Potenz einer imaginären Zahl

21.02.2011, 12:34

Chrax

Potenz einer imaginären Zahl

Edit (mY+): Thementitel modifiziert. Deine "totale Unwissenheit" hat mit dem Inhalt nichts zu tun.

Meine Frage:
Hallo ihr.
Ich sitze vor einer Aufgabe und bin gerade irgendwie sehr überfordert.
Hab eine Aufgabe, an der ich garnicht vorankomme leider.

$\begin{eqnarray*} w = \frac{5}{-1+2i} + i \end{eqnarray*}$

Jetzt soll ich davon die Zahl w^{12} bilden.

Meine Ideen:
ich weiss zumindest, dass i^{12} = 1, aber komme leider überhaupt mit dem Bruch zurecht.
Hab das mal durch meinen CAS gejagt, das Ergebnis 11754 + 10296i herausbekommen, aber ich hab keinen Schimmer, wie ich das nun berechne.
ich bitte um einen Lösungsansatz, weil mir die Grundlage nicht ersichtlich erscheint die ich habe :/

Danke schon im Voraus.

21.02.2011, 12:39

Mazze

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Zunächst : Die Latexformeln müssen in die latex Umgebung (f(x)-Schalter ) eingebunden werden, damit sie korrekt angezeigt werden.

Zur Aufgabe :

Ich würde w erstmal auf die Form a +bi bringen, dann die Exponentialdarstellung der Zahl bestimmen, und dann die 12te Potenz berechnen.

21.02.2011, 12:52

Chrax

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Wie bringe ich den Bruch auf diese Form?
Mit der konjugiert komplexen von -1+2i erweitern?
(also 1+2i?)

21.02.2011, 12:53

Mazze

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Zitat:

Mit der konjugiert komplexen von -1+2i erweitern?

Gute Idee, aber das

Zitat:

(also 1+2i?)

ist falsch. Das Vorzeichen des Imaginärteils wird beim komplexkonjugieren geändert!

21.02.2011, 12:55

René Gruber

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Zitat:

Original von Chrax
Hab das mal durch meinen CAS gejagt, das Ergebnis 11754 + 10296i herausbekommen

Dann hast du dich vertippt, vielleicht irgendwelche Klammern falsch gesetzt? Es kommt $\begin{eqnarray*} -64 \end{eqnarray*}$ raus.

21.02.2011, 12:56

Chrax

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Oh ich dachte dadruch, dass -1 + 2i = 2i + ( -1) also 2i - 1 -> somit das vorzeichen umdrehen und dann gleich 2i + 1

Also ist es -1 - 2i mit dem ich den Bruch erweitern muss um es in die kartesische Form zu bringen?

21.02.2011, 12:58

Mazze

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Zitat:

Also ist es -1 - 2i mit dem ich den Bruch erweitern muss um es in die kartesische Form zu bringen?

Richtig!

Zitat:

Oh ich dachte dadruch, dass -1 + 2i = 2i + ( -1) also 2i - 1 -> somit das vorzeichen umdrehen und dann gleich 2i + 1

Diese Überlegung kann ich nicht nachvollziehen. Selbst wenn Du

$\begin{eqnarray*} 2i - 1 \end{eqnarray*}$

schreibst, wäre das komplexkonjugierte dann

$\begin{eqnarray*} -2i - 1 \end{eqnarray*}$

21.02.2011, 13:30

Chrax

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Ahh okey jetzt hab ichs auch raus (:

Also dann mit der konjugiert komplexen Erweitert !

$\begin{eqnarray*} w = \frac {5*(-1-2i)} {(-1+2i) * ( -1-2i)} + i \end{eqnarray*}$

umgeformt dann

$\begin{eqnarray*} w = \frac {-5 - 10i} {1+4i²} + i \end{eqnarray*}$

Und da i² = -1 ist es dann am Ende

-1 - 2i + i = -1 - 3i = w

Und dann die 12. Potenz = -64 (:

danke an eure hervorragende Hilfe smile

21.02.2011, 13:33

René Gruber

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Elementares Rechnen...

Zitat:

Original von Chrax
-1 - 2i + i = -1 - 3i

$\begin{eqnarray*} -1-2i + i = ? \end{eqnarray*}$

21.02.2011, 13:47

Chrax

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Oh verkeckst Big Laugh

Du hast Recht haha wie doof x.x

Klar ist $\begin{eqnarray*} -1-2i + i = -1-i \end{eqnarray*}$
SO hab ichs dann auch gerechnet, nur falsch aufgeschrieben Big Laugh

So muss es richtig Lauten.

$\begin{eqnarray*} (-1-2i + i)^{12} = (-1-i)^{12} = -64 \end{eqnarray*}$

Danke (:

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