Irreduzibilität eines Polynom in Z/pZ[T]

20.02.2011, 15:53

Jan_G

Irreduzibilität eines Polynom in Z/pZ[T]

Hallo,

ich möchte gerne beweisen, dass das Polynom

$\begin{eqnarray*} f(T):=T^p + T +1 \in \mathbb Z /p \mathbb Z [T] \end{eqnarray*}$

für alle Primzahlen $\begin{eqnarray*} p\neq 2 \end{eqnarray*}$ reduzibel ist (und dass alle Faktoren paarweise teilerfremd sind).

Wie gehe ich am besten an die Aufgabe heran?

- Das Eisenstein-Kriterium kann ich nicht anwenden, da keine Primzahl die 1 teilt.
- Das Reduktionskriterium kann ich auch nicht anwenden (?)

Welche Möglichkeiten gibt es noch?

Danke & Gruß

Jan

20.02.2011, 22:25

jester.

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Da $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb P \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x^p \equiv x \pmod p \end{eqnarray*}$ . Nimm also mal an, du hättest eine Nullstelle des Polynoms und beachte, dass du $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ in deinem Körper invertieren kannst, da seine Charakteristik echt größer 2 ist.

Dann hast du noch geschrieben, du willst zeigen, dass "alle Faktoren paarweise teilerfremd sind". Ich nehme an du meinst damit, dass das Polynom separabel ist. Betrachte dazu, dass ein Polynom $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ genau dann separabel ist, wenn $\begin{eqnarray*} {\rm ggT}(f,f')=1 \end{eqnarray*}$ .

21.02.2011, 00:01

Jan_G

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Hallo,

danke für den Tipp.

Zitat:

Nimm also mal an, du hättest eine Nullstelle des Polynoms

Warum darf ich annehmen, dass ich bereits eine Nullstelle des Polynoms habe, wenn ich doch genau dies zu zeigen habe für $\begin{eqnarray*} p \neq 2 \ ? \end{eqnarray*}$

Ich bin jetzt wie folgt vorgegangen: Unter Berücksichtigung von $\begin{eqnarray*} T^p \equiv T \in \mathbb Z / p \mathbb Z[T] \end{eqnarray*}$ folgt :

$\begin{eqnarray*} f(T)=T^p+T+1=T+T+1 =2T +1 = 2(T+2^{-1}) \in \mathbb Z / p \mathbb Z[T] \end{eqnarray*}$ .

Ist $\begin{eqnarray*} p \neq 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2^{-1} \end{eqnarray*}$ das Inverse von $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / p \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , so sieht man dass $\begin{eqnarray*} z:=-2^{-1} \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist, d.h. $\begin{eqnarray*} f(z)=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Ist $\begin{eqnarray*} p=2 \end{eqnarray*}$ , so ergibt sich für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ das konstante 1-Polynom, das heißt $\begin{eqnarray*} f \equiv 1 \end{eqnarray*}$ und dieses ist irreduzibel.

Für die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gilt : $\begin{eqnarray*} f' = p\cdot T^{p-1}+1 \equiv 1 \in \mathbb Z / p \mathbb Z[T] \end{eqnarray*}$
Also folgt : $\begin{eqnarray*} ggT(f,f')=1 \end{eqnarray*}$ und daher ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ separabel.

Was mich nun ein wenig stutzig macht, ist, dass ich nur eine Nullstelle angeben konnte, obwohl das Polynom $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ separabel ist. Wie lassen sich denn die anderen Nullstellen herausfinden?

Gruß,

Jan

21.02.2011, 08:36

jester.

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Zitat:

Original von Jan_G
Warum darf ich annehmen, dass ich bereits eine Nullstelle des Polynoms habe, wenn ich doch genau dies zu zeigen habe für $\begin{eqnarray*} p \neq 2 \ ? \end{eqnarray*}$

Das habe ich wohl etwas unglücklich ausgedrückt, ich meinte dass ein $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{Z}/(p) \end{eqnarray*}$ , das eine Nullstelle ist, $\begin{eqnarray*} 2z+1=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt.

Zitat:

Ich bin jetzt wie folgt vorgegangen: Unter Berücksichtigung von $\begin{eqnarray*} T^p \equiv T \in \mathbb Z / p \mathbb Z[T] \end{eqnarray*}$ folgt :

Das ist formal nicht ganz richtig, denn obwohl $\begin{eqnarray*} x^p\equiv x \pmod p \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gilt, ist $\begin{eqnarray*} T^p \neq T \end{eqnarray*}$ im Polynomring $\begin{eqnarray*} \big( \mathbb{Z}/(p) \big) [T] \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Was mich nun ein wenig stutzig macht, ist, dass ich nur eine Nullstelle angeben konnte, obwohl das Polynom $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ separabel ist. Wie lassen sich denn die anderen Nullstellen herausfinden?

Dass das Polynom separabel ist, heißt doch nur, dass das Polynom über einem algebraischen Abschluss von $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_p \end{eqnarray*}$ paarweise verschiedene Nullstellen hat, nicht dass diese allesamt schon in diesem Körper liegen.
Man kann über dem Primkörper bestenfalls erwarten, dass man das Polynom vielfachheitenfrei in irreduzible Faktoren zerlegen kann.

Ein Beispiel: Über $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_3 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} X^3+X+1=(X+2)(X^2+X+2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X^2+X+2 \end{eqnarray*}$ ist über diesem Körper irreduzibel, die Nullstellen liegen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_9 \end{eqnarray*}$ und allen Erweiterungskörpern, die diesen enthalten.

21.02.2011, 11:14

Jan_G

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Hallo,

vielen Dank nochmal! Wie kann ich den "Beweis" formal retten?

MFG
Jan

21.02.2011, 15:11

jester.

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Indem man einfach eine Nullstelle angibt.

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