Analysis I - Beweis: Genau eine Extremstelle |
| 21.02.2011, 12:28 | Trojaner | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Analysis I - Beweis: Genau eine Extremstelle Meine Frage: Hallo Leute, ich stehe gerade vor folgendem Problem: für x>0 Ich soll a) Beweisen, dass es genau eine Extremstelle gibt und b) sagen, um welches Extrema es sich dabei handelt. Meine Ideen: Aufgabenteil b) ist denke ich nicht so schwer, man kann ja durch Einsetzen in die erste Ableitung und Vorzeichenwechsel die Art des Extrema bestimmen. (und das wäre ja auch der Beweis, dass es überhaupt eine Extremstelle gibt.) Oder gibt es dafür noch eine elegantere Lösung? Natürlich könnte man auch die zweite Ableitung bilden, aber die hilft einem nicht wirklich weiter. Ableitungen: Meine Frage ist also: Wie kann man eindeutig beweisen, dass es nur eine Extremstelle für x>0 geben kann? Vielen Dank! |
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| 21.02.2011, 12:36 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Analysis I - Beweis: Genau eine Extremstelle - Hilfe! Die Funktion hat für x>0 keine Nullstelle, also ist zu a) nichts zu zeigen, denn der Zähler wird 0, wenn x=0 ist, und an der Stelle x=0 ist die Funktion nicht definiert. Zu b) Zeige, dass die Funktion in einem Intervall monoton steigend ist und ab einer Stelle x_0 monoton fallend, dazu kann man die Ableitung benutzen, wann ist diese größer als 0, wann kleiner? |
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| 21.02.2011, 13:24 | Trojaner | Auf diesen Beitrag antworten » |
argh, hatte mich bei a) verschrieben, es ist zu zeigen, dass es genau nur ein Extrema gibt! Bei b) besteht das Problem, dass man den konkreten Wert nicht rechnerisch ermitteln kann, an dem die Funktion die Monotonie von steigend zu fallend ändert. Man kann zwar einfach mal Werte einsetzen und wird auch erkennen, dass es einmal steigt und einmal Fällt und danach durch den Mittelwertsatz für die erste Ableitung auch erkennen kann, dass sie mal 0 werden wird und damit auch ein Extrema vorliegt, wenn man es durch den VZW beweist. Nur wie kann ich mathematisch genau beweisen, bzw ausrücken, dass es wirklich nur GENAU eines gibt? @(mY+): Werde den Hilferuf nächstes mal unterlassen, sorry! |
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| 21.02.2011, 13:51 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Funktion hat doch genau ein Extremum, wenn die Ableitung eine Nullstelle hat, die Funktion selbst ist in dem Intervall, in dem die Ableitung positiv ist monoton wachsend und in dem Intervall, in dem die Ableitung negativ ist monoton fallend. Wenn die Ableitung ihrerseits genau eine Nullstelle hat, so hat die zweite Ableitung keine Nullstelle mehr, denn die 1. Ableitung ihrerseits muss dann monoton sein und einmal das Vorzeichen wechseln. Die Untersuchung der Funktion selbst auf intervallweise monotonie läuft also darauf hinaus, zu zeigen, dass die zweite Ableitung immer positiv oder immer negativ ist, also ihrerseits das Vorzeichen nicht wechselt. Du hast x>0 vorgegeben, wie verhält sich die zweite Ableitung für positive x? |
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| 21.02.2011, 13:57 | Cabrix | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nach dem Satz von Fermat ist f'(x)=0 für den Extremwert. f'(x)=[x(e^x(2-x)-2)]/[(e^x-1)^2] Es muss also (e^x(2-x)-2)=0 sein. Da man das aber nicht nach x auflösen kann (jedenfalls lassen das meine Fähigkeiten nicht zu) konnte ich abschätzen, dass der Extrempkt auf dem Intervall I=(0,2) liegen muss. Da man den Extrempkt und -wert nicht direkt angeben soll, müsste es jetzt reichen, wenn man zeigt dass f''(x)<0 (f''(x)>0 kommt nicht infrage, da ich mir das ganze mal grafisch darstellen lassen habe 
) auf I=(0,2) gilt und es sich somit um ein Maximum oder Minimum handelt (so weiß man dann auch gleich, dass es nur ein einziges Extremum gibt).f''(x)=[e^(2·x)·(x^2 - 4·x + 2) + e^x·(x^2 + 4·x - 4) + 2]/[(e^x - 1)^3] Es muss also die Wahrheit folgender Ungleichung gezeigt werden: e^(2·x)·(x^2 - 4·x + 2) + e^x·(x^2 + 4·x - 4) + 2 < 0 für x aus I=(0,2) nach ein wenig Umformen ergibt sich: e^x[x^2(1+e^x)+2(e^x-2)-4x(e^x-1)]<-2 Und hier ist der Pkt an dem ich hänge. Hab mir echt lang den Kopf zerbrochen, aber ich kriege es einfach nicht hin, das zu zeigen. {Hab das mal aus meinem Post zur gleichen Frage kopiert, vllt kommen wir hier ja gemeinsam iwie weiter} |
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| 21.02.2011, 14:04 | Trojaner | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die zweite Ableitung wechselt aber leider das Vorzeichen. Damit entfällt leider dieses Kriterium. Die Funktion hat noch eine Wendestelle nach dem Extrema und nähert sich dann an die x-Achse immer weiter von oben an. siehe hier: Das heißt also, dass die zweite Ableitung mir leider nicht den Beweis bringt, oder sehe ich da was falsch? |
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| 21.02.2011, 14:09 | Trojaner | Auf diesen Beitrag antworten » |
natürlich ist deine Überlegung vollkommen richtig, wenn in dem Bereich I=(0,2) die zweite Ableitung monoton ist, so haben wir dort eben ein Maximum, aber leider komme ich da auch nicht wirklich weiter... und wie ich eins drüber schon geschrieben hab, kannst du damit nicht sagen, dass es die einzige Extremstelle ist, da außerhalb des Bereichs die zweite Ableitung in x>0 ihr Vorzeichen ändert! hier die zweite Ableitung grafisch: |
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| 21.02.2011, 14:24 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn ich mir den Zähler der 2. Ableitung anschaue, so ist der immer negativ für positive x, die zweite Ableitung wechselt, da sie zusätzlich monoton fallend ist also ihr Vorzeichen nicht. Der Nenner ist soundso immer postiv, da exp(x)>1 für x>0 ist. Wenn der Zähler also negativ ist und der Nenner positiv, so nimmt die Funktion nur negative Werte an. Irgendwas scheint also mit deinem Plot nicht zu stimmen, hier mal die Zählerfunktion: |
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| 21.02.2011, 14:27 | Cabrix | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dass es sich dabei um das einzige Extremum handelt haben wir dadurch schon gezeigt, da die erste Ableitung nur auf I=(0,2) den Wert "0" annehmen kann und wenn die 2.Ableitung dort monoton fallend ist heißt das, dass es auf diesem Bereich nur ein einziges lokales Maximum gibt. Und damit ist es auch das einzige für f(x) mit x>0. Nichtsdestotrotz komme ich bei der oben genannten Ungleichung nicht weiter =/ |
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| 21.02.2011, 14:30 | Cabrix | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja der Zähler der 2.Ableitung ist immer negativ, aber wie zeige ich das. Dazu müsste die Wahrheit der oben genannten Ungleichung bewiesen werden also: (e^(2·x)·(x^2 - 4·x + 2) + e^x·(x^2 + 4·x - 4) + 2) < 0 oder anders: e^x[x^2(1+e^x)+2(e^x-2)-4x(e^x-1)] < -2 aber iwie bin ich zu doof das zu zeigen. |
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| 21.02.2011, 14:37 | Trojaner | Auf diesen Beitrag antworten » |
ich weiß ja nicht was ich falsch mache, aber wenn ich in den Zähler der 2. Ableitung beispielsweise x=5 setze komme ich auf was positives! Wie begründe ich denn exakt und mathematisch, dass es wirklich nur in dem Intervall I=(0,2) ein Extrema gibt? Ich mein, sehen tue ich das auch und mir ist es auch logisch, aber kann man das nicht durch einen geschickten Satz oder einer guten math. Formulierung klarstellen? (So, dass ein Mathe-Prof zufrieden damit ist
) Ich weiß einfach nicht, wie ich exakt begründen kann, dass die erste Ableitung nur einmal das VZW wechselt... |
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| 21.02.2011, 14:41 | Cabrix | Auf diesen Beitrag antworten » |
Jap das kannst du math. begründen: f'(x)=[x(e^x(2-x)-2)]/[(e^x-1)^2]=0 (Nach Satz von Fermat für Extremwerte) da der Nenner mit (e^x-1)^2>0 und x>0 muss e^x(2-x)-2=0 sein. Da weiterhin e^x>0 ist muss auch (2-x)>0 gelten um e^x(2-x)-2=0 zu erfüllen. Damit kann x nur aus dem Intervall I=(0,2) sein. |
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| 21.02.2011, 14:48 | Trojaner | Auf diesen Beitrag antworten » |
gut, danke dir, das dürfte dann als Nachweis genügen. Jetzt müssen wir dein Problem noch lösen, du meinst ein Vorzeichenwechsel allein ist nicht genug oder zu unschön zum Lösen der Aufgabe? |
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| 21.02.2011, 15:36 | Esox | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich schalte mich mal mit ein : Wir wissen jetzt, dass es nach dem satz von Fermat auf dem Intervall (0,2) mindestens ein Extremum gibt. Vorher müssen wir feststellen, dass es keine Randpunkte gibt und das Extremum deshalb ein kritischer Punkt sein muss. Jetzt muss doch nur noch überprüft werden, ob es auf dem Intervall auch wirklich nur einen Extremwert gibt. Das machen wir, indem wir die zweite Ableitung betrachten. Wenn die 2.ableitung auf dem intervall negativ ist, so können wir sagen, dass die erste ableitung auf dem intervall monoton ist und deshalb nur eine nullstelle hat. Wie ermitteln wir das vorzeichen der 2. ableitung auf dem intervall? Grafisch wäre das natürlich kein problem, aber wie machen wir das zb in einer klausur, wo man diese möglichkeiten nicht hat? |
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| 21.02.2011, 15:40 | Trojaner | Auf diesen Beitrag antworten » |
ja gut, soweit waren wir ja auch schon (siehe den 5. Post). Cabrix hat es ja auf den Punkt gebracht, wir müssen diese Ungleichung lösen, bzw eindeutig zeigen können, dass es in I=(0,2) immer negativ ist.. keiner eine Idee? Was ich halt einfach am überlegen bin: Wir wissen das es nur einen Extrempunkt in I=(0,2) geben kann! Sieht man nicht auch, dass es wirklich nur maximal einer sein kann? Denn dann würde ein Vorzeichenwechsel reichen... |
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| 21.02.2011, 16:15 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
Man kann das ganze auch ein wenig abschätzen: Damit wissen wir, dass die Steigung von f(x) auf alle Fälle negativ ist für x>2. Analog kann man auch links des Extremums abschätzen und wenn die Steigung erst positiv ist und dann negativ wird handelt es sich um ein Maximum. |
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| 21.02.2011, 17:53 | Cabrix | Auf diesen Beitrag antworten » |
Naja das Problem besteht jetzt nur noch darin, dass wir Nachweisen müssen, dass es eben nur ein einziges Extremum auf dem Intervall gibt. Und das geht entweder durch lösen der erwähnten Ungleichung oder dass wir zeigen, dass: (e^x(2-x)-2) nur einen Vorzeichenwechsel durchläuft von + nach -, aber wie!? |
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| 21.02.2011, 18:09 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
Es ist doch f'(1)>0 und f'(2)<0, also kann man hier doch ohne weiteres einen VZW "errechnen". Nun ist die Frage, die sich dann stellt, findet hier nur genau ein VZW statt oder eine ungerade Anzahl (zum Beispiel 3) von Vorzeichenwechseln. Mit einfachen Mitteln, wie zum Beispiel regula falsi kann man dann zeigen, dass es sich um genau einen VZW handelt und, wenn man will, die Nullstelle bestimmen. Man kann auch eine abschätzung, wie oben, wählen, um zu zeigen, dass es nur einen VZW gibt. Sicherlich sollten die Abschätzungen noch "verfeinert" werden. |
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| 21.02.2011, 18:14 | Cabrix | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dass ein VZW stattfindet ist ja klar, wie du schon erläutert hast. Aber warum sollten es nicht auch mehrere (eine ungerade Zahl) sein können? Was genau meinst du mit regula falsi? Man sollte noch dazusagen, dass die Aufgabe in einer Klausur gelöst werden sollte (und dh als Vorbereitung dafür gemacht wird). Deshalb sind weder grafische Verfahren noch numerische wirklich zielführend, da dies alles per Hand durchzuführen wäre. Es muss doch iwie möglich sein zu beweisen, dass es nur ein VZW gibt...(ich fange an an dieser Aufgabe zu verzweifeln) |
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