Schnittkreis zweier Kugeln (rein algebraisch)

28.11.2006, 22:30	f(x)	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittkreis zweier Kugeln (rein algebraisch) Hallo! Gegeben seien zwei Kugelgleichungen: $\begin{eqnarray} K_{1}: (x-3)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=64 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K_{2}: (x-5)^2+(y-1)^2+z^2=49 \end{eqnarray}$ Jetzt soll die Ebene E bestimmt werden, in der der Schnittkreis dieser Kugeln liegt. Mein Ansatz: Es gilt $\begin{eqnarray} E: K_{1}-K_{2} \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} E: [(x-3)^2+(y-2)^2+(z+1)^2 )]-[(x-5)^2+(y-1)^2+z^2] = 64 - 49 \end{eqnarray}$ (Das lässt sich natürlich noch vereinfachen...) (Anschließend sollte man noch den Abstand von E zu einem der beiden Mittelpunkte berechnen, um zu prüfen, ob der Schnittkreis existiert.) Jetzt meine Frage: Darf ich den Ansatz $\begin{eqnarray} E: K_{1}-K_{2} \end{eqnarray}$ so formulieren oder ist er formal falsch und ich sollte lieber $\begin{eqnarray} E= K_{1}-K_{2} \end{eqnarray}$ schreiben? Und: Wie kann ich den Ansatz mit kurzen Sätzen begründen, damit er in Schulklausuren noch die volle Punktzahl gibt?
28.11.2006, 22:36	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
naja, ich würde es mal "allgemein" ansetzen! $\begin{eqnarray} K_1= K_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K_1-K_2 = 0 \end{eqnarray}$ edit: grr! blödsinn hab zu schnell gelesen, hab nur irgendetwas mit schnitt und kugel gelesen. sorry! war doch ein recht langer tag, ich sollte mich vom acker machen und mit $\begin{eqnarray} K_1-K_2 \quad \end{eqnarray}$ hast du schon recht gehabt!
28.11.2006, 22:39	f(x)	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber mit $\begin{eqnarray} K_{1} = K_{2} \end{eqnarray}$ setzt du doch zwei Gleichungen gleich. Das ist doch gar nicht möglich, oder?
29.11.2006, 02:25	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Schnitt der Graphen kann man dann zwei Gleichungen gleichsetzen, wenn beide auf Null gebracht sind (z.B rechte Seite = 0) Kugelgleichung der ersten Kugel, auf Null gebracht: K1 = 0 Kugelgleichung der zweiten Kugel, auf Null gebracht: K2 = 0 Dann gilt für den Schnitt (die Ebene E): E: K1 = K2 bzw. E = K1 - K2 = 0 Nach entsprechender Umformung (wobei die Quadrate wegfallen) ergibt sich dann auch die Gleichung der gesuchten Ebene. mY+
29.11.2006, 17:39	f(x)	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Aber bei der zweiten Gleichung stört mich das Gleichheitszeichen hinter dem E. Es soll ja eigentlich bedeuten, dass die Ebene E durch die Gleichung K1-K2=0 beschrieben wird. Ich kenne die Schreibweise nur wie folgt: E: K1-K2=0. Aus der Gleichung (E= K1- K2 = 0) würde ja folgen, dass E = 0 ist und das ist doch Unsinn, oder?
29.11.2006, 19:16	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das war ein Schreibfehler meinerseits, da gehört ebenso ein Doppelpunkt hin. mY+
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29.11.2006, 20:42	f(x)	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke

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