Aut=Inn |
20.02.2011, 13:48 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Aut=Inn Zeigen Sie Ich habe folgende Lösung gefunden, die ich gerade versuche zu verstehen und die ich hier mal aufschreibe. Meine Ideen: I. II. (Automorphismus) ist bestimmt durch die Bilder von . Weil Automorphismus ist, muss , da als Automorphismus ordnungserhaltend ist. 1. Frage: Sehe ich das richtig, dass man bei I. den Homomorphiesatz verwendet und das für den Isomorphismus gilt, dass ? 2. Frage: Kann man immer die Ordnung von bestimmen mit ? 3. Frage: Warum müssen die Bilder in der Menge liegen? Was ist mit ordnungserhaltend gemeint? (Meine Idee: Ein Automorphismus ist ja bijektiv. Deswegen wird die Ordnung natürlich erhalten.] Wieso ist ? Das bedeutet doch, dass es 6 bijektive Homomorphismen von nach gibt. Aber wie weiß man, dass es gerade sechs sind? Kann man sogar sagen, dass ein Automorphismus hier z.B. Zweierzykel wieder auf Zweierzykel abbildet und den einzigen Dreierzykel auf den einzigen Dreierzykel, also auf sich selbst? Wenn ja, wieso? Danke für jede Hilfe! |
||||||||
20.02.2011, 14:00 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Aut=Inn
Aus logischer Sicht ist das sehr "wirr" angeschrieben und macht für mich keinen Sinn... Richtig wäre: Ad Frage 1,2: Ja.
Hm, wenn für dich das ohnehin "natürlich" ist, warum fragst du dann?
Da Automorphismen "ordnungserhaltend" sind, schon wieder vergessen? Und es gibt nur einen einzigen Dreierzyklus? Bist du dir da sicher? |
||||||||
20.02.2011, 14:02 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Aut=Inn Dann habe ich nicht verstanden, was man mit "ordnungserhaltend" meint. Ich dachte, das bedeutet: Wenn eine Gruppe z.B. 5 Elemente hat, dann hat die Bildmenge auch wieder 5 Elemente. Aber anscheiend sagt das etwas aus über die Ordnung der einzelnen Elemente und ihrer Bilder? |
||||||||
20.02.2011, 14:03 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Aut=Inn
Genau! |
||||||||
20.02.2011, 14:03 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Aut=Inn Aber was sagt es darüber aus? In einem anderen Thread hatte ich gefragt: "Ein Gruppenhomomorphismus erhält doch auch die Zykellängen und den Zykeltyp... oder? " Das schien absurd zu sein. Aber genau das passiert doch hier?? |
||||||||
20.02.2011, 14:07 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Aut=Inn Dass unter einem Automorphismus stets und die gleiche Ordnung haben, oder was meinst du? Edit: Ist für dich "ordnungserhaltend" dasselbe wie die "Zykellänge" und den "Zykeltyp" erhaltend? Dann schau dir mal die zwei Permutationen (12) und (12)(34) in genauer an... |
||||||||
Anzeige | ||||||||
|
||||||||
20.02.2011, 14:11 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Aut=Inn Nochmal kurz für meine eigene Klarheit: Es ist falsch, dass ein Gruppenhomomorphismus Zykellänge und Zykeltyp erhält. Korrekt? Aber es ist richtig, dass JEDER Gruppenhomomorphismus die Ordnung eines Elements erhält? Wirklich für JEDEN Gruppenhomomorphismus oder nur für Automorphismen? Edit: Ich habe die Begriffe "Ordnung" und "Zykellänge" nicht richtig unterschieden, danke für den wichtigen Hinweis! |
||||||||
20.02.2011, 14:17 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Aut=Inn
Es ist korrekt, dass es falsch ist, ja...
Oh Gott, hast du z.B. noch nie den Gruppenhomomorphismus gesehen, der alles auf das Einselement abbildet? Erhält dieser die Ordnungen der Elemente? |
||||||||
20.02.2011, 14:18 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Aut=Inn Ich habe den noch nie gesehen, dieser Gruppenhomomorphismus erhält die Ordnungen dann aber nicht. Wolltest Du damit mitteilen, dass das also nur für Automorphismen gilt? |
||||||||
20.02.2011, 14:24 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Aut=Inn
Ich dachte, das ist nach allem, was ich dazu schon gesagt habe, bereits klargestellt, aber wenn du noch eine Bestätigung brauchst: JA!!! |
||||||||
20.02.2011, 14:25 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Aut=Inn Okay, dankeschön! PS. Sollten meine Fragen Dich reizen, weil sie vielleicht zu dümmlich sind, so tut mir das leid, aber nur durch Fragen wird man eventuell klüger, wenns auch vermeintlich dumme Fragen sind. |
||||||||
20.02.2011, 14:32 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Aut=Inn Was mich reizt ist höchstens, dass du bei allereinfachsten Dingen (Beispiel: Erhalten Gruppenhomorphismen generell die Ordnungen der Elemente?) nicht selbst ein wenig herumprobierst, bevor du diese Frage stellst... Du profitierst ja dann auch von einer Lösung viel mehr, wenn du nachher sagen kannst, aha, genau an dieser Stelle habe ich offenbar falsch gedacht und diesen Irrweg muss ich daher in Zukunft meiden... |
||||||||
23.02.2011, 18:03 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Erweiterte Fragen. Hallo Mystic, wenn du auch noch einen Moment für mich Zeit hättest? Ich frage mich, warum man hier n=3 gewählt hat.
Hauptaufwand liegt bei mir in der Bestimmung des ersten "=". Könnte man nun direkt nachrechen oder die Isomorphie benutzen. Aufwand liegt dann in der Bestimmung des Zentrums. Für n=1 folgt sofort. Für n=2 auch, allerdings ist hier das Zentrum nicht trivial (nachrechnen oder prim verwenden). Für alle n>2 ist die Gruppenordnung nicht mehr prim. Kann man mit dem Ergebnis für n=3 folgern, dass für alle n>3 das Zentrum auch trivial ist? Ich denke da so in Richtung "Einbettung der in die ", kann es aber noch nicht in Form bringen. Wenn nicht trivial ist, dann gibt es mit insbesondere . Nun hänge ich, dass ich nur hab und ich bräuchte ja für den Widerspruch. Vielleicht ist die Idee aber auch schon falsch. |
||||||||
23.02.2011, 18:20 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Erweiterte Fragen.
Ja, das geht, der Beweis, dass das Zentrum für trivial ist lässt sich unmittelbar auch für die Symmetrischen Gruppen verallgemeinern, sodass n=2 die einzige Ausnahme bleibt...
Ich sehe nicht, dass diese Idee zielführend wäre... Wie gesagt, auch für den allgemeinen Beweis in sind nur 3 verschieden Elemente involviert, man muss sich den Fall n=3 genau ansehen und verallgemeinern... |
||||||||
23.02.2011, 19:17 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Erweiterte Fragen. In einem anderen Thread hattest du mir was über die Gestalt von beigebracht. Bleiben wir in der . => Man hat nur 2 Möglichkeiten für , dann ist schon festgelegt. Die Identität und Testen wir nun die zweite Variante mit einem anderen Element der : Es muss also gelten . Betrachten wir nun die . Auch dort finden dir das obige Beispiel. Damit ist dann aber doch auch schon festgelegt. Das müßte man nun Induktiv weitermachen. Direkt könnte ich mir vorstellen, obiges Beispiel für die Paarungen (12), (132) - (23),(243) - (n-1,n)(n-2,n,n-1) zu betrachten und daraus zu folgern, dass das Zentrum trivial ist. |
||||||||
23.02.2011, 20:27 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Erweiterte Fragen. Ich hätte das ungefähr so bewiesen... Es sei die symmetrische Gruppe für ein n . Angenommen es gibt ein welches im Zentrum von liegt. Dann wählen wir so, dass . Da insbesondere mit vertauschbar ist und Konjugieren mit die Transposition liefert, muss sein. Wir wählen nun ein weiteres Element und untersuchen die Vertauschbarkeit von mit .. Durch Konjugieren erhalten mit erhalten wir , das kann aber unmöglich (x y z) sein, Widerspruch! |
||||||||
23.02.2011, 20:42 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Erweiterte Fragen. Hatte deinen vorherigen Post so verstanden, dass ich den Widerspruchsansatz schon allgemein nicht weiter verfolgen sollte. Was aber nciht heißt, dass ich ansonsten auf deinen Weg gekommen wäre. |
||||||||
23.02.2011, 21:13 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Erweiterte Fragen. Ja, vielleicht habe ich mich auch nicht deutlich genug ausgedrückt... Auf jeden Fall sind nur drei verschiedene Elemente x,y,z in dem ganzen Beweis involviert, d.h., es spielt sich alles in der zu isomorphen Untergruppe ab, welche von den Permutationen auf {x,y,z} erzeugt wird... |
||||||||
11.03.2011, 17:13 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich möchte kurz etwas anmerken, was ich gerade beim "Stöbern" entdeckt habe. Es ist zwar richtig, dass für , jedoch gibt es noch einen Fall, wo , nämlich . Dort gilt und . Es gibt also einen äußeren Automorphismus, der in dem entsprechenden Wikipediaartikel treffenderweise auch als "exotisch" bezeichnet wird: http://en.wikipedia.org/wiki/Automorphis...ernating_groups |
|