Supermarkt // Stochastik |
| 19.02.2011, 16:27 | Myn1210 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Supermarkt // Stochastik Hallo, ein freund und ich hängen jetzt schon eine weile an dieser aufgabe und wären für jede hilfe sehr dankbar =) Aufg.: Der Marktanteil eines Supermarktes ist in letzter Zeit drastisch gesunken.Daraufhin beauftragt der marktleiter ein Marketingunternehmen, den anteil der haushalte, die in dem supermarkt einkaufen durch werbemaßnahmen mindestens auf 40% zu steigern.Danach gaben 419 von 1000 haushalten an regelmäßig in den supermarkt einzukaufen 1.Formuliere eine entscheidungsregel zum erfolg der werbemaßnahmen aus sicht des marktleiters (irrtumswahrscheinlichkeit 5%).Wie lautet die entscheidung ? Beschreibe konkret mögliche Fehler 1. und 2. art 2.Berechne die wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. art,wenn der Marktanteil tatsächlich 32% beträgt ich hoffe einer kann uns bei diesem problem helfen vielen dank Meine Ideen: uns sind noch keine guten einfälle gekommen :/ |
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| 19.02.2011, 22:53 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es handelt sich bei der Aufgabe doch um einen ganz stinknormalen Hypothesentest! Die Nullhypothese H0 lautet: der Marktanteil p0 ist größer oder gleich 0,40. Die Alternativhypothese H1 lautet: der Marktanteil p1 ist kleiner als 0,40. Nun machen wir eine Stichprobe von 1000 Haushalten. Wenn maximal k Haushalte im Markt einkaufen glauben wir an H1. Wenn mindestens k+1 Haushalte im Markt einkaufen, dann glauben wir an H0. Da dies mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 5% erfolgen soll, fordern wir für p = 0,40 P(X <= k) <= 0,05 Na ... und daraus kann man doch jetzt mit Leichtigkeit das größtmögliche k bestimmen. Und das vergleichen wir jetzt mit dem Ergebnis 419 der Stichprobe ... Tja ... und wenn das wahre p=0,32 ist, dann können wir den Fehler der 2. Art doch auch bestimmen. Das ist die Wahrscheinlichkeit b, dass wir trotz gesunkenem p an H0 festhalten. Mit p=0,32 und unserem oben ermittelten k gilt also b = P(X >= k+1) |
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| 25.02.2011, 17:52 | Myn1210 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
könntest du mir vlt erklären wie ich da dann am besten anfange bin wirklich nicht gut in diesem themen bereich :/ |
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| 25.02.2011, 18:11 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na, gut, gar so weit bist du ja noch nicht gekommen. Es wurden Werbemaßnahmen durchgeführt, mit dem Ziel den Marktanteil auf mindestens 40 % zu steigern. Nur wissen wir halt nicht, ob das auch geklappt hat. Es könnte sein, dass der Marktanteil nicht gestiegen ist, dass er also unter 40 % liegt. Unsere Nullhypothese H0 lautet, dass die Aktion Erfolg hatte, dass der Marktanteil also auf mindestens 40 % gestiegen ist, d.h. es ist mindestens p0 = 0,40 Unsere Alternativhypthese H1 lautet, dass die Werbemassnahme nicht erfolgreich war, dass der Marktanteil diesen Wert nicht erreicht hat, dass also tatsächlich p1 < 0,40 ist. Was ist nun richtig? Dazu führen wir eine Befragung von 1000 Leuten durch. Wenn "viele" sagen, dass sie im Markt einkaufen, dann "glauben" wir an H0. Wenn aber nur "wenige" sagen, dass sie dort einkaufen, dann verwerfen wir H0 und "glauben" an H1. Die Frage ist jetzt nur ... wieviele Kunden sind "viele" und wieviele Kunden sind "wenige" ... die müssen wir nun beantworten ... Sind wir uns denn bis hierhin einig? Oder hast du jetzt Fragen ... Ich warte mal dein Feedback ab und dann geht es weiter ... 
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| 25.02.2011, 21:40 | Myn1210 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
soweit alles verständlich =) und danke das du mir dabei hilfst
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| 25.02.2011, 23:14 | imano | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich würde gerne wissen wie es hier weiter geht.... wie findet man hier heraus wieviele kunden "viele" sind? |
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| 26.02.2011, 07:46 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann machen wir mal weiter. Die Befragung der 1000 Haushalte liefert ein Ergebnis. Die Anzahl der Haushalte, die angeben einzukaufen, ist 419. Sind das nun "viele" oder "wenige"? Dazu legen wir eine Grenze k fest, bis zu der wir von "wenigen" ausgehen und an H1 glauben. Oberhalb dieser Grenze, also ab k+1 gehen wir von "vielen" aus und glauben an H0. Die Frage ist nun, wie man dieses k bestimmt. Dazu beachtet man, dass man bei diesem Verfahren einen Fehler machen kann. Dass wir nämlich aufgrund der Befragung an H1 glauben, obwohl H0 zutrifft, also p0 = 0,40 gilt. Wir haben einfach zufällig "zu wenige" positive Testergebnisse erzielt. Diesen Fehler bezeichnet man als "Fehler erster Art" und bezeichnet ihn mit "alpha". Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler erster Art, dass wir also obwohl H0 zutrifft höchstens k positive Testergebnisse erzielen, ist: alpha = P(X <= k) Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n=1000 und p=0,40 (weil ja H0 gelten soll). Fragen bis hierhin? Ich warte mal auf dein Feedback ...
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| 26.02.2011, 10:28 | imano | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hm. Das kann ja immer passieren oder? Ich kann von hausnummer 100 leuten ja theoretisch zufällig NUR jene leute befragen die mir das gleiche bestimmte ergebnis liefern. Ist damit der Fehler erster Art gemeint? Aber wenn ich hier in meiner Stichprobe zu viele Leute angeben nicht einzukaufen, wie kann dann überhaupt H0 trotzdem zutreffen? lg |
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| 26.02.2011, 10:45 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau so ist das. Aber, wenn die Wahrscheinlichkeit für eine positive Antwort p=0,40 beträgt, dann ist das eben sehr unwahrscheinlich, dass ALLE 100 Hausbewohner eine negative Antwort geben. Und diese Wahrscheinlichkeit kann man berechnen. Aber auch wenn dieser Fall eintritt, heißt das nicht, dass H0 falsch sein muss. Nur ist es eben sehr unwahrscheinlich, dass H0 zutrifft, wenn alle 100 Hausbewohner eine negative Antwort geben. Da würde man doch eher annehmen, dass H1 gilt. Wenn man meinetwegen nur fünf positive Anworten erhält, wird man vermutlich immer noch H1 für wahrscheinlicher als H0 halten. Da Frage ist jetzt nur, bis zu welcher Anzahl von positiven Antworten man H1 für wahrscheinlicher hält. Und ab welcher Anzahl man dann eher an H0 glaubt. Bis dahin alles klar?
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| 26.02.2011, 11:29 | imano | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ahhhh
okay, verstanden! |
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| 26.02.2011, 11:52 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
okay ... dann kommen wir auch schon zum Schluss: Der Fehler 1. Art (alpha) sollte nach Aufgabenstellung maximal 5 % betragen (das ist nämlich die Irrtumswahrscheinlichkeit). Also verlangen wir von unserem k die folgende Eigenschaft: alpha = P(X <= k) <= 0,05 Nun berechnen wir diese Wahrscheinlichkeit für verschiedene k mit n=1000 und p=0,40 P(X <= 350 ) = 0,0006 P(X <= 380 ) = 0,1038 Wir suchen nun das größte k mit der Eigenschaft P(X <= k) <= 0,05 Dieses k muss offenbar zwischen 350 und 380 liegen. Welchen Wert hat also das gesuchte k? |
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| 26.02.2011, 12:58 | Myn1210 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
nicht 419 =/ 
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| 26.02.2011, 13:04 | imano | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
dazu müsste ich noch wissen wie man P(X <= k) ausrechnet, bzw welche formel du verwendet hast. Dabei handelt es sich um eine linksseitige Intervallwahrscheinlichkeit oder? Nach welcher Formel rechnet man das aus? Sorry wenn die Frage vielleicht etwas stupide klingt, aber ich finde grad keine passende Formel... :/ und das hängt auch von der Verteilungsart ab oder? Naja wenn das k zwischen 350 und 380 liegen müsste dann probier ich einige werte aus, bis ich zu einem k komm dass grad noch ein ergebnis <= 0.05 liefert.... |
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| 26.02.2011, 13:30 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau ... an dem Wert für P(X <= 380) = 0,1038 sehen wir schon, dass wir bei 419 Antworten an H0 glauben!
Richtig, die Wahrscheinlichkeit hängt von der Verteilung ab. Hier haben wir die Binomialverteilung. Und für die gilt Das kann man von Hand nicht so ohne weiteres ausrechnen - dazu braucht man einen Taschenrechner, einen PC oder ein Tafelwerk. Hier ein paar Ergebnisse: P(X <= 350) = 0,0006 P(X <= 355) = 0.0019 P(X <= 365) = 0.0127 P(X <= 370) = 0.0280 P(X <= 371) = 0.0325 P(X <= 372) = 0.0375 P(X <= 373) = 0.0432 P(X <= 374) = 0.0495 P(X <= 375) = 0.0565 P(X <= 376) = 0.0643 P(X <= 377) = 0.0728 P(X <= 380) = 0,1038 Tja, jetzt stelle ich noch mal die Frage, welches ist das größtmögliche k, für das der Fehler erster Art gerade noch kleiner oder gleich 0,05 ist? |
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| 26.02.2011, 13:44 | imano | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das wäre dann wohl 374
Ist es Richtig, dass wenn ich die Summenfunktion bei der formel für P(X<=k) weglasse, die Punktwahrscheinlichkeit für k herausbekomme? |
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| 26.02.2011, 14:03 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Beides ist korrekt.
Allerdings müsstest du in der Formel für die Punktwahrscheinlichkeit dann i durch k ersetzen. Wie lautet, denn nun unsere Entscheidungsregel? D.h. wann entscheiden für uns für H0 und wann für H1? |
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| 26.02.2011, 14:31 | imano | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn mehr als 374 Leute sagen, sie gehen dort einkaufen so glauben wir an H0 und verwerfen H1. |
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| 26.02.2011, 15:05 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Yip ... genauso ist das.
Mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit >= 95 % (d.h. Irrtumswahrscheinlichkeit <= 5 %) glauben wir an H0, wenn mehr als 374 Leute dort einkaufen gehen. Wenn es höchstens 374 Leute sind, dann verwerfen wir H0 und glauben an H1. Und weil wir 419 Leute gefunden haben, glauben wir also an H0. Kommen wir nun zum Aufgabenteil b) Da geht es um den Fehler 2. Art. Der passiert, wenn man irrtümlich an H0 glaubt obwohl H1 gilt. D.h. die tatsächliche Wahrscheinlichkeit ist kleiner als p0 = 0,40 aber wir glauben dennoch an H0. Für diese Rechnung muss man den wahren Wert von p1 kennen. In diesem Fall ist p1 = 0,32 Wir fragen also unter n=1000 und p1=0,32 nach der Wahrscheinlichkeit, dass wir gemäß unserer Entscheidungsregel trotzdem an H0 glauben, dass also X > 374 ausfällt: beta = P(X > 374) Das kann man ausrechnen: P(X > 374) = 1 - P(X <= 374) = ... Dazu benötigt man wieder einen Rechner und erhält dann ... = 1 - 0,999 = 0,001 Und das war es schon ... nach dem Muster werden solche Aufgaben in der Schule gelöst ... |
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| 27.02.2011, 21:25 | Myn1210 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
kann mir jemand noch bei der aufgabe 2 helfen also wie muss ich beginnen und wie ist die rechnung im weiteren verlauf vielen dank |
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| 27.02.2011, 21:53 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Lösung steht doch genau oben drüber! Ich hab das halt Aufgabenteil b) genannt. Korrekt müsste es heißen: Aufgabe 2.
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