Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen

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studYY Auf diesen Beitrag antworten »
Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen
Guten Tag smile

g1 soll durch P(3|-1|5) verlaufen und

a) parallel zu
b) parallel zur z-Achse:
c) senkrecht auf x-z-Ebene:
d) parallel zur x-y-Ebene
e) parallel zur x-z-Ebene
... sein.

Ansatz:

Zu a) :

g1 soll also durch den oben genannten Punkt verlaufen, demnach wähle ich diesen Punkt als Stützvektor.
Ich habe g2 gezeichnet und mir ist aufgefallen, dass der Richtungsvektor einfach eine zur y-Achse senkrechte Gerade ist.
Wenn ich den Richtungsvektor von g2 an meinen Stützvektor anlege,
entsteht auch hier eine zur y-Achse senkrechte Gerade und ist dementsprechend parallel zu g2 ( wie war das Fachwort dafür? kolinear.. ).
Ist das Zufall oder muss das so sein, wenn ja, warum?





Ich hoffe ich könnt mir weiter helfen,
auch wenn heute so ein wunderschöner Tag ist
& ihr wahrscheinlich das Wetter genießt =)
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen
Zuerst einmal verstehe ich deine Frage nicht wirklich, was muss immer so sein?

Wenn eine Gerade senkrecht auf einer Achse steht, dann steht eine dazu parallele Gerade auch senkrecht auf der Achse, immerhin sind die Geraden parallel.


Dass die Gerade g_2 jedoch auf einer Achse senkrecht steht stimmt nicht.

Wir betrachten das Skalarprodukt: (2,-1,3)*(0,1,0)=-1 ungleich 0, also steht der Vektor nicht senkrecht auf der y-Achse, analog kann man das auch für die anderen Koordinatenachsen berechnen.
studYY Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen
Danke, dass du dich meldest Igrizu smile

Genauer formuliert:
Ist es immer so, das wenn die Richtungsvektoren zweier Geradengleichungen identisch sind, dass die entstehenden Geraden parallel zueinander sind?
Kannst du mir das bitte genauer erklären?

Okey, ich entschuldige mich, es war nur ein Zufall (durch meine Skalierung), dass g2 senkrecht zu der y-Achse liegt.

Wir haben das Skalarprodukt noch nicht besprochen, aber deinem Beitrag kann ich entnehmen, dass bei dem Ergebnis 0 die Vektoren senkrecht (in einem WIkel von 90°) zueinander stehen?

Danke smile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen
Jap, wenn das Skalarprodukt 0 ist stehen die Vektoren senkrecht aufeinander.

Zitat:

Ist es immer so, das wenn die Richtungsvektoren zweier Geradengleichungen identisch sind, dass die entstehenden Geraden parallel zueinander sind?
Kannst du mir das bitte genauer erklären?


Sie müssen nicht einmal identisch sein, lineare Abhängigkeit reicht vollkommen aus.

Ein Vektor ist ein "richtungsgebender Pfeil", zwei Vektoren, die linear abhängig sind zeigen in die gleiche Richtung (oder in genau die entgegengestetzte), bilden wir zwei Geraden mit linear abhängigen Richtungsvektoren so gehen beide Geraden in die gleiche Richtung.
studYY Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen
Vielen Dank Igrizu, ich habe nicht so weit gedacht smile

b) parallel zur z-Achse:


Wobei z jeden Wert annehmen kann.
Das heißt jede Linearkombination des Richtungvektors

c) senkrecht auf x-z-Ebene:
Hier würde ich gerne das Skalarprodukt anwenden, jedoch liegt hier eine Ebene und keine Achse vor.
Kann man diese Aufgabe auch im Kopf(durch vorstellen) lösen, oder nur durch das Skalarprodukt?

Dankeschön smile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen
Bei b) ist deine Überlegung richtig.

Sagt dir das Kreuzprodukt etwas?

Wenn nicht kann man das mit Hilfe des Skalarproduktes lösen, man sucht einen Vektor, der auf der x-Achse senkrecht steht und auf der z-Achse senkrecht steht.

Man kann das aber auch durch die Überlegung lösen, dass die y-Achse senkrecht steht auf der x und der z-Achse.
 
 
studYY Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen
Das freut mich, danke smile

Ich habe mich etwas schlau gemacht.

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ergibt einen Vektor, dessen Richtung jeweils senkrecht zu den beiden gegebenen Vektoren steht.

c) senkrecht auf x-z-Ebene:

Vektor x-Achse:

Vektor z-Achse:






Ist das richtig?
studYY Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen
Wenn keiner antwortet wird es hoffentlich richtig sein smile

Zitat:
Man kann das aber auch durch die Überlegung lösen, dass die y-Achse senkrecht steht auf der x und der z-Achse.


So ist es natürlich einfacher, demnach ist jede Linearkombination dieses Vektors eine Lösung:


d) parallel zur x-y-Ebene

Kann ein Vektor überhaupt parallel zu der x- und y-Achse sein?
Wenn ich mir mein Koordinatensystem ansehe, zeigen die Achsen in verschiedene Richtungen.

Danke.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen
Beide deiner Lösungen sind richtig, sowohl die über das Kreuzprodunkt als auch die, die durch die Überlegung zustandegekommen ist, dass die y-Achse senkrecht auf der x-z Ebene steht.

Eine Gerade kann sicherlich parallel zu einer Ebene sein, nur gibt es keine eindeutige Gerade, sondern unendlich viele Geraden erfüllen die Bedingung.
studYY Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen
Okey, vielen Dank Igrizu smile

Gibt es da vielleicht auch ein ?-Produkt das als Ergebnis einen Vektor liefert, der parallel zu den beiden gegebenen Vektoren liegt?

Wenn nicht, dann habe ich mir überlegt, dass der gesuchte Richtungsvektor als Linearkombination, von der x-Achse/dem Vektor, der die x-Achse symbolisiert und der y-Achse/dem Vektor, der die y-Achse symbolisiert dargestellt werden muss.

Gesuchter Richtungsvektor:


Falsch?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen
Du kannst entweder einen der beiden Richtiungsvektoren nehmen, denn sicherlich ist eine Gerade zu einer Ebene parallel, wenn sie zu einer Geraden parallel ist, die in dieser Ebene liegt, oder einen beliebigen anderen Vektor nehmen, der in der Ebene liegt.

Die von dir aufgestellte Linearkombination stellt die x-y-Ebene dar, ist also nicht die Darstellung einer Geraden.

Aber du kannst diese Ebene ja erst mal um den Punkt verschieben, dann erhälst du eine Ebene, die zu der x-y Ebene parallel ist, dann suchst du dir eine Gerade aus dieser Ebene aus und stellst sie dar.
studYY Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen
Ich denke bei mir ist es noch immer ein Problem sich diese Ebenen vorzustellen.

Ich habe also sozusagen eine Ebenengleichung aufgestellt?

Aber wenn ich nun für r und s einen Wert einsetze erhalte ich doch einen Vektor, den ich dann als Richtungsvektor verweden kann?





Zitat:
Aber du kannst diese Ebene ja erst mal um den Punkt verschieben, dann erhälst du eine Ebene, die zu der x-y Ebene parallel ist, dann suchst du dir eine Gerade aus dieser Ebene aus und stellst sie dar.




So ungefähr?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen
Zitat:
Original von studYY
Aber wenn ich nun für r und s einen Wert einsetze erhalte ich doch einen Vektor, den ich dann als Richtungsvektor verweden kann?





Jap, so kannst du es machen Freude


Zitat:
Original von studYY
Zitat:
Aber du kannst diese Ebene ja erst mal um den Punkt verschieben, dann erhälst du eine Ebene, die zu der x-y Ebene parallel ist, dann suchst du dir eine Gerade aus dieser Ebene aus und stellst sie dar.




So ungefähr?


Das ist auch richtig, nun kannst du eine Gerade bestimmen, die vollständig in dieser Ebene liegt.
studYY Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen
Wow, super, danke Igrizu, ich freue mich gerade ungemein smile

Meine letzte Frage an dich:

Welche besonderen Geraden werden duch die Parametergleichungen beschrieben?
1.)

2.)

3.)


Kannst du mir vielleicht verraten, wie du an diese Aufgabe rangehst? (Außer es sind geheime, außerirdische Methoden smile )

Zu 1:
Ich habe etwas rumprobiert und konnte dann vermuten, dass die Gerade senkrecht zu der Y-Achse steht.

Prüfung durch Skalarprodukt:


Demnach stimmt meine Vermutung?
Reicht das, oder soll ich noch weiter prüfen, oder habe ich die Aufgabenstellung falsch verstanden?

Danke.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen
Ich denke, deine Antwort geht ohne weiteres in die richtige Richtung, gerade im Bezug auf die vorangegangenen Aufgaben.

Man kann das auch sehen, der Richtungsvektor der Geraden 1.) hat nur Einträge in x und z-Richtung, steht also senkrecht auf der y-Achse und liegt in der x-z Ebene.

Analog kann man die beiden anderen Geraden "abarbeiten".
studYY Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen
2.
Die zweite Gerade hat nur Einträge in y und z-Richtung, steht also parallel auf der x-Achse und liegt in der y-z Ebene.

3.
Die dritte Gerade hat Einträge in x, y und z-Richtung, jedoch sind alle Werte immer identisch und somit endet jeder Punkt im Koordinatenursprung verwirrt
Richtig?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen
Zitat:
Original von studYY
2.
Die zweite Gerade hat nur Einträge in y und z-Richtung, steht also parallel auf der x-Achse und liegt in der y-z Ebene.


Ich hoffe, du meinst hier senkrecht und nicht parallel.


Zitat:
Original von studYY
3.
Die dritte Gerade hat Einträge in x, y und z-Richtung, jedoch sind alle Werte immer identisch und somit endet jeder Punkt im Koordinatenursprung verwirrt
Richtig?


Das ist nun mal Humbug, überlege dir einfach mal im R², wie die Gerade ausschaut, besonders welchen Winkel sie zu den beiden Achsen hat. Augenzwinkern
studYY Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen
Genau, senkrecht zu der x-Achse.

Zu deinen Beispiel:
Es ist eine Ursprungsgerade, die einen Winkel von genau 45° hat.

Wenn wir wieder in den dreidimensionalen-Raum gehen würde das der x-Achse entsprechen.
Das heißt die entstehende Gerade aus 3. liegt auf der x-Achse?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen
Nein, die Achsen stehen in einem Winkel von 90° aufeinander, das sieht im Schrägbild nur aus wie 45°.
Du hast richtig angemerkt, die Gerade mit dem Richtungsvektor (1,1) im R² steht im 45° Winkel auf den beiden Achsen.

Was ist also mit dem Vektor (1,1,1), in welchem Winkel steht er auf welcher Achse?
studYY Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen
Vektor :

Ich denke auch hier steht er im Winkel von 45° zu der x- und der y-Achse, da an sich nur der z-Wert mit 1 ins Spiel kommt und sich dadurch nichts in dem Zusammenhang ändert.
Er symbolisiert also eine Winkelhalbierende der beiden Achsen.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen
Der Vektor steht im 45° Winkel auf der x-y Ebene, das ist richtig, überlege, ob er auch im 45° Winkel auf x-z und y-z Ebene steht Augenzwinkern
studYY Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen
Wenn du so fragst, müsste es stimmen Wink

Aber in meiner Vorstellung sieht es so aus:

x-z-Ebene:
Winkel von 45°:
Vektor

y-z-Ebene:
Winkel von 45°:
Vektor
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geradengleichungen unter besonderen Bedingungen aufstellen
Der Vektor steht nicht im 45° Winkel auf der x-y Ebene, hab nicht richtig aufgepasst, entschuldige, kleiner Fehler meinerseits.

Der Vektor (1,1,0) steht im 45° Winkel auf der y-z Ebene und der x-z Ebene.


Es ist .

Welche besondere Aussage man allerdings über diesen Vektor nun treffen soll ist mir nicht ganz klar.
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