Sylowgruppen bestimmen

21.02.2011, 16:12

Gast11022013

Sylowgruppen bestimmen

Meine Frage:
Hallo!
Diesmal dreht sich meine Frage um das Thema "Sylowgruppen".

1. Gesucht sind alle Sylowgruppen der $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ .
2. Gesucht sind eine 2-Sylowgruppe eine 3-Sylowgruppe der $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ .
3. Gesucht ist die Anzahl der 2-Sylowgruppen der $\begin{eqnarray*} S_5 \end{eqnarray*}$ .

Hinweis zu 3.
Wägen Sie die Anzahl der 2-Sylowgruppen ab gegen die Anzahl von Elementen von 2-Potenzordnung in $\begin{eqnarray*} S_5 \end{eqnarray*}$ .

Probleme habe ich eigentlich nur bei 3. Also das vielleicht bitte als Erstes ansehen!

Meine Ideen:
zu 1.)

$\begin{eqnarray*} |S_3|=3!=6=2\cdot 3 \end{eqnarray*}$ , d.h. es gibt 2-Sylowgruppen und 3-Sylowgruppen.
Anzahl:
$\begin{eqnarray*} s_2\equiv 1 \mod 2, s_2 | 3 \Rightarrow s_2=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_3\equiv 1 \mod 3, s_3 | 2 \Rightarrow s_3=1 \end{eqnarray*}$

Finden muss ich doch jetzt drei Untergruppen der $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ mit Ordnung 2 und eine Untergruppe mit Ordnung 3.

3 Untergruppen der Ordnung 2:
$\begin{eqnarray*} P_1=<(32)>, P_2=<(12)>, P_3=<(13)> \end{eqnarray*}$
1 Untergruppe der Ordnung 3:
$\begin{eqnarray*} P_4=<(132)> \end{eqnarray*}$

zu 2.)

$\begin{eqnarray*} |S_4|=4!=24=2^3\cdot 3 \end{eqnarray*}$ , d.h. es gibt tatsächlich 2-Sylowgruppen und 3-Sylowgruppen.

Anzahl:

$\begin{eqnarray*} s_2\equiv 1 \mod 2, s_2 | 3 \Rightarrow s_2=3 \end{eqnarray*}$

Es gibt also drei 2-Sylowgruppen der Ordnung 8.
Eine solche ist zu finden:
$\begin{eqnarray*} P_1=\left\{id,(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1234),(1432),(13),(24)\right\} \end{eqnarray*}$ (Das habe ich recht umständlich ausgerechnet.)

$\begin{eqnarray*} s_3=4 \end{eqnarray*}$ , eine 3-Sylowgruppe ist eine Untergruppe der Ordnung 3, z.B. $\begin{eqnarray*} P_2=<(123)> \end{eqnarray*}$ .

zu 3.) Diese Aufgabe ist wohl die schwerste Aufgabe.

$\begin{eqnarray*} |S_5|=5!=120=2^3\cdot 3\cdot 5 \end{eqnarray*}$ , d.h. es gibt tatsächlich 2-Sylowgruppen und zwar gilt für die Anzahl:

$\begin{eqnarray*} s_2\equiv 1 \mod 2, s_2 | 15 \Rightarrow s_2\in \left\{1,3,5,15\right\} \end{eqnarray*}$

Nun muss ich irgendwie den Hinweis verwenden, der in der Frage gegeben ist, d.h. die Elemente mit 2-Potenzordnung in der $\begin{eqnarray*} S_5 \end{eqnarray*}$ finden und dann abwägen.

Ich weiß nicht exakt, was damit gemeint ist.
Elemente mit 2-Potenzordnung... das bedeutet wohl, man sucht die Elemente $\begin{eqnarray*} \sigma\in S_5 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |\sigma|=|<\sigma>|=2^\alpha, \alpha\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Soll man das jetzt einfach durchgehen? Ich kann doch aber nicht 120 Elemente durchgehen.

Aber ich kann ja mal anfangen.

$\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ :
Davon gibts ein Element, nämlich das Neutralelement $\begin{eqnarray*} \left\{id\right\} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \alpha=1 \end{eqnarray*}$ :
Das müssten die Transpositionen sein. Davon müsste es $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}=10 \end{eqnarray*}$ geben.

$\begin{eqnarray*} \alpha=2 \end{eqnarray*}$ :
Elemente der Ordnung 4...

.
.
.
.

Jetzt komme ich irgendwie nicht weiter.
Und angenenommen, ich hätte jetzt alle Elemente in $\begin{eqnarray*} S_5 \end{eqnarray*}$ einem $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ "zugeordnet", was soll ich denn dann "abwägen"?
Wahrscheinlich bekommt man am Ende raus, dass nur eine der Zahlen, die $\begin{eqnarray*} s_2 \end{eqnarray*}$ annehmen kann, auftaucht unter diesen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ - Kandidaten. Und daran sieht mans dann... ist aber nur eine Vermutung.

Weiter komme ich an dieser Stelle nicht und hoffe auf Hilfe.

22.02.2011, 11:14

Gast11022013

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RE: Sylowgruppen bestimmen
Hat niemand einen Tipp für mich?

geschockt

22.02.2011, 12:39

Gast11022013

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RE: Sylowgruppen bestimmen
Wie viele 2-Sylowgruppen hat $\begin{eqnarray*} S_5 \end{eqnarray*}$ ?

Ich schreib einfach mal meine eigene Idee auf.

Und zwar habe ich im Skript gelesen:

"Sei p eine Primzahl. Eine endliche Gruppe G ist genau dann eine p-Gruppe, wenn die Ordnung von jedem Element in G eine Potenz von p ist."

Deswegen soll man wahrscheinlich die Anzahl der Elemente mit 2-Potenzordnung ermitteln.

Wie wäre es, wenn man einfach mal alle möglichen Zykeltypen aufschreibt, die in $\begin{eqnarray*} S_5 \end{eqnarray*}$ vorkommen können? Dazu dann die Ordnung und die Anzahl.

1. Zykeltyp:
(id), Ordnung 1, Anzahl 1 (Ordnung ist 2er Potenz, nämlich 2^0)

2. Zykeltyp:
(ab), Ordnung 2, Anzahl 10 (Ordnung ist 2er Potenz 2^1)

3. Zykeltyp:
(ab)(cd), Ordnung 2, Anzahl 15 (Ordnung ist 2er Potenz 2^1)

4. Zykeltyp:
(abc), Ordnung 3, Anzahl 20 (Ordnung ist keine 2er Potenz)

5. Zykeltyp:
(abcd), Ordnung 4, Anzahl 30 (Ordnung ist 2er Potenz 2^2)

6. Zykeltyp:
(abc)(de), Ordnung 6, Anzahl 20 (Ordnung ist keine 2er Potenz)

7. Zykeltyp:
(abcde), Ordnung 5, Anzahl 24 (Ordnung ist keine 2er Potenz)

Wenn ich jetzt alle Elemente zusammenzähle, die als Ordnung eine 2er Potenz haben, so komme ich auf:

1+10+15+30=46

Jede 2-Sylowgruppe hat hier doch 8 Elemente (wegen 2^3), demnach kann man doch jetzt 46 durch 8 dividieren und man sieht, dass man jedenfalls mehr als 5 herausbekommt.

Demnach ist die Anzahl der 2-Sylowgruppen 15.

Ich hoffe, ich habe keinen totalen Blödsinn fabriziert...

22.02.2011, 12:51

C3P0

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Hallo,

bei 1.) und 2.) folgt aus $\begin{eqnarray*} s_2 \equiv 1 \mod 2, s_2|3 \end{eqnarray*}$ nicht sofort, dass $\begin{eqnarray*} s_2=3 \end{eqnarray*}$ , es könnte auch $\begin{eqnarray*} s_2=1 \end{eqnarray*}$ sein. Hier musst du noch genauer begründen.

Zu 3.):

Das funktioniert so, wie du es machst, es gibt also neben id noch 45 Elemente mit 2-Potenzordnung. Du kannst deine Abschätzung aber noch verbessern, indem du dir anschaust, dass jede Sylowgruppe neben id nur noch 7 Elemente von 2-Potenzordnung enthält. Gäbe es also nur 5 oder weniger Sylowgruppen, so hättest du höchstens 35 nichttriviale 2-Elemente, ein Widerspruch.
Grüße

22.02.2011, 12:54

Gast11022013

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Achja, richtig!

Das funktioniert dann wahrscheinlich so, dass ich sagen muss:
Wenn die Anzahl 1 wäre, würde es sich um Normalteiler handeln... usw. :-)

PS.

Danke für die Hinweise und die Bestätigung, dass ich ein Mal nicht auf dem Holzweg war. Wink

23.02.2011, 02:34

tigerbine

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Zitat:

Eine 2-Sylowgruppen der Ordnung 8.
$\begin{eqnarray*} P_1=\left\{id,(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1234),(1432),(13),(24)\right\} \end{eqnarray*}$ (Das habe ich recht umständlich ausgerechnet.)

Gibt es einen Trick, für "weniger umständlich"? Augenzwinkern

23.02.2011, 10:57

Mystic

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Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

Eine 2-Sylowgruppen der Ordnung 8.
$\begin{eqnarray*} P_1=\left\{id,(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1234),(1432),(13),(24)\right\} \end{eqnarray*}$ (Das habe ich recht umständlich ausgerechnet.)

Gibt es einen Trick, für "weniger umständlich"? Augenzwinkern

Aber klar doch Augenzwinkern

Die Untergruppen der Ordnung 8 werden erzeugt von einem Viererzyklus und einer Transposition, wobei die Elemente der Transposition im Viererzyklus nicht unmittelbar aufeinander folgen dürfen (sonst wäre das Erzeugnis die ganze $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ )... Die Struktur ist also grundsätzlich so

$\begin{eqnarray*} \langle (abcd),(ac) \rangle \end{eqnarray*}$

wobei man statt (ac) auch (bd) nehmen könnte...Ferner ist auch (abcd) durch (adcb) austauschbar, wegen

$\begin{eqnarray*} (adcb) =(abcd)^{-1} \end{eqnarray*}$

Insgesamt hat man also nur noch die Freiheit auf 3 Arten den Viererzyklus auszuwählen, womit es also dann auch genau 3 Untergruppen der Ordnung 8 gibt...

23.02.2011, 11:10

Gast11022013

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Das ist in der Tat einfacher, aber - man muss auch erstmal sehen, dass die Untergruppen der Ordnung 8 auf diese Weise erzeugt werden.

Wie bist Du darauf gekommen - bzw. gibt es dafür einen Trick, wie man sowas erkennt? Oder heißt es da einfach: Erfahrung, Ausprobieren und Glück haben?

23.02.2011, 11:28

Mystic

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Zitat:

Original von Dennis2010
Wie bist Du darauf gekommen - bzw. gibt es dafür einen Trick, wie man sowas erkennt? Oder heißt es da einfach: Erfahrung, Ausprobieren und Glück haben?

Naja, die Zyklenstruktur der Permutationen der $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ ist ja noch sehr übersichtlich: Es gibt Zyklen der Länge 2, 3 und 4 und dann noch die Produkte von 2 elementfremden Transpositionen... Die Zyklen der Länge 3 scheiden für eine Untergruppe mit 8 Elementen natürlich aus... Man braucht also eine "Mischung" aus Viererzyklen und Elementen der Ordnung 2... Mit etwas Überlegung (z.B. darf man niemals zwei Transpositionen hineinnehmen, welche nicht elementfremd sind, da ihr Produkt ein Dreierzyklus ist, ein Fall den wir schon ausgeschlossen hatten!) kommt man dann auf obige Fallunterscheidung...

23.02.2011, 14:22

tigerbine

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Danke für die Einblicke. Augenzwinkern

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