Prüfen auf Homogenität

22.02.2011, 01:07

Kallisto

Prüfen auf Homogenität

Meine Frage:
Die Funktion lautet $\begin{eqnarray*} f(x;y) = ln(3x + y^2) \end{eqnarray*}$
Es soll auf Homogenität geprüft werden und ggf. der Homogenitätsgrad angegeben werden.

Meine Ideen:
Ich weiß, dass f NICHT homogen ist.
Ich habe im Gedanken bereits je ein Lambda eingesetzt.
$\begin{eqnarray*} ln(3\lambda x + \lambda y\lambda y) \end{eqnarray*}$
Nun muss ich es irgendwie ausklammern und der Exponent gibt mir den Homogenitätsgrad an. Wie sehe ich, dass f inhomogen ist?
Das ist mein letzter Schritt:
$\begin{eqnarray*} \lambda * ln(3x + y^2) \end{eqnarray*}$
Was ja aber irgendwie Null aussagt... oder?

22.02.2011, 01:28

Merlinius

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Deine Umformung ist falsch. Du kannst doch nicht einfach das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ vor den Logarithmus ziehen.

Wenn Du zeigen willst, dass ein gewisser Zusammenhang nicht für alle x, y gilt, dann ist es i.d.R. gefragt, ein Gegenbeispiel zu finden. Also finde $\begin{eqnarray*} x, y, \lambda \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} f(\lambda x, \lambda y) \neq \lambda^n f(x, y) \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Überlege dir, mit welchen x, y man besonders leicht rechnen könnte, wenn man sie einsetzen würde, d.h. an welchen Stellen kennst Du die Funktionswerte des Logarithmus?

22.02.2011, 10:29

Kallisto

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D.h. ich soll mir Werte ausdenken???

22.02.2011, 15:38

Kallisto

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Kann mir jemand helfen? Ich glaub die Aufgabe ist relativ einfach, aber ich versteh nicht so ganz wie man da ran geht.

22.02.2011, 15:41

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Kallisto
Kann mir jemand helfen? Ich glaub die Aufgabe ist relativ einfach, aber ich versteh nicht so ganz wie man da ran geht.

Was verstehst du denn nicht? Merlinius hat doch eigentlich alles gesagt, er hat dir nur das Gegenbeispiel nicht geliefert, das ist auch schon alles.

Ibn Batuta

22.02.2011, 15:47

Kallisto

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RE: Prüfen auf Homogenität
War mein erster Schritt richtig, vor jedes x und y gedanklich ein Lambda zu setzen?
$\begin{eqnarray*} ln(3\lambda x + \lambda y\lambda y) \end{eqnarray*}$

"Überlege dir, mit welchen x, y man besonders leicht rechnen könnte, wenn man sie einsetzen würde, d.h. an welchen Stellen kennst Du die Funktionswerte des Logarithmus?"

Ich weiß z.B., dass ln(1) = 0 ist.
Inwiefern bringt es mir etwas, wenn ich mir für x und y Zahlen einfallen lasse und bspw. wie in o.g. Beispiel auf 0 komme?

Nebenbei bin ich durch den Logarithmus etwas abgeschreckt -.-

22.02.2011, 15:51

Ibn Batuta

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RE: Prüfen auf Homogenität

Zitat:

Original von Kallisto
War mein erster Schritt richtig, vor jedes x und y gedanklich ein Lambda zu setzen?
$\begin{eqnarray*} ln(3\lambda x + \lambda y\lambda y) \end{eqnarray*}$

Ja.

Zitat:

Original von Kallisto
Ich weiß z.B., dass ln(1) = 0 ist.
Inwiefern bringt es mir etwas, wenn ich mir für x und y Zahlen einfallen lasse und bspw. wie in o.g. Beispiel auf 0 komme?

Nebenbei bin ich durch den Logarithmus etwas abgeschreckt -.-

Du kannst dir ja irgendwelche Werte einfallen lassen. Es reicht ein Gegenbeispiel zu finden, wenn du weißt, daß $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht homogen ist.

Ibn Batuta

22.02.2011, 20:28

Merlinius

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Sorry, dass ich nicht mehr geantwortet hatte, ich kam leider nicht dazu seit letzter Nacht. Also bastel einfach ein bisschen herum, um ein Gegenbeispiel zu konstruieren.

ln(1) = 0 ist schonmal ein super Ansatz. Jetzt noch ein geeignetes $\begin{eqnarray*} \lambda, x, y \end{eqnarray*}$ suchen, um die Idee einzubauen.

Tipp: Für welche a gilt die Ungleichung $\begin{eqnarray*} a \neq \lambda^n \cdot 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ? Wie kann man dieses Konzept auf die Aufgabe anwenden?

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