Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen |
20.02.2011, 14:16 | studYY | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen g1 soll durch P(3|-1|5) verlaufen und a) parallel zu b) parallel zur z-Achse: c) senkrecht auf x-z-Ebene: d) parallel zur x-y-Ebene e) parallel zur x-z-Ebene ... sein. Ansatz: Zu a) : g1 soll also durch den oben genannten Punkt verlaufen, demnach wähle ich diesen Punkt als Stützvektor. Ich habe g2 gezeichnet und mir ist aufgefallen, dass der Richtungsvektor einfach eine zur y-Achse senkrechte Gerade ist. Wenn ich den Richtungsvektor von g2 an meinen Stützvektor anlege, entsteht auch hier eine zur y-Achse senkrechte Gerade und ist dementsprechend parallel zu g2 ( wie war das Fachwort dafür? kolinear.. ). Ist das Zufall oder muss das so sein, wenn ja, warum? Ich hoffe ich könnt mir weiter helfen, auch wenn heute so ein wunderschöner Tag ist & ihr wahrscheinlich das Wetter genießt =) |
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20.02.2011, 14:32 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen Zuerst einmal verstehe ich deine Frage nicht wirklich, was muss immer so sein? Wenn eine Gerade senkrecht auf einer Achse steht, dann steht eine dazu parallele Gerade auch senkrecht auf der Achse, immerhin sind die Geraden parallel. Dass die Gerade g_2 jedoch auf einer Achse senkrecht steht stimmt nicht. Wir betrachten das Skalarprodukt: (2,-1,3)*(0,1,0)=-1 ungleich 0, also steht der Vektor nicht senkrecht auf der y-Achse, analog kann man das auch für die anderen Koordinatenachsen berechnen. |
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20.02.2011, 14:52 | studYY | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen Danke, dass du dich meldest Igrizu Genauer formuliert: Ist es immer so, das wenn die Richtungsvektoren zweier Geradengleichungen identisch sind, dass die entstehenden Geraden parallel zueinander sind? Kannst du mir das bitte genauer erklären? Okey, ich entschuldige mich, es war nur ein Zufall (durch meine Skalierung), dass g2 senkrecht zu der y-Achse liegt. Wir haben das Skalarprodukt noch nicht besprochen, aber deinem Beitrag kann ich entnehmen, dass bei dem Ergebnis 0 die Vektoren senkrecht (in einem WIkel von 90°) zueinander stehen? Danke |
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20.02.2011, 15:12 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen Jap, wenn das Skalarprodukt 0 ist stehen die Vektoren senkrecht aufeinander.
Sie müssen nicht einmal identisch sein, lineare Abhängigkeit reicht vollkommen aus. Ein Vektor ist ein "richtungsgebender Pfeil", zwei Vektoren, die linear abhängig sind zeigen in die gleiche Richtung (oder in genau die entgegengestetzte), bilden wir zwei Geraden mit linear abhängigen Richtungsvektoren so gehen beide Geraden in die gleiche Richtung. |
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20.02.2011, 15:25 | studYY | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen Vielen Dank Igrizu, ich habe nicht so weit gedacht b) parallel zur z-Achse: Wobei z jeden Wert annehmen kann. Das heißt jede Linearkombination des Richtungvektors c) senkrecht auf x-z-Ebene: Hier würde ich gerne das Skalarprodukt anwenden, jedoch liegt hier eine Ebene und keine Achse vor. Kann man diese Aufgabe auch im Kopf(durch vorstellen) lösen, oder nur durch das Skalarprodukt? Dankeschön |
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20.02.2011, 15:35 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen Bei b) ist deine Überlegung richtig. Sagt dir das Kreuzprodukt etwas? Wenn nicht kann man das mit Hilfe des Skalarproduktes lösen, man sucht einen Vektor, der auf der x-Achse senkrecht steht und auf der z-Achse senkrecht steht. Man kann das aber auch durch die Überlegung lösen, dass die y-Achse senkrecht steht auf der x und der z-Achse. |
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20.02.2011, 17:27 | studYY | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen Das freut mich, danke Ich habe mich etwas schlau gemacht. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ergibt einen Vektor, dessen Richtung jeweils senkrecht zu den beiden gegebenen Vektoren steht. c) senkrecht auf x-z-Ebene: Vektor x-Achse: Vektor z-Achse: Ist das richtig? |
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20.02.2011, 19:00 | studYY | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen Wenn keiner antwortet wird es hoffentlich richtig sein
So ist es natürlich einfacher, demnach ist jede Linearkombination dieses Vektors eine Lösung: d) parallel zur x-y-Ebene Kann ein Vektor überhaupt parallel zu der x- und y-Achse sein? Wenn ich mir mein Koordinatensystem ansehe, zeigen die Achsen in verschiedene Richtungen. Danke. |
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20.02.2011, 19:11 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen Beide deiner Lösungen sind richtig, sowohl die über das Kreuzprodunkt als auch die, die durch die Überlegung zustandegekommen ist, dass die y-Achse senkrecht auf der x-z Ebene steht. Eine Gerade kann sicherlich parallel zu einer Ebene sein, nur gibt es keine eindeutige Gerade, sondern unendlich viele Geraden erfüllen die Bedingung. |
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20.02.2011, 19:20 | studYY | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen Okey, vielen Dank Igrizu Gibt es da vielleicht auch ein ?-Produkt das als Ergebnis einen Vektor liefert, der parallel zu den beiden gegebenen Vektoren liegt? Wenn nicht, dann habe ich mir überlegt, dass der gesuchte Richtungsvektor als Linearkombination, von der x-Achse/dem Vektor, der die x-Achse symbolisiert und der y-Achse/dem Vektor, der die y-Achse symbolisiert dargestellt werden muss. Gesuchter Richtungsvektor: Falsch? |
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20.02.2011, 19:50 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen Du kannst entweder einen der beiden Richtiungsvektoren nehmen, denn sicherlich ist eine Gerade zu einer Ebene parallel, wenn sie zu einer Geraden parallel ist, die in dieser Ebene liegt, oder einen beliebigen anderen Vektor nehmen, der in der Ebene liegt. Die von dir aufgestellte Linearkombination stellt die x-y-Ebene dar, ist also nicht die Darstellung einer Geraden. Aber du kannst diese Ebene ja erst mal um den Punkt verschieben, dann erhälst du eine Ebene, die zu der x-y Ebene parallel ist, dann suchst du dir eine Gerade aus dieser Ebene aus und stellst sie dar. |
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20.02.2011, 20:03 | studYY | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen Ich denke bei mir ist es noch immer ein Problem sich diese Ebenen vorzustellen. Ich habe also sozusagen eine Ebenengleichung aufgestellt? Aber wenn ich nun für r und s einen Wert einsetze erhalte ich doch einen Vektor, den ich dann als Richtungsvektor verweden kann?
So ungefähr? |
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20.02.2011, 20:24 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen
Jap, so kannst du es machen
Das ist auch richtig, nun kannst du eine Gerade bestimmen, die vollständig in dieser Ebene liegt. |
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20.02.2011, 20:42 | studYY | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen Wow, super, danke Igrizu, ich freue mich gerade ungemein Meine letzte Frage an dich: Welche besonderen Geraden werden duch die Parametergleichungen beschrieben? 1.) 2.) 3.) Kannst du mir vielleicht verraten, wie du an diese Aufgabe rangehst? (Außer es sind geheime, außerirdische Methoden ) Zu 1: Ich habe etwas rumprobiert und konnte dann vermuten, dass die Gerade senkrecht zu der Y-Achse steht. Prüfung durch Skalarprodukt: Demnach stimmt meine Vermutung? Reicht das, oder soll ich noch weiter prüfen, oder habe ich die Aufgabenstellung falsch verstanden? Danke. |
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20.02.2011, 20:49 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen Ich denke, deine Antwort geht ohne weiteres in die richtige Richtung, gerade im Bezug auf die vorangegangenen Aufgaben. Man kann das auch sehen, der Richtungsvektor der Geraden 1.) hat nur Einträge in x und z-Richtung, steht also senkrecht auf der y-Achse und liegt in der x-z Ebene. Analog kann man die beiden anderen Geraden "abarbeiten". |
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20.02.2011, 21:02 | studYY | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen 2. Die zweite Gerade hat nur Einträge in y und z-Richtung, steht also parallel auf der x-Achse und liegt in der y-z Ebene. 3. Die dritte Gerade hat Einträge in x, y und z-Richtung, jedoch sind alle Werte immer identisch und somit endet jeder Punkt im Koordinatenursprung Richtig? |
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20.02.2011, 22:21 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen
Ich hoffe, du meinst hier senkrecht und nicht parallel.
Das ist nun mal Humbug, überlege dir einfach mal im R², wie die Gerade ausschaut, besonders welchen Winkel sie zu den beiden Achsen hat. |
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20.02.2011, 23:08 | studYY | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen Genau, senkrecht zu der x-Achse. Zu deinen Beispiel: Es ist eine Ursprungsgerade, die einen Winkel von genau 45° hat. Wenn wir wieder in den dreidimensionalen-Raum gehen würde das der x-Achse entsprechen. Das heißt die entstehende Gerade aus 3. liegt auf der x-Achse? |
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21.02.2011, 08:49 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen Nein, die Achsen stehen in einem Winkel von 90° aufeinander, das sieht im Schrägbild nur aus wie 45°. Du hast richtig angemerkt, die Gerade mit dem Richtungsvektor (1,1) im R² steht im 45° Winkel auf den beiden Achsen. Was ist also mit dem Vektor (1,1,1), in welchem Winkel steht er auf welcher Achse? |
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21.02.2011, 23:41 | studYY | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen Vektor : Ich denke auch hier steht er im Winkel von 45° zu der x- und der y-Achse, da an sich nur der z-Wert mit 1 ins Spiel kommt und sich dadurch nichts in dem Zusammenhang ändert. Er symbolisiert also eine Winkelhalbierende der beiden Achsen. |
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22.02.2011, 10:01 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen Der Vektor steht im 45° Winkel auf der x-y Ebene, das ist richtig, überlege, ob er auch im 45° Winkel auf x-z und y-z Ebene steht |
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22.02.2011, 21:54 | studYY | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen Wenn du so fragst, müsste es stimmen Aber in meiner Vorstellung sieht es so aus: x-z-Ebene: Winkel von 45°: Vektor y-z-Ebene: Winkel von 45°: Vektor |
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23.02.2011, 09:51 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen Der Vektor steht nicht im 45° Winkel auf der x-y Ebene, hab nicht richtig aufgepasst, entschuldige, kleiner Fehler meinerseits. Der Vektor (1,1,0) steht im 45° Winkel auf der y-z Ebene und der x-z Ebene. Es ist . Welche besondere Aussage man allerdings über diesen Vektor nun treffen soll ist mir nicht ganz klar. |
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