Integral Grundlage

21.02.2011, 11:14

Zirkon17

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Integral Grundlage

Kann mir einer sagen, wie ich grundsätzlich an solche Aufgaben ran gehe?
Wie komme ich zu einen Lösungsansatz bzw woran erkenne ich die partielle Integration?
$\begin{eqnarray*} \int \! 16xsin(4x+2) \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int \! sin\sqrt{x} \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int \! x^2a^x \, dx \end{eqnarray*}$

Dann noch eine Sache....
bei der Aufgabe $\begin{eqnarray*} \int \! x^2a^x \, dx \end{eqnarray*}$
Soll lt Prof rauskommen
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ln| a | } (x^2*a^x-\frac{1}{2ln| a | } (x*a^x-\frac{a^x}{ln| a | } ))+C \end{eqnarray*}$

Meine Lösung lautet
$\begin{eqnarray*} x^2*\frac{a^x}{ln| a| } -\frac{1}{2ln| a | }(\frac{1}{ln| a | } (x*a^x-\frac{a^x}{ln| a | } ))+C \end{eqnarray*}$

Ist meine Lösung falsch?

21.02.2011, 11:40

Mazze

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Der einzige Unterschied zwischen Deiner Lösung und die des Profs ist, dass der Prof den Faktor

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\ln|a|} \end{eqnarray*}$

ausgeklammert hat. Das sollte man auf der Hochschule eigentlich erkennen können.

Das Andere :

Nehmen wir an wir haben das Produkt der Funktion f und g, wenn f (oder g) nach n Ableitungen konstant wird und die n+1 Stammfunktionen von g ( oder f) leicht zu bestimmen sind, dann ist partielle Integration zum Beispiel sinnvoll. Dazu zählt direkt das erste Beispiel :

$\begin{eqnarray*} f(x) = 16x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = \sin(4x + 2) \end{eqnarray*}$

Sämtliche Stammfunktionen von g sind leicht bestimmbar, und bereits nach dem ersten Ableiten wird die Ableitung von f konstant. Ein weiterer Punkt wo partielle Integration Sinn macht ist, wenn "die Ableitungen periodisch" sind. Etwa bei

$\begin{eqnarray*} \int \sin(x) e^xdx \end{eqnarray*}$

Mit zweimaliger partieller Integration (Sinus ableiten und E-Fkt integrieren) und anschließendem Umordnen kann man dann dieses Integral lösen. Bei

$\begin{eqnarray*} \int \sin(\sqrt{x}) dx \end{eqnarray*}$

würde ich zuerst geeignet substituieren, etwa $\begin{eqnarray*} z = \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

21.02.2011, 16:48

Zirkon17

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stimmt das, was du geschrieben hast?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ln|a|} \end{eqnarray*}$ ausgeklammert?
Wenn ich dann die Klammer vom Prof-Ergebnis auflöse kommt bei dem Produkt aus
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ln|a|}*\frac{1}{2ln|a|} \end{eqnarray*}$ aber was anderes raus als bei mir....

21.02.2011, 16:51

René Gruber

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Da kommt dasselbe raus. unglücklich

unglücklich

22.02.2011, 11:23

Zirkon17

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hab da nochmal ne frage....

wieso zieht man bei dieser aufgabe die vier vor das Integral und nicht gleich die 16?

$\begin{eqnarray*} \int \! 16x*sin(4x+2) \, dx \end{eqnarray*}$

4* $\begin{eqnarray*} \int \! x*4*sin(4x+2) \, dx \end{eqnarray*}$

22.02.2011, 11:27

Zirkon17

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könnte ich nicht auch hier substituieren?
u=4x+2 y´= du/dx=4

dann belibt beim einsetzen noch "x" über welches ich elimeniere indem ich u=4x+2 umstelle nach x und dann das ergebnis einsetze x=1/4u-1/2
geht das nicht?

wenn ich den ansatz der lösungsweise weiß, dann kann ich das ja halbwegs... aber erstmal erkennen mit welcher art ich welche aufgabe löse fällt mir schwer...

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22.02.2011, 11:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mikey3110
geht das nicht?

Das geht, bringt aber nicht viel.

Das Thema bei dem Integral ist "partielle Integration", wobei du eine Stammfunktion von sin(4x+2) brauchst. Dazu ist es ganz gut, wenn noch ein Faktor 4 vor dem sin steht.

22.02.2011, 11:35

Zirkon17

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und wie erkenne ich auf anhieb dass mir die 4 das leben nachher leichter macht?

22.02.2011, 11:35

Mazze

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Zitat:

könnte ich nicht auch hier substituieren?

Du kannst immer Substituieren, die Frage ist, ob es sinnvoll ist. Die Substitution

$\begin{eqnarray*} u = 4x + 2 \end{eqnarray*}$

liefert dann das Integral

$\begin{eqnarray*} \int (u - 2)\sin(u)du \end{eqnarray*}$

Und dieses Integral lößt man genauso , wie das vorherige. Daher bringt diese Substitution eher gar nichts. Nein, partielle Integration ist der (wohl einfachste) Weg, und ich hab dir oben sogar beschrieben wie man darauf kommt.

22.02.2011, 11:37

Zirkon17

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und woher weiß ich bei einer aufgabe wie $\begin{eqnarray*} \int \! sin\sqrt{x} \, dx \end{eqnarray*}$ dass ich hier substituieren muss und bei der anderen aufgabe die partielle integr. anwenden muss?

das is mir´n rätsel

22.02.2011, 11:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mikey3110
und wie erkenne ich auf anhieb dass mir die 4 das leben nachher leichter macht?

Indem du mal - wie ich schon andeutete - eine Stammfunktion von sin(4x+2) bestimmst.

Zitat:

Original von Mikey3110
und woher weiß ich bei einer aufgabe wie $\begin{eqnarray*} \int \! sin\sqrt{x} \, dx \end{eqnarray*}$ dass ich hier substituieren muss

Weil das Wurzel(x) offensichtlich sehr stört und man Stammfunktionen vom sin relativ leicht angeben kann, wenn das Argument ein linearer Ausdruck ist.

22.02.2011, 11:40

Zirkon17

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d.h. wenn ich´n produkt aus zwei funktionen habe -> partielle integration....

warum wird hier dann substituiert?

$\begin{eqnarray*} \int \! sin^3x * cos^3 x \, dx \end{eqnarray*}$

22.02.2011, 11:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mikey3110
d.h. wenn ich´n produkt aus zwei funktionen habe -> partielle integration....

Nein, nicht zwingend.

Zitat:

Original von Mikey3110
warum wird hier dann substituiert?

$\begin{eqnarray*} \int \! sin^3x * cos^3 x \, dx \end{eqnarray*}$

Weil es eben funktioniert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es gibt beim Integrieren eben keine allgemeingültigen Regeln, wie man vorgehen muß. Deswegen ist das ja auch eine hohe Kunst, die nicht jeder beherrscht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.02.2011, 11:48

Zirkon17

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kann ja nicht so schwer sein oder? :-D

wie bilde ich denn die stammfunktion von sin (4x+2)
was meinst du damit?
zerlege ich die innere funktion nicht noch?
innere mal äußere ableitung oder wie war das?

22.02.2011, 11:54

Mazze

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Welche Funktion abgeleitet ergibt $\begin{eqnarray*} \sin(4x + 2) \end{eqnarray*}$ ?

22.02.2011, 11:56

Zirkon17

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-cos(4x+2) oder nicht?

22.02.2011, 12:00

Zirkon17

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-4cos(4x+2)

22.02.2011, 12:01

Mazze

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Naja, beides falsch, aber beides auch fast richtig.

22.02.2011, 12:03

Zirkon17

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-1/4cos(4x+2) müsste das ja sein, wenn ich umgekehrt wieder zu sin(4x+2) kommen will...

22.02.2011, 12:03

Mazze

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Ganz genau!

22.02.2011, 12:05

Zirkon17

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naja... das muss man erstma üben bis man auf ne aufgabe guckt und das erkennt... also doch innere mal äußere abltg..... bzw im umkehrschluss gesehen....

22.02.2011, 12:06

Mazze

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Gut zu Integrieren bedarf auch viel Erfahrung.

22.02.2011, 12:17

Zirkon17

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tädääää... und siehe da... die gleiche lösung wie der prof...
$\begin{eqnarray*} -4x*cos(4x+2)+sin(4x+2)+4C \end{eqnarray*}$

22.02.2011, 12:21

Mazze

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Tatsächlich ist partielle Integration in der Regel einfacher, da man weniger kreativ sein muss. Bei Substitution bedarf es mit unter einem gekonnten Blick um die Richtige zu finden. Bei partieller Integration muss man nur schauen, dass es Sinn macht.

22.02.2011, 13:06

Zirkon17

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so.... dann mach ich mal an die partialbruchzerlegung...
der rest läuft... man muss aber auch höllisch aufpassen, dass man die faktoren rechtzeitig rauszieht etc... sonst kommt man in schwierigkeiten....

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