Ordnung Zentralisator |
19.02.2011, 16:29 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ordnung Zentralisator Sei die folgende Permutation in gegeben: . Bestimmen Sie die Ordnung des Zentralisators . Meine Ideen: Ich versuche das mal Schritt für Schritt zu verstehen. Der Zentralisator für ein Element ist definiert als . Man sucht also alle Permutationen in , die mit kommutieren. Das ist aber sehr schwer, würde ich sagen. Stattdessen kann man ja auch die Konjugation betrachten, denn die Menge oben kann man ja auch schreiben als: . Diese Menge ist der Stabilisator von bzgl. der Konjugation Irgendwie komm ich jetzt nicht weiter. Edit: Ich verstehe die letzte Menge so, dass man jetzt halt alle sucht, die in der Äquivalenzklasse (bzw. Konjugationsklasse) von sind. Mit anderen Worten: Die Anzahl der Zykel, die den gleichen Zykeltyp haben wie . Ich fühl mich an Lagrange erinnert: Dabei ist doch ... und entspricht diese Anzahl nicht der Anzahl der Zykel, die die gleiche Zykelstruktur wie haben (m.E. Stück)? Ich komm dann auf das Endergebnis 36 als Ordnung des gegebenen Zentralisators. PS: Irgendwas geht da noch völlig drunter und drüber. |
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19.02.2011, 17:39 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Ordnung Zentralisator Lösung Teil 1 Ich glaube, ich habe es zu umständlich gemacht und fang lieber nochmal von vorne an. Da der Zentralisator eine Untergruppe ist, kann man Lagrange anwenden: Nun stellt sich die Frage, wie man bestimmen soll. |
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19.02.2011, 21:16 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Ordnung Zentralisator Lösung Teil 2 Ich habe in meinem Algebra-Buch gelesen: "[...] insbesondere gilt: ." [Wobei die Bahn meint, den Stabilisator von x und den Index.] Demnach gilt doch für meine Aufgabe: , wobei ja die Konjugationsklassen die Bahnen der Konjugationsoperation sind. Man muss hier also bestimmen, wieviele Elemente in der Konjugationsklasse von sind (das sind alle Zykel des gleichen Zykeltyps), was ich oben bereits gemacht habe. Insgesamt komme ich so auf folgende Formel, mit der man die Lösung findet: Vielleicht ist meine Lösung ja korrekt. [Entschuldigung, dass ich jetzt 3 mal gepostet habe, aber die Aufgabe hat mich ein bisschen verwirrt, daher das Durcheinander.] |
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20.02.2011, 19:30 | C3P0 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Hallo, die Idee, die Anzahl der Konjugierten von auszurechnen, ist gar nicht schlecht. Allerdings hast du dich dabei verrechnet. Dass der Zentralisator eine größere Ordnung als 36 haben muss, kann man z.B. daran sehen, dass von jeder Permutation auf {11,12,13,14,15} zentralisiert wird, also hat der Zentralisator eine Untergruppe, die zu isomorph ist und daher mindestens die Ordnung . Um zu bestimmen, wie viele Permutationen den gleichen Zykeltyp wie haben und daher zu konjugiert sind, kannst du z.B. so vorgehen: Du wähst aus den Zahlen von 1 bis 15 für den 4-Zyklus 4 Zahlen aus, wobei die Reihenfolge wichtig ist. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür? Dabei erhälst du allerdings für je 4 Möglickeiten denselben 4-Zyklus, da etwa (1 2 3 4) = (2 3 4 1). Also musst du die erhaltene Anzahl noch durch 4 teilen. Aus den verbleibenden 11 Zahlen wählst du dann 3 für den ersten 3-Zyklus aus, wieder unter Beachtung der Reihenfolge, und hier kommt dann für jeweils 3 Möglichkeiten derselbe 3-Zyklus heraus. Schließlich wählst du dann noch aus den verbleibenden 8 Zahlen 3 für den letzten 3-Zyklus, wieder sind jeweils 3 Möglichkeiten identisch. Wenn du das getan hast, bist du aber noch nicht ganz fertig. Überlege dir, warum du so jeden Zyklus doppelt gezählt hast. Grüße |
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21.02.2011, 09:03 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Danke für den Hinweis. Ich komme darauf zurück, ich glaube nämlich, dass ich sowas schonmal auf einem Übungszettel gemacht habe und muss das mal nachschlagen. |
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21.02.2011, 18:05 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Ordnung Zentralisator Ich versuche jetzt mal die Anzahl der Zykel des Zykeltyps in zu bestimmen. Es gibt 4-Zykel in . Nun sucht man noch die Anzahl der Permutationen des Zykeltyps (3,3) in . Sei also . Die zugrunde gelegten Mengen sind . Es gibt dafür Möglichkeiten. Die Zykelzerlegung einer Permutation ist eindeutig bis auf Permutationen der Zykeln. In diesem Fall gilt . Das bedeutet, dass jede Permutationen zwei Mal gezählt wurde. Eine blöde Frage, aber: Wie errechnet man aus diesen Resultaten jetzt das Ergebnis? Edit: Ich habe in der Musterlösung nachgeschaut. Diese sagt, dass herauskommt. Das verstehe ich nicht... (Das End-Endergebnis der Aufgabe ist dann übrigens 1440. ) |
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21.02.2011, 19:06 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Ordnung Zentralisator
Oh Gott, was gibt's da groß zu verstehen? 1. Für die Auswahl der Elemente des Viererzyklus gibt es wieviele Möglichkeiten? 2. O.B.d.A. können wir das erste Element imer als Minimum aller Zykluselemente annehmen, wieviele Möglichkeiten gibt es dann für die weiteren Positionen? 3. Wieviele Möglichkeiten gibt es anschließend noch für die Auswahl der 3 Elemente der Dreierzyklen. 4. Unter Berücksichtung von 2., was ist die Gesamtzahl für die zwei Dreierzyklen? 5. Die beiden Dreierzyklen können auch noch vertauscht vorkommen, d.h., die bisherige Gesamtzahl ist um den Faktor 2 zu hoch... Siehst du wie man auf diese Formel nun kommt, insbesondere auf den Faktor 12 vorne? |
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22.02.2011, 11:09 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Ordnung Zentralisator Ich denke, dass es mir klar geworden ist: Zunächst hat man Möglichkeiten, 4 Zahlen aus 15 Zahlen auszuwählen. Wenn man die erste Zahl festgelegt hat, bleiben für die restlichen drei Positionen noch 3! Möglichkeiten, sodass man für den 4-Zykel insgesamt auf kommt. Für den 3-Zykel, den man als nächstes bildet, hat man Wege, 3 Zahlen aus 11 Zahlen zu wählen. Wenn man die erste Zahl gewählt hat, hat man 2! Möglichkeiten, die restlichen Positionen zu besetzen, also insgesamt Für den anderen 3-Zykel hat man dann Möglichkeiten 3 Zahlen aus 8 Zahlen zu wählen. Wenn man die erste Zahl gewählt hat, bleiben für die restlichen beiden Zahlen dann wieder 2! Möglichkeiten der Anordnung, also insgesamt für diesen 3-Zykel: . Macht alles zusammen zunächst: Dann muss man noch alles durch 2 teilen, denn die Dreizykel können sowohl als , als auch als verwendet werden, also hat man sie doppelt gezählt. So kommt man dann auf . |
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22.02.2011, 13:47 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Ordnung Zentralisator Hm, habe ich jetzt schon zuviel verraten?... Auf jeden Fall ist das korrekt... |
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22.02.2011, 15:06 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Ordnung Zentralisator Du hast nicht zu viel verraten! |
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22.02.2011, 15:09 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Ordnung Zentralisator Off-Topic: Dennis, guck mal in deine pns. |
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22.02.2011, 15:11 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Ordnung Zentralisator Oh, dankeschön!.. Das finde ich sehr, sehr lieb, kann ich sehr gut gebrauchen!! |
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22.02.2011, 15:25 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Ordnung Zentralisator
Und so schreibt man das in LaTeX
aber das nur nebenbei... |
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22.02.2011, 16:51 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Ordnung Zentralisator Eine Frage von mir (Dennis bitte nicht weiter beachten. Will dich nicht verwirren.). Die Antwort auf
ist also
Ich wollte wie in
vorgehen und muss in meiner Rechnung einen Denkfehler haben. Daher wollte ich das Endergebnis nochmal gegenchecken. |
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22.02.2011, 18:15 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Ordnung Zentralisator Dennis, könntest du kurz das Endergebnis nennen? Du hast doch die Musterlösung, oder? Danke. |
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22.02.2011, 18:18 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Ordnung Zentralisator Ja, gerne. Möchtest Du nur das Ergebnis oder die ganze Lösung? |
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22.02.2011, 18:20 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Ordnung Zentralisator Wenn es nicht zu viel Arbeit macht .. Will dich aber nicht von deinen Dingen abhalten, dann sagt mir nur das Ergebnis. |
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22.02.2011, 18:34 | C3P0 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Hallo, also 1440 ist falsch. Es müsste 8640 rauskommen. Der Zentralisator ist dann folgende Gruppe: |
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22.02.2011, 18:41 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Ordnung Zentralisator Nein, das mache ich gerne. Die Musterlösung ist ohnehin nicht allzu lang, denn der Tutor ist eher schreibfaul. Aufgabe: Sei die folgende Permutation in gegeben . Berechen Sie die Ordnung des Zentralisators . Lösung: Sei die Konjugationsklasse von , d.h. besteht aus allen Permutationen, die denselben Zykeltyp haben wie , also aus allen Permutationen der folgenden Form: . Wir wollen jetzt bestimmen. Dafür argumentieren wir rekursiv wie im Folgenden: Es gibt 4-Zykel in . Also gesucht wird {Permutationen des Zykeltyps (3,3) in }. Sei . Betrachten wir die unterliegenden Mengen und . Dafür gibt es Möglichkeiten. Also, es gibt mögliche Schreibweisen . Die Zykelzerlegung einer Permutation ist eindeutig bis auf Permutationen der Zykeln. In diesem Fall gilt . Das heißt, jede Permutation wurde zweimal gezählt. Insgesamt gibt es Permutationen in . Nun ist . -------------------------------- Ich habe nochmal eine Frage zu dem Punkt, dass man hier ja die 3-Zykel immer zweimal gezählt wurden. Wieso gilt das nicht für die Reihenfolge der beiden 3-Zykel und des 4-Zykel? Man könnte ja z.B. auch schreiben . Wieso beachtet man das nicht. Meine Idee: Weil man den 4er Zyklus ja als erstes berechnet hat und da gab es ja nichts zu vertauschen oder so, es sollte ja nur ein Viererzyklus gebildet werden. Also mit anderen Worten: Bei dem Endresultat, also wenn man den 4-Zyklus und die beiden 3-Zyklen ermittelt hat, vertauscht man ja nichts mehr. |
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22.02.2011, 18:45 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Ordnung Zentralisator Ohne die Aufgabe schon verstanden zu haben, mit Fakultäten kann ich hoffentlich rechnen.
Das stimmt nicht. Nimmt man die linke Seite später als Nenner und 15! als Zähler erhält man das Ergebnis von C3PO. edit: Stop!, warum ist hier beim drittem Binomialkoeffizient unten eine 4 und nicht eine 3? Siehe Ordnung Zentralisator , aber mit falscher rechter Seite. |
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22.02.2011, 18:46 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Ordnung Zentralisator Ja, tatsächlich! Da hat der Tutor sich einfach verrechnet, es kommt 8640 raus. Edit: MEIN FEHLER: Da steht eine 3 beim dritten Binomialkoeffizienten. |
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22.02.2011, 18:50 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Ordnung Zentralisator OK, danke. Ich versuche die Lösung dann mal zu verstehen. Ist es ok, wenn ich hier im Thread dann Fragen stelle? |
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22.02.2011, 18:51 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Ordnung Zentralisator Also ich habe nichts dagegen. Für mich ist die Aufgabe soweit klar und ich lerne gerne noch neue Aspekte dazu, die ich bestimmt nicht gesehen habe. |
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22.02.2011, 22:46 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Wie kommt man darauf? Gerade auf die Transpositionen? edit: Darin müßte auch der Schlüssel liegen, warum ich mit meiner Idee scheitere. Das mit der konkreten Gestalt der Bahnen (Zykel gleich Länge) habe ich erst in diesem Thread gesehen. Daher war erst mal der Versuch da "abzuzählen". Es bestand aus disjunkten Zyklen und so dachte ich mit Leider ist dies um den Faktor 2 zu klein. Was habe ich vergessen, oder ist die Idee eh für die Tonne und nur mit Glück "fast" dran. |
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23.02.2011, 00:03 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Da C3P0 nicht online zu scheint, werde ich versuchen, deine Frage zu beantworten... Es geht also um die Frage, welche Permutationen mit vertauschbar sind... Dafür ist notwendig und hinreichend, dass gilt Dies wiederum ist genau dann erfüllt, wenn die Darstellung von als Produkt elementfremder Zyklen folgende Zyklen enthält 1. Zyklen bestehnd aus {1,2,3,4}, welche mit (1234) vertauschbar sind. 2. Zyklen bestehend aus {5,6,7}, welche mit (567) vertauschbar sind. 3. Zyklen bestehend {8,9,10}, welche mit (8 9 10) vertauaschbar sind. 4. Eventuell, aber nicht zwingend alle Transpositionen (5 8),(6 9),(7 10) (oder eben keine von ihnen), denn der durch (5 8)(6 9)(7 10) induzierte innere Automorphismus vertauscht gerade die 2 Dreierzyklen und hält somit insgesamt fest... 5. Schließlich nur noch Zyklen, welche nur Elemente von {11,12,13,14,15} enthalten Hoffe, das hilft... |
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23.02.2011, 00:15 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Hallo Mystic, das ist nett von dir.
Genau. Am Ende muss man ja auf 8640 kommen. Verzeih, dass ich deinen Post so zerpflücke.
Beliebig? Ich hatte da nur die Potenzen von (1234) ermitteln können. Die wären in der Notation von C3PO ja auch drin. Vielleicht verstehe ich dich (oder die {}) da aber auch gerade falsch. |
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23.02.2011, 00:30 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ich hab das oben editiert, da ich selbst noch gemerkt habe, dass etwas nicht stimmt... Vielleicht stimmt es formal ja noch immer nicht ganz, aber es scheint mir sicher zu sein, dass deine Rechnung im Prinzip richtig ist, aber eben noch der Faktor 2 durch Berücksichtigung des Produkts (5 8)(6 9)(7 10) dazukommt... |
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23.02.2011, 00:51 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Dann habe ich wenigstens richtig aufgepasst. Und stimmt, in meiner Bauweise habe ich keine Vertauschung drin. Denke das ist der Schlüssel. Habe mir auf jeden Fall den anderen Weg auch angeschaut, dachte nur - weil die Zahlen noch klein waren - ich versuch das mal "kombinatorisch". Danke. Bei der Theorie wäre ich hier
steckengeblieben. Mein Buch erwähnt zwar, dass die Konjugiertenklassen Äquivalenzklassen sind, aber dem habe ich nicht genug Aufmerksamkeit geschenkt. Btw, ich kann das nachvollziehen (für die Konjugation allgemein), komme aber nicht darauf, warum die Zykel gleich lang sein müssen. Ich müßte ja einen Widerspruch basteln können. Kannst du mir da mal einen Denkastoß geben. edit: Die Konjugationsabbildung ist ja ein Automorphismus (innerer Automorphismus). Ich vermute, was mich herausgebracht hat war, dass hier das a variabel und nicht fest ist. Es gilt dann Da ord(g) die minimale Potenz ist, für die das zweite "=" gilt, haben die Bild und Urbild die gleiche Ordnung. Kann man es so begründen? |
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23.02.2011, 09:07 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ich denke, dass dies mit inneren Automorphismen gar nichts zu tun hat, sondern dass man das allgemeiner so begründen kann, dass bei einem Gruppenhomomorphismus stets gilt für alle ... Ist sogar ein Automorphismus, so liefert dies, zweimal angewandt auf die Gleichung , dass sein muss für alle ... Edit: Ich bin mir jetzt nicht ganz sicher, ob du weißt bzw. realisiert hast, was der durch eine Permutation induzierte innere Automorphismus genau bewirkt, nämlich man muss einfach die Datrstellung von als Produkt elementfremder Zyklen hernehmen und darin nur konsequent jedes durch ersetzen... Beispiel: Die Berechnung von für und irgendein ergibt einfach ... Falls dir das ohnehin klar war, dann vergiß es einfach, falls nicht, ist es wahrscheinlich der Schlüssel zum Verständnis des Ganzen überhaupt... |
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23.02.2011, 14:48 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ich wollte meine Betonung auch nicht auf das Wort "innere" legen, sondern Automorphismus. Ich verbinde diese Abbildungen halt noch mit der Buchseite, wo sie mir zum ersten Mal begegnet ist.
Formuliere ich meinen Weg noch einmal um - symbolisch. So habe ich ja nur Homomorphismuseigenschaften bei den "=" benutzt. Mein Rechnung zeigt also nur, aber vielleicht doch immerhin, : Ist die Ordnung des Bildelements dann also ein Teiler der Ordnung von g?
Ah, der "alte Trick" mit den Ungleichheitszeichen und dem richtigen Blickwinkel.
Zweifel nur. Nein, das habe ich nicht "nachvollzogen". Du hattest das im Beitrag "notwendig und hinreichend" schon geschrieben, ich kam da aber noch nicht mit.
Frage vorab, sollte es nicht heißen [erst 2er, dann 3er Zyklus]? Oder wie war das "konsequent" gemeint? Dann kann ich am Schlüsselfeilen weitermachen. |
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23.02.2011, 14:57 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ja, sogar einschränkend Teiler...
Du hast natürlich recht, da habe ich verschrieben, sorry... |
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23.02.2011, 14:58 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Was bedeutet einschränkend? Kein Problem, du testest doch nur, ob ich aufmerksam lese. |
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23.02.2011, 15:08 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Naja, wenn ich sage für Gruppenhomomorphismen ist das doch einschränkender als bloss zu sagen |
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23.02.2011, 15:11 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ach so meinst du das. Dann meinen wir das gleiche.
Habe die entsprechende Stelle in meinem Buch gefunden und konnte es nun nachvollziehen. |
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