Charakteristisches Polynom

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FAUPhy Auf diesen Beitrag antworten »
Charakteristisches Polynom
Meine Frage:
Hey,
und zwar hab ich eine Frage zu dem Thema des charakteristischen Polynoms. Ich hab schon geschaut, ob jemand so eine ähnliche Frage bereits gestellt hat; habe aber nichts gefunden. Deswegen:
A ist eine reelle (3,3)-Matrix mit dem char. Polynom
1) ich soll begründen, dass A über den reellen Zahlen diagonalisierbar ist (hier brauch ich nur eine Bestätigung)
2) ich soll den Rang von wobei 1 die Einheitsmatrix darstellen soll.


Meine Ideen:
Nun gut:
zu 1) Ich kann natürlich die drei reellen Eigenwerte ausrechnen, die sind hier ja 0,1,-1 mit der algebrischen Vielfacheit jeweils 1.
Damit A diagonalisierbar ist, müsste ich doch jetzt noch die geom. Vfh. der einzelnen EW berechnen. Und wenn die auch jeweils 1 ist, dann passt ja alles. Das Problem: berechnen ist schlecht: kann man dann so begründen, dass ja

zu 2) A ist ja dann diagonalisierbar, d.h. A hat vollen Rang, und auch A^2 - aber wie schaut es mit den anderen beiden aus, das kann doch voller oder auch nicht voller Rang sein - wo ist da mein Denkfehler?

Achja und wie kann ich zeigen, dass

Vielen Dank schon mal!
Gruß
C3P0 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

zu 1.): Ja, das kannst du z.B. so begründen, so erhälst du, dass jeweils algebraische und geometrische Voelfachheit übereinstimmen, also A diagonalisierbar ist.

zu 2.): Vorsicht, nicht jede diagonalisierbare Matrix hat Vollrang! Die Nullmatrix ist z.B. auch diagonalisierbar, aber hat Rang 0. Kann eine Matrix, die den Eigenwert 0 hat, Vollrang haben?
Da du ja schon weißt, dass A diagonalisierbar ist, gibt es eine Matrix T mit , wobei D eine Diagonalmatrix ist. Überlege dir nun, wie D aussieht. Dann berechne mal und .

Um auszurechnen, kannst du benutzen, dass du nun weißt, dass . Setze das dann mal für A ein. Alternativ kannst du auch verwenden, dass .

Grüße
FAUPhy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Charakteristisches Polynom
Ok, ich hatte bei der Auf. 2 einen Denkfehler - man kann doch jetzt die Diagonalmatrix einfach hinschreiben, da ja die EW bekannt sind:


Foglich hat A nur noch Rang 2

Damit ist

und hat auch Rang 2

Ziehe ich die Einheitsmatrix davon ab, sieht man ja, dass ich Rang 1 habe, und wie wenn ich die Einheitsmatrix hinzuzähle vollen Rang.

Kann man das so machen? Scheint mir irgendwie zu einfach...

Und zu zeigen, dass ist, könnte man dann doch eine Induktion ansetzen - das müssten doch auch funktionieren. Das genau wieder A rauskommt, liegt doch daran, dass 2011 ungerade, ist - bei z.B. 2010 würde doch gelten
Weil ich verstehe nicht ganz, wie mir deine beiden Ansätze helfen...

Vielen Dank!
Gruß
C3P0 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, im Wesentlichn funktioniert das so. Du solltest vielleicht nur noch beachten, dass A nicht unbedingt diese Diagonalmatrix ist, A ist "nur" ähnlich zu so einer Matrix, es gibt also ein T mit . Dann ist eben z.B. ähnlich zu , weil

.

Da der Rang unter einer solchen Ähnlichkeitstransformation erhalten bleibt, hat auch Rang 2.
Analog folgt dann .

Zur Berechnung von :
Deine Variante mit der Induktion funktioniert sehr gut, auf so etwas in der Art wollte ich mit meinem zweiten Hinweis hinaus. Du benutzt dabei ja, dass , was man aus dem char. Polynom ablesen kann.

Mein erster Hinweis war etwa so gedacht:
Wenn du mal einsetzt, erhälst du

.

Da D Diagonalmatrix ist, lässt sich leicht berechnen, dabei kommt dann wieder heraus. Also folgt



Grüße
FAUPhy Auf diesen Beitrag antworten »

Tausend Dank!
Das Thema ist mir jetzt wieder um einiges klarer geworden!

Gruß
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