Lineare Abbildung injektiv, surjektiv?

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verzweifelt-e Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung injektiv, surjektiv?
Hi,
ich bin ganz verzweifelt. V hat die Dimension 4 und vom Endomorphismus f:V->V habe ich bestimmt, dass kern(f) und im(f) beide die Dimension 2 besitzen. Nun ist die Frage, ob f injektiv, surjektiv ist. In der Lösung steht, dass kern(f) ist und deshalb nicht injektiv ist. Und da im(f) ist f nicht surjektiv.
Ist es bei der Surjektivität immer so, dass im(f) die Dimension des "Zielraumes" haben muss? Und die Erklärung bei der Lösung zur Injektivität verstehe ich erst recht nicht. Kann mir da jemand erklären? smile
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Was bedeutet denn injektiv und was surjektiv?

Überleg Dir anschließend, was aus der Tatsache folgt, dass (Hinweis: Definition des Kerns).
verzweifelt-e Auf diesen Beitrag antworten »

Die Definition von injektiv und surjektiv ist mir bekannt. Die kann ich auch nachschlagen.

Ich verstehe nicht, warum der ist. Das ist mein Problem... unglücklich
m-power Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ist doch ganz einfach: Wenn gilt, dann folgt natürlich sofort : , denn sonst wäre die Dimension des Kerns gleich 1.
Aus folgt natürlich sofort, dass die Abbildung nicht surjektiv sein kann, denn sonst wäre .

Wenn du dir bei elementaren Begrifflichkeiten wie "Kern", "Bild", "Injektivität", "Surjektivität", "Bijektivität" etc. unsicher bist, dann schlage die Definitionen nach; am besten: Lerne sie auswendig, so dass du sie im Schlaf aufsagen kannst :-)

Gruß,
m-power
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

m-power hat die wesentliche Idee erfasst, auch wenn er fälschlich behauptet die Dimension des Nullraums sei 1.

Vielleicht noch etwas ausführlicher:
Injektiv: Jedes Bild hat höchstens ein Urbild.
Dies kann aber nicht sein, da die 0 mehr als ein Urbild haben muss.

Surjektiv: Jedes Element des Zielraums liegt im Bildraum.
Da Dim(Im(f))=2<4=Dim(v) kann das auch nicht sein.
m-power Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Richtigstellung; ich habe mich verschrieben.

Richtig ist:
 
 
verzweifelt-e Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn eine lineare Abbildung injektiv sein muss, dann muss also der kern(f) die Dimension 0 haben?
Wenn eine lineare Abbildung surjektiv sein muss, dann muss also im(f) die Dimension des Zielraumes haben?
stimmt das?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und wenn Du Dir dann noch die Dimensionsgleichung für lineare Abbildungen heranziehst kommst Du sogar zu dem Ergebnis, dass im endlichdimensionalen Fall kern(f)={0} gleichbedeutend mit der Bijektivität der Abbildung ist.
verzweifelt-e Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Ist es nicht immer so, wenn die lineare Abbildung injektiv ist, dass es dann automatisch auch surjektiv sein muss? für die dimension von im(f) bleibt ja nach dem rangsatz die dimension des zielraumes
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt: Bei Vektorräumen mit endlicher Dimension ja. Bei unendlicher Dimension (z.B. R als Q-Vektorraum) kann ich es Dir ehrlich gesagt nicht garantieren, da ich mich mit dem Thema bislang nie befasst habe.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

In der Tat ist dies bei unendlichdimensionalen Räumen nicht unbedingt gegeben: , dann ist , die formale Ableitung, ein surjektiver Endomorphismus, der jedoch nicht injektiv ist.
Umgekehrt ist die formale Integration ein injektiver aber nicht surjektiver Endomorphismus.
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