^km \end{eqnarray*}$ an, wobei m ungerade ist.
Nun konstruiere man iterativ eine endliche Folge von Elementen $\begin{eqnarray*} a_1, \dotsc, a_n \end{eqnarray*}$ , sodass gilt: $\begin{eqnarray*} \langle a_1, \dotsc, a_s \rangle \end{eqnarray*}$ hat für alle $\begin{eqnarray*} s \leq n \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} 2^s \end{eqnarray*}$ Elemente.
Dabei wähle man das n größtmöglich. Leichte Überlegung führen zu $\begin{eqnarray*} n = \max \{ i \in \mathbb N | 2^i \leq |G| \} \end{eqnarray*}$ , d.h. die Konstruktion geht solange gut, bis man die Gruppenordnung ausgeschöpft hat.
Daraus folgt insbesondere: $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} > 2^km \end{eqnarray*}$ .
Der Satz von Lagrange liefert aber $\begin{eqnarray*} 2^n | 2^km \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 2^n \leq 2^k \end{eqnarray*}$ .
Insgesamt liefert dies $\begin{eqnarray*} m<2 \end{eqnarray*}$ , also die Behauptung.

Die Konstruktion dieser Folge sei dir überlassen, falls du dich denn diesem Ansatz widmen willst.

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