Ordnung Zentralisator

Neue Frage »

Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Ordnung Zentralisator
Meine Frage:
Sei die folgende Permutation in gegeben:

.

Bestimmen Sie die Ordnung des Zentralisators .

Meine Ideen:
Ich versuche das mal Schritt für Schritt zu verstehen.

Der Zentralisator für ein Element ist definiert als

.

Man sucht also alle Permutationen in , die mit kommutieren.

Das ist aber sehr schwer, würde ich sagen.

Stattdessen kann man ja auch die Konjugation betrachten, denn die Menge oben kann man ja auch schreiben als:

.

Diese Menge ist der Stabilisator von bzgl. der Konjugation

Irgendwie komm ich jetzt nicht weiter.



Edit:

Ich verstehe die letzte Menge so, dass man jetzt halt alle sucht, die in der Äquivalenzklasse (bzw. Konjugationsklasse) von sind. Mit anderen Worten: Die Anzahl der Zykel, die den gleichen Zykeltyp haben wie .

Ich fühl mich an Lagrange erinnert:



Dabei ist doch ... und entspricht diese Anzahl nicht der Anzahl der Zykel, die die gleiche Zykelstruktur wie haben (m.E. Stück)?

Ich komm dann auf das Endergebnis 36 als Ordnung des gegebenen Zentralisators.

PS: Irgendwas geht da noch völlig drunter und drüber.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ordnung Zentralisator
Lösung Teil 1

Ich glaube, ich habe es zu umständlich gemacht und fang lieber nochmal von vorne an.

Da der Zentralisator eine Untergruppe ist, kann man Lagrange anwenden:



Nun stellt sich die Frage, wie man bestimmen soll.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ordnung Zentralisator
Lösung Teil 2

Ich habe in meinem Algebra-Buch gelesen:

"[...] insbesondere gilt: ."

[Wobei die Bahn meint, den Stabilisator von x und den Index.]


Demnach gilt doch für meine Aufgabe:

,

wobei ja die Konjugationsklassen die Bahnen der Konjugationsoperation sind.

Man muss hier also bestimmen, wieviele Elemente in der Konjugationsklasse von sind (das sind alle Zykel des gleichen Zykeltyps), was ich oben bereits gemacht habe.


Insgesamt komme ich so auf folgende Formel, mit der man die Lösung findet:




Vielleicht ist meine Lösung ja korrekt.
[Entschuldigung, dass ich jetzt 3 mal gepostet habe, aber die Aufgabe hat mich ein bisschen verwirrt, daher das Durcheinander.]
C3P0 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
die Idee, die Anzahl der Konjugierten von auszurechnen, ist gar nicht schlecht. Allerdings hast du dich dabei verrechnet. Dass der Zentralisator eine größere Ordnung als 36 haben muss, kann man z.B. daran sehen, dass von jeder Permutation auf {11,12,13,14,15} zentralisiert wird, also hat der Zentralisator eine Untergruppe, die zu isomorph ist und daher mindestens die Ordnung .
Um zu bestimmen, wie viele Permutationen den gleichen Zykeltyp wie haben und daher zu konjugiert sind, kannst du z.B. so vorgehen:
Du wähst aus den Zahlen von 1 bis 15 für den 4-Zyklus 4 Zahlen aus, wobei die Reihenfolge wichtig ist. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür? Dabei erhälst du allerdings für je 4 Möglickeiten denselben 4-Zyklus, da etwa (1 2 3 4) = (2 3 4 1). Also musst du die erhaltene Anzahl noch durch 4 teilen.
Aus den verbleibenden 11 Zahlen wählst du dann 3 für den ersten 3-Zyklus aus, wieder unter Beachtung der Reihenfolge, und hier kommt dann für jeweils 3 Möglichkeiten derselbe 3-Zyklus heraus.
Schließlich wählst du dann noch aus den verbleibenden 8 Zahlen 3 für den letzten 3-Zyklus, wieder sind jeweils 3 Möglichkeiten identisch.
Wenn du das getan hast, bist du aber noch nicht ganz fertig. Überlege dir, warum du so jeden Zyklus doppelt gezählt hast.

Grüße
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Hinweis.

Ich komme darauf zurück, ich glaube nämlich, dass ich sowas schonmal auf einem Übungszettel gemacht habe und muss das mal nachschlagen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ordnung Zentralisator
Ich versuche jetzt mal die Anzahl der Zykel des Zykeltyps in zu bestimmen.

Es gibt 4-Zykel in .


Nun sucht man noch die Anzahl der Permutationen des Zykeltyps (3,3) in .

Sei also . Die zugrunde gelegten Mengen sind . Es gibt dafür Möglichkeiten.

Die Zykelzerlegung einer Permutation ist eindeutig bis auf Permutationen der Zykeln. In diesem Fall gilt . Das bedeutet, dass jede Permutationen zwei Mal gezählt wurde.


Eine blöde Frage, aber: Wie errechnet man aus diesen Resultaten jetzt das Ergebnis? verwirrt


Edit:

Ich habe in der Musterlösung nachgeschaut.
Diese sagt, dass herauskommt. Das verstehe ich nicht...



(Das End-Endergebnis der Aufgabe ist dann übrigens 1440. Augenzwinkern )
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ordnung Zentralisator
Zitat:
Original von Dennis2010
Ich versuche jetzt mal die Anzahl der Zykel des Zykeltyps in zu bestimmen.

[...]

Ich habe in der Musterlösung nachgeschaut.
Diese sagt, dass herauskommt. Das verstehe ich nicht...

(Das End-Endergebnis der Aufgabe ist dann übrigens 1440. Augenzwinkern )


Oh Gott, was gibt's da groß zu verstehen?

1. Für die Auswahl der Elemente des Viererzyklus gibt es wieviele Möglichkeiten?
2. O.B.d.A. können wir das erste Element imer als Minimum aller Zykluselemente annehmen, wieviele Möglichkeiten gibt es dann für die weiteren Positionen?
3. Wieviele Möglichkeiten gibt es anschließend noch für die Auswahl der 3 Elemente der Dreierzyklen.
4. Unter Berücksichtung von 2., was ist die Gesamtzahl für die zwei Dreierzyklen?
5. Die beiden Dreierzyklen können auch noch vertauscht vorkommen, d.h., die bisherige Gesamtzahl ist um den Faktor 2 zu hoch...

Siehst du wie man auf diese Formel nun kommt, insbesondere auf den Faktor 12 vorne?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ordnung Zentralisator
Ich denke, dass es mir klar geworden ist:

Zunächst hat man Möglichkeiten, 4 Zahlen aus 15 Zahlen auszuwählen. Wenn man die erste Zahl festgelegt hat, bleiben für die restlichen drei Positionen noch 3! Möglichkeiten, sodass man für den 4-Zykel insgesamt auf

kommt.

Für den 3-Zykel, den man als nächstes bildet, hat man Wege, 3 Zahlen aus 11 Zahlen zu wählen. Wenn man die erste Zahl gewählt hat, hat man 2! Möglichkeiten, die restlichen Positionen zu besetzen, also insgesamt



Für den anderen 3-Zykel hat man dann Möglichkeiten 3 Zahlen aus 8 Zahlen zu wählen. Wenn man die erste Zahl gewählt hat, bleiben für die restlichen beiden Zahlen dann wieder 2! Möglichkeiten der Anordnung, also insgesamt für diesen 3-Zykel:

.


Macht alles zusammen zunächst:




Dann muss man noch alles durch 2 teilen, denn die Dreizykel können sowohl als , als auch als verwendet werden, also hat man sie doppelt gezählt.


So kommt man dann auf .
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ordnung Zentralisator
Hm, habe ich jetzt schon zuviel verraten?... verwirrt

Auf jeden Fall ist das korrekt... Freude
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ordnung Zentralisator
Du hast nicht zu viel verraten!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ordnung Zentralisator
Off-Topic:

Dennis, guck mal in deine pns. Wink
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ordnung Zentralisator
Oh, dankeschön!..

Das finde ich sehr, sehr lieb, kann ich sehr gut gebrauchen!! Blumen
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ordnung Zentralisator
Zitat:
Original von Dennis2010
So kommt man dann auf .

Und so schreibt man das in LaTeX

code:
1:
[latex]12 \binom {15}4 \binom {11}3 \binom 83[/latex]

aber das nur nebenbei... Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ordnung Zentralisator
Eine Frage von mir (Dennis bitte nicht weiter beachten. Will dich nicht verwirren.). Die Antwort auf

Zitat:
Sei die folgende Permutation in gegeben:

.

Bestimmen Sie die Ordnung des Zentralisators .


ist also

Zitat:
(Das End-Endergebnis der Aufgabe ist dann übrigens 1440.
?

Ich wollte wie in

Zitat:
Hallo,
die Idee, die Anzahl der Konjugierten von auszurechnen, ist gar nicht schlecht. Allerdings hast du dich dabei verrechnet. Dass der Zentralisator eine größere Ordnung als 36 haben muss, kann man z.B. daran sehen, dass von jeder Permutation auf {11,12,13,14,15} zentralisiert wird, also hat der Zentralisator eine Untergruppe, die zu isomorph ist und daher mindestens die Ordnung .


vorgehen und muss in meiner Rechnung einen Denkfehler haben. Daher wollte ich das Endergebnis nochmal gegenchecken.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ordnung Zentralisator
Dennis, könntest du kurz das Endergebnis nennen? Du hast doch die Musterlösung, oder? Danke. Wink
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ordnung Zentralisator
Ja, gerne.

Möchtest Du nur das Ergebnis oder die ganze Lösung?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ordnung Zentralisator
Wenn es nicht zu viel Arbeit macht .. Ups Will dich aber nicht von deinen Dingen abhalten, dann sagt mir nur das Ergebnis.
C3P0 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
also 1440 ist falsch. Es müsste 8640 rauskommen.
Der Zentralisator ist dann folgende Gruppe:

Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ordnung Zentralisator
Nein, das mache ich gerne.
Die Musterlösung ist ohnehin nicht allzu lang, denn der Tutor ist eher schreibfaul.

Aufgabe:

Sei die folgende Permutation in gegeben

. Berechen Sie die Ordnung des Zentralisators .

Lösung:

Sei die Konjugationsklasse von , d.h. besteht aus allen Permutationen, die denselben Zykeltyp haben wie , also aus allen Permutationen der folgenden Form:

.

Wir wollen jetzt bestimmen. Dafür argumentieren wir rekursiv wie im Folgenden:

Es gibt 4-Zykel in . Also gesucht wird

{Permutationen des Zykeltyps (3,3) in }.

Sei . Betrachten wir die unterliegenden Mengen und . Dafür gibt es Möglichkeiten. Also, es gibt mögliche Schreibweisen .

Die Zykelzerlegung einer Permutation ist eindeutig bis auf Permutationen der Zykeln. In diesem Fall gilt . Das heißt, jede Permutation wurde zweimal gezählt. Insgesamt gibt es

Permutationen in .

Nun ist .


--------------------------------

Ich habe nochmal eine Frage zu dem Punkt, dass man hier ja die 3-Zykel immer zweimal gezählt wurden. Wieso gilt das nicht für die Reihenfolge der beiden 3-Zykel und des 4-Zykel?

Man könnte ja z.B. auch schreiben . Wieso beachtet man das nicht.

Meine Idee: Weil man den 4er Zyklus ja als erstes berechnet hat und da gab es ja nichts zu vertauschen oder so, es sollte ja nur ein Viererzyklus gebildet werden. Also mit anderen Worten:

Bei dem Endresultat, also wenn man den 4-Zyklus und die beiden 3-Zyklen ermittelt hat, vertauscht man ja nichts mehr.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ordnung Zentralisator
Ohne die Aufgabe schon verstanden zu haben, mit Fakultäten kann ich hoffentlich rechnen.

Zitat:



Das stimmt nicht. Nimmt man die linke Seite später als Nenner und 15! als Zähler erhält man das Ergebnis von C3PO.

edit: Stop!, warum ist hier beim drittem Binomialkoeffizient unten eine 4 und nicht eine 3?

Siehe Ordnung Zentralisator , aber mit falscher rechter Seite.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ordnung Zentralisator
Ja, tatsächlich!

Da hat der Tutor sich einfach verrechnet, es kommt 8640 raus.

Edit:

MEIN FEHLER: Da steht eine 3 beim dritten Binomialkoeffizienten.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ordnung Zentralisator
OK, danke. Ich versuche die Lösung dann mal zu verstehen. Ist es ok, wenn ich hier im Thread dann Fragen stelle?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ordnung Zentralisator
Also ich habe nichts dagegen.

Für mich ist die Aufgabe soweit klar und ich lerne gerne noch neue Aspekte dazu, die ich bestimmt nicht gesehen habe.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von C3P0
Der Zentralisator ist dann folgende Gruppe:



Wie kommt man darauf? Gerade auf die Transpositionen?

edit:

Darin müßte auch der Schlüssel liegen, warum ich mit meiner Idee scheitere. Das mit der konkreten Gestalt der Bahnen (Zykel gleich Länge) habe ich erst in diesem Thread gesehen. Daher war erst mal der Versuch da "abzuzählen". Es bestand aus disjunkten Zyklen und so dachte ich mit



Leider ist dies um den Faktor 2 zu klein. Was habe ich vergessen, oder ist die Idee eh für die Tonne und nur mit Glück "fast" dran.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Da C3P0 nicht online zu scheint, werde ich versuchen, deine Frage zu beantworten...

Es geht also um die Frage, welche Permutationen mit



vertauschbar sind... Dafür ist notwendig und hinreichend, dass gilt



Dies wiederum ist genau dann erfüllt, wenn die Darstellung von als Produkt elementfremder Zyklen folgende Zyklen enthält

1. Zyklen bestehnd aus {1,2,3,4}, welche mit (1234) vertauschbar sind.
2. Zyklen bestehend aus {5,6,7}, welche mit (567) vertauschbar sind.
3. Zyklen bestehend {8,9,10}, welche mit (8 9 10) vertauaschbar sind.
4. Eventuell, aber nicht zwingend alle Transpositionen (5 8),(6 9),(7 10) (oder eben keine von ihnen), denn der durch (5 8)(6 9)(7 10) induzierte innere Automorphismus vertauscht gerade die 2 Dreierzyklen und hält somit insgesamt fest...
5. Schließlich nur noch Zyklen, welche nur Elemente von {11,12,13,14,15} enthalten

Hoffe, das hilft... Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mystic,

das ist nett von dir.

Zitat:
Es geht also um die Frage, welche Permutationen mit



vertauschbar sind.


Genau. Am Ende muss man ja auf 8640 kommen. Augenzwinkern Verzeih, dass ich deinen Post so zerpflücke.

Zitat:
1. Einen Viererzyklus bestehend aus {1,2,3,4}


Beliebig? Ich hatte da nur die Potenzen von (1234) ermitteln können. Die wären in der Notation von C3PO ja auch drin. Vielleicht verstehe ich dich (oder die {}) da aber auch gerade falsch.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab das oben editiert, da ich selbst noch gemerkt habe, dass etwas nicht stimmt... Vielleicht stimmt es formal ja noch immer nicht ganz, aber es scheint mir sicher zu sein, dass deine Rechnung im Prinzip richtig ist, aber eben noch der Faktor 2 durch Berücksichtigung des Produkts (5 8)(6 9)(7 10) dazukommt...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Dann habe ich wenigstens richtig aufgepasst. Augenzwinkern Und stimmt, in meiner Bauweise habe ich keine Vertauschung drin. Denke das ist der Schlüssel. Habe mir auf jeden Fall den anderen Weg auch angeschaut, dachte nur - weil die Zahlen noch klein waren - ich versuch das mal "kombinatorisch". Danke. smile

Bei der Theorie wäre ich hier

Zitat:
Sei die Konjugationsklasse von , d.h. besteht aus allen Permutationen, die denselben Zykeltyp haben wie


steckengeblieben. Mein Buch erwähnt zwar, dass die Konjugiertenklassen Äquivalenzklassen sind, aber dem habe ich nicht genug Aufmerksamkeit geschenkt. Btw, ich kann das nachvollziehen (für die Konjugation allgemein), komme aber nicht darauf, warum die Zykel gleich lang sein müssen. Ich müßte ja einen Widerspruch basteln können. Kannst du mir da mal einen Denkastoß geben. Hammer

edit:

Die Konjugationsabbildung ist ja ein Automorphismus (innerer Automorphismus). Ich vermute, was mich herausgebracht hat war, dass hier das a variabel und nicht fest ist. Es gilt dann



Da ord(g) die minimale Potenz ist, für die das zweite "=" gilt, haben die Bild und Urbild die gleiche Ordnung. Kann man es so begründen?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Da ord(g) die minimale Potenz ist, für die das zweite "=" gilt, haben die Bild und Urbild die gleiche Ordnung. Kann man es so begründen?

Ich denke, dass dies mit inneren Automorphismen gar nichts zu tun hat, sondern dass man das allgemeiner so begründen kann, dass bei einem Gruppenhomomorphismus stets gilt für alle ... Ist sogar ein Automorphismus, so liefert dies, zweimal angewandt auf die Gleichung , dass sein muss für alle ...

Edit: Ich bin mir jetzt nicht ganz sicher, ob du weißt bzw. realisiert hast, was der durch eine Permutation induzierte innere Automorphismus genau bewirkt, nämlich man muss einfach die Datrstellung von als Produkt elementfremder Zyklen hernehmen und darin nur konsequent jedes durch ersetzen...

Beispiel: Die Berechnung von für und irgendein ergibt einfach ...

Falls dir das ohnehin klar war, dann vergiß es einfach, falls nicht, ist es wahrscheinlich der Schlüssel zum Verständnis des Ganzen überhaupt...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich denke, dass dies mit inneren Automorphismen gar nichts zu tun hat,


Ich wollte meine Betonung auch nicht auf das Wort "innere" legen, sondern Automorphismus. Ich verbinde diese Abbildungen halt noch mit der Buchseite, wo sie mir zum ersten Mal begegnet ist. Augenzwinkern

Zitat:
sondern dass man das allgemeiner so begründen kann, dass bei einem Gruppenhomomorphismus stets gilt für alle


Formuliere ich meinen Weg noch einmal um - symbolisch. So habe ich ja nur Homomorphismuseigenschaften bei den "=" benutzt. Mein Rechnung zeigt also nur, aber vielleicht doch immerhin, :



Ist die Ordnung des Bildelements dann also ein Teiler der Ordnung von g?

Zitat:
Ist sogar ein Automorphismus, so liefert dies, zweimal angewandt auf die Gleichung


Ah, der "alte Trick" mit den Ungleichheitszeichen und dem richtigen Blickwinkel. Augenzwinkern

Zitat:
Edit: Ich bin mir jetzt nicht ganz sicher, ob du weißt bzw. realisiert hast, was der durch eine Permutation induzierte innere Automorphismus genau bewirkt, nämlich man muss einfach die Datrstellung von als Produkt elementfremder Zyklen hernehmen und darin nur konsequent jedes durch ersetzen...


Zweifel nur. Augenzwinkern Nein, das habe ich nicht "nachvollzogen". Du hattest das im Beitrag "notwendig und hinreichend" schon geschrieben, ich kam da aber noch nicht mit.

Zitat:
Beispiel: Die Berechnung von für und irgendein ergibt einfach ...


Frage vorab, sollte es nicht heißen [erst 2er, dann 3er Zyklus]? Oder wie war das "konsequent" gemeint? Dann kann ich am Schlüsselfeilen weitermachen.

Wink
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Ist die Ordnung des Bildelements dann also ein Teiler der Ordnung von g?

Ja, sogar einschränkend Teiler...

Zitat:
Original von tigerbine
Frage vorab, sollte es nicht heißen [erst 2er, dann 3er Zyklus]? Oder wie war das "konsequent" gemeint? Dann kann ich am Schlüsselfeilen weitermachen.

Du hast natürlich recht, da habe ich verschrieben, sorry... unglücklich
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Was bedeutet einschränkend?

Kein Problem, du testest doch nur, ob ich aufmerksam lese. Mit Zunge
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wenn ich sage



für Gruppenhomomorphismen ist das doch einschränkender als bloss zu sagen

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so meinst du das. Dann meinen wir das gleiche.

Zitat:
Ich bin mir jetzt nicht ganz sicher, ob du weißt bzw. realisiert hast,


Habe die entsprechende Stelle in meinem Buch gefunden und konnte es nun nachvollziehen. Tanzen
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »