Übergangsmatrizen

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29.11.2006, 10:02	feleci	Auf diesen Beitrag antworten »
Übergangsmatrizen Hallo Leute, ich bin seit gestern mit einem schwierigen Problem konfrontiert wurden, es handelt sich dabei um eine Kombination aus Übergangsmatrizen und Kurvendiskussion. Die Aufgabe lautet: d) m folgenden soll davon ausgegangen werden, dass sich die medizinischen Behandlungsmethoden soweit verbessert haben, dass niemand mehr an dieser Krankheit stirbt und dass 80 % der Erkrankten innerhalb einer Woche wieder gesund werden: Die Übergangsmatrix lautet: G K WG ( alte Zustände ) G 0,7 0 0 K 0,3 0,2 0,1 WG 0 0,8 0,9 (neue Zustände ) G ( GESUNDE ), K ( KRANKE ), WG ( Wiedergesunde ), wobei die Zustände zeilenmäßig zu den Zuständen spaltenmäßig wechseln. Nun bricht eine Krankheit bei einer Population von 1500 Personen aus. Nun die eigentliche Aufgabe: d3) Beschrieben Sie explizit den Verlauf des Krankenstandes durch ( auf rationalpositve Zahlen erweiterte ) FUnktion. ( Zur Kontrolle f(x)=5000,7^x-666.66660,1^x+166.66666 ) Nun frage ich mich wie ich auf diese Funktion kommen kann? Vielen Dank schon mal für eure/Ihre Hilfe! mfg. feleci
29.11.2006, 10:57	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Übergangsmatrizen Mal zur besseren Übersicht: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} &G&K&WG \\G & 0.7 & 0 & 0 \\ K & 0.3 & 0.2 & 0.1 \\ WG& 0 & 0.8 & 0.9 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aber so ganz verstehe ich die Matrix nicht. Wie ist denn der Stand G,K WG vor dem Ausbruch? Welche Einheit hat x?
29.11.2006, 11:16	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum besseren Nachvollziehen siehe hier http://thomas-unkelbach.de/m/la/um/BezRe...20Krankheit.pdf
29.11.2006, 11:26	feleci	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm ja danke thomas für die seite, ich hoffe jemand kann mir jetzt nur noch sagen, wie ich an die Funktion gelange!?
29.11.2006, 11:28	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Also Geometrie ist das nicht, sondern (lineare) Algebra oder Stochastik. Deshalb Verschoben
29.11.2006, 11:30	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah jetzt (fast) ja . Also $\begin{eqnarray} f(x) = 500\cdot 0.7^x - \frac{2000}{3} \cdot 0.1^x+\frac{1000}{6} \end{eqnarray}$ Bildlich: Also $\begin{eqnarray} K_0 = f(0) = 0; G_0 = 1500; WG_0 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K_1=f(1) = 450 = 0.3 \cdot 1500; G_1=1050;WG_1 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K_2=f(2) = 405 = 0.3 \cdot 1050 + 0.2 \cdot 450; G_2 = 735; WG_2=360 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K_3=f(3) = 337.5 = 0.3 \cdot 735 + 0.2 \cdot 405 + 0.1 \cdot 360, G_3=514.5;WG_3=648 \end{eqnarray}$ ... $\begin{eqnarray} K_{x+1} = 0.3 \cdot G_x + 0.2 \cdot K_x + 0.1 \cdot WG_x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G_x=1500 \cdot 0.7^x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} WG_x = 1500 - G_x - K_x \end{eqnarray}$ ... $\begin{eqnarray} K_{x+1} = 0.3 \cdot 1500\cdot 0.7^x +0.2 \cdot K_x + 0.1 \cdot (1500 - 1500\cdot 0.7^x - K_x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K_{x+1} = 300 \cdot 0.7^x + 0.1 \cdot K_x + 150 \end{eqnarray}$
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29.11.2006, 11:33	feleci	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Übergangsmatrizen ja das mit dem graphen und den funktionswerten hab ich auch mitbekomme, aber wie gelange ich jetzt letztendlich an die Funktion, und z.B. an die 0,7^x oder 0,1^x oder an die 166.66666 ? mfg. feleci
29.11.2006, 11:35	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Übergangsmatrizen Gib mir bitte mal einen Moment, ja. Der Aufgabentyp ist auch neu für mich. Ich arbeite dran
29.11.2006, 11:38	feleci	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Übergangsmatrizen alles klar vielen dank schon mal für deine mühe ich schaue dann später nochmal vorbei!
29.11.2006, 11:45	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ der dreidimensionale Spaltenvektor der Anzahlen an Gesunden, Kranken und Wiedergesunden, sowie P die abgebildete Übergangsmatrix. Dann ist $\begin{eqnarray} a_n = P\cdot a_{n-1} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_0 = \begin{pmatrix} 1500\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das Zauberwort zur Gewinnung einer expliziten Darstellung von $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ heißt Diagonalisierung von $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} P = UDU^{-1} \end{eqnarray}$ mit einer Diagonalmatrix $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ . Dann gilt nämlich für $\begin{eqnarray} b_n:=U^{-1}a_n \end{eqnarray}$ die einfachere Rekursion $\begin{eqnarray} b_n = D\cdot b_{n-1} \end{eqnarray}$ mit Lösung $\begin{eqnarray} b_n = D^nb_0 \end{eqnarray}$ . Sieht zwar strukturell genauso aus wie $\begin{eqnarray} a_n = P^na_0 \end{eqnarray}$ , ist aber wegen der Diagonalstruktur von $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ viel einfacher zu berechnen: Für $\begin{eqnarray} D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0\\ 0 & \lambda_2 & 0\\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gilt einfach $\begin{eqnarray} D^n = \begin{pmatrix} \lambda_1^n & 0 & 0\\ 0 & \lambda_2^n & 0\\ 0 & 0 & \lambda_3^n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ .
01.12.2006, 17:57	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann sollten wir Arthur's Vorschlag mal umsetzen $\begin{eqnarray} \text{char. Poly (A) = }(x-0.7)(x^2-1.1x+0.1) = (x-0.7)(x-1)(x-0.1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Eigenwerte A: } \lambda_1 = 0.7, \lambda_2 = 0.1, \lambda_3 = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Eigenvektoren: }v_1=\begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Transformationsmatrix : } U = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -4 & -1 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Diagonalmatrix: } D = \begin{pmatrix} 0.7 & 0& 0 \\ 0 & 0.1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Startvektor: }b_0=\begin{pmatrix}500 \\-\frac{2000}{3} \\ \frac{500}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_n = D^nb_0 = \begin{pmatrix} 0.7^n & 0& 0 \\ 0 & 0.1^n & 0 \\ 0 & 0 & 1^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix}500 \\-\frac{2000}{3} \\ \frac{500}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}500\cdot 0.7^n \\-\frac{2000}{3} \cdot 0.1^n \\ \frac{500}{3} \cdot 1^n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_n = Ub_n = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -4 & -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}500\cdot 0.7^n \\-\frac{2000}{3} \cdot 0.1^n \\ \frac{500}{3} \cdot 1^n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1500\cdot 0.7^n \\500\cdot0.7^n-\frac{2000}{3} \cdot 0.1^n+\frac{500}{3} \\-2000\cdot 0.7^n +\frac{2000}{3} \cdot 0.1^n + \frac{2000}{3} \cdot 1^n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und somit wissen wir jetzt warum: $\begin{eqnarray} f(x) = 500 \cdot 0.7^n- \frac{2000}{3} \cdot 0.1^n +\frac{500}{3} \end{eqnarray}$

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