Isomorphietypen

22.02.2011, 15:36

Gast11022013

Isomorphietypen

Meine Frage:
Es sei G Gruppe der Ordnung 12 und es bezeichne $\begin{eqnarray*} s_2,s_3 \end{eqnarray*}$ die Anzahl der 2- bzw. 3-Sylowgruppen in G.

Man zeige, dass im Fall $\begin{eqnarray*} s_2=s_3=1 \end{eqnarray*}$ die Gruppe G abelsch ist. Welche Isomorphietypen sind für G möglich?

Meine Ideen:
Wenn $\begin{eqnarray*} s_1=s_2=1 \end{eqnarray*}$ und A die einzige 2-Sylowgruppe und B die einzige 3-Sylowgruppe ist, dann sind A und B Normalteiler.

Kann man hier das direkte innere Produkt anwenden?
A und B sind ja normal, |G|=|A||B| und der Schnitt von A und B ist trivial, weil die Ordnungen teilerfremd sind.

Es müsste also gelten $\begin{eqnarray*} G=A\times B \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß aber nicht, wie man jetzt zeigt, dass G abelsch ist und wie man die Isomorphietypen bestimmt.

[Wenn man erst zeigt, dass G abelsch ist, kann man für G, also eine endliche abelsche Gruppe, irgendeinen Struktursatz anwenden, so viel weiß ich noch, aber ich weiß nicht mehr genau, wie das funktioniert. Man ermittelt die Primfaktoren (hier $\begin{eqnarray*} 12=2^2\cdot 3 \end{eqnarray*}$ ), aber dann?]

Außerdem fällt mir noch ein, dass B die Zahl 3 als Ordnung hat, also eine Primzahl, und somit zyklisch ist. Bei A ist das nicht der Fall, 4 ist ja keine Primzahl.

EDIT:

Okay, B ist also schonmal zyklisch und damit abelsch.
A ist Gruppe der Ordnung 4 und da gibt es nur die Möglichkeit, dass A $\begin{eqnarray*} C_4 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} V_4 \end{eqnarray*}$ ist und die sind beide abelsch. Also ist auch das direkte Produkt abelsch, also G.

Bleibt nur die Frage, wie man die Isomorphietypen bestimmt.

22.02.2011, 16:09

Mystic

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RE: Isomorphietypen

Zitat:

Original von Dennis2010
Okay, B ist also schonmal zyklisch und damit abelsch.
A ist Gruppe der Ordnung 4 und da gibt es nur die Möglichkeit, dass A $\begin{eqnarray*} C_4 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} V_4 \end{eqnarray*}$ ist und die sind beide abelsch. Also ist auch das direkte Produkt abelsch, also G.

Bleibt nur die Frage, wie man die Isomorphietypen bestimmt.

Versteh deine Frage nicht, da du eh schon alles bestimmt hast... Allerdings solltest du noch $\begin{eqnarray*} V_4 \end{eqnarray*}$ weiter zerlegen und dann eben deine beiden direkten Zerlegungen, welche du gefunden hast, noch explizit hinschreiben... Aus, fertig...

22.02.2011, 16:39

Gast11022013

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RE: Isomorphietypen
Meine Frage ist doch gewesen, wie man die Isomorphietypen von endlichen abelschen Gruppen bestimmt bzw. das allgemeine Vorgehen dafür.

Soweit ich das jetzt verstanden habe, kann man eine endliche abelsche Gruppe als direktes Produkt von zyklischen Gruppen schreiben, deren Ordnung eine Primzahlpotenz ist.

Das bedeutet, man zerlegt die Ordnung in die Primzahlfaktoren und schaut dann, wie man einzelne dieser Faktoren weiter auftrennen kann - so, dass man es immer als Produkt von Primfaktorpotenzen schreiben kann:

Sprich für diese Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} 12=2^2\cdot 3=2^1\cdot 2^1\cdot 3 \end{eqnarray*}$ , also sind die Isomorphietypen:

$\begin{eqnarray*} G\cong C_4\times C_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G\cong C_2\times C_2\times C_3 \end{eqnarray*}$ ?

So viel ich weiß, ist die Reihenfolge egal, also ich meine, dass $\begin{eqnarray*} G\cong C_3\times C_4 \end{eqnarray*}$ zum Beispiel keinen neuen Isomorphietyp beschreibt.

Mal eine Frage noch: Wenn man so eine Aufgabe lösen soll, muss man dann immer erst die Sylowgruppen bestimmen oder kann man für die Bestimmung der Isomorphietypen auch gleich so wie oben argumentieren?

Also sei z.B. $\begin{eqnarray*} |G|=36 \end{eqnarray*}$ , G abelsch.

$\begin{eqnarray*} 36=2^2\cdot 3^2 \end{eqnarray*}$

Isomorphietypen:
$\begin{eqnarray*} G\cong C_4\times C_9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G\cong C_2\times C_2\times C_3\times C_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G\cong C_2\times C_2\times C_9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G\cong C_4\times C_3\times C_3 \end{eqnarray*}$
??

Gibts bestimmte Aufgabenstellungen (z.B. besonders hohe endliche Ordnungen), bei denen man mit der Bestimmung der Sylowgruppen anfangen sollte?

22.02.2011, 19:06

Mystic

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RE: Isomorphietypen
Die scheinst hier zwei Tatsachen total vergessen oder völlig durcheinander gebracht zu haben, welche da sind:

1. Die Möglichkeit einer direkten Zerlegung in endlich viele zyklische Gruppen gilt ausschließlich für endlich erzeugte abelsche Gruppen!!!

2. Die Gruppe mit der Ordnung 12 und gewissen Zusatzbedingungen war aber nicht von Anfang an abelsch, sondern hat sich erst nach einigen Überlegungen als abelsch herausgestellt!!!

22.02.2011, 21:58

Gast11022013

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RE: Isomorphietypen
Willst Du mir damit sagen, dass man die Vorarbeit mit den Sylowgruppen benötigt, damit man eventuell zu dem Ergebnis kommt, dass die Gruppe abelsch ist und dann die Isomorphietypen bestimmen kann.

Wenn aber schon gegeben ist, dass die Gruppe endlich und abelsch ist, kann man auf das Sylow-Zeugs verzichten.

??

22.02.2011, 22:37

Mystic

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RE: Isomorphietypen
Genauso ist es... Freude

23.02.2011, 12:17

Gast11022013

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RE: Isomorphietypen
Eins verstehe ich nicht:

Im Skript habe ich Folgendes gefunden:

"Für alle abelschen Gruppen G der Ordnung |G|=12 gilt entweder $\begin{eqnarray*} G\cong \mathbb Z_3\times \mathbb Z_4\cong \mathbb Z_{12} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} G\cong \mathbb Z_3\times \mathbb Z_2\times \mathbb Z_2\cong \mathbb Z_2\times \mathbb Z_6 \end{eqnarray*}$ ."

Mir ist das auf der ganz rechten Seite unklar.
Es war doch jetzt so, dass es Ordnungen sind, die Potenzen von Primzahlen sind.
Aber wie passt dann die 6 da rein?

Und noch eine Frage allgemeiner Art: Es ist ja $\begin{eqnarray*} 2^0=1 \end{eqnarray*}$ .
Kann man also nicht jede endliche abelsche Gruppe, zum Beispiel wie das Beispiel oben, schreiben als: $\begin{eqnarray*} G\cong \mathbb Z_1\times \mathbb Z_1.... \end{eqnarray*}$ ?

23.02.2011, 13:40

Mystic

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RE: Isomorphietypen
Es gilt ganz allgemein

$\begin{eqnarray*} ggT(m,n)=1 \Rightarrow \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_m \cong \mathbb{Z}_{mn} \end{eqnarray*}$

d.h., man kann unter Verwendung dieses Satzes noch "zusammenfassen" (natürlich nur, wenn man will)... Tatsächlich ist es so, dass man die Moduln sogar immer so wählen kann, dass man auf eine (sogar eindeutige) Darstellung

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_{n_1} \times \mathbb{Z}_{n_2} \times \dots \times \mathbb{Z}_{n_r} \end{eqnarray*}$

kommt, welche die Nebenbedingung

$\begin{eqnarray*} n_1|n_2|\dots |n_r \end{eqnarray*}$

erfüllt...

23.02.2011, 13:52

Gast11022013

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RE: Isomorphietypen

Zitat:

Original von Mystic
Es gilt ganz allgemein

$\begin{eqnarray*} ggT(m,n)=1 \Rightarrow \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_m \cong \mathbb{Z}_{mn} \end{eqnarray*}$

d.h., man kann unter Verwendung dieses Satzes noch "zusammenfassen" (natürlich nur, wenn man will)... Tatsächlich ist es so, dass man die Moduln sogar immer so wählen kann, dass man auf eine (sogar eindeutige) Darstellung

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_{n_1} \times \mathbb{Z}_{n_2} \times \dots \times \mathbb{Z}_{n_r} \end{eqnarray*}$

kommt, welche die Nebenbedingung

$\begin{eqnarray*} n_1|n_2|\dots |n_r \end{eqnarray*}$

erfüllt...

Ich scheue mich ein bisschen, Dich zu korrigieren, aber meinst du dort oben nicht:

$\begin{eqnarray*} ggT(m,n)=1\Rightarrow \mathbb Z_m\times \mathbb Z_n\cong \mathbb Z_{mn} \end{eqnarray*}$ ?

Wenn die Indizes also teilerfremd sind, darf man zusammenfassen - so habe ich Dich verstanden.

23.02.2011, 18:43

Mystic

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RE: Isomorphietypen

Zitat:

Original von Dennis2010
Ich scheue mich ein bisschen, Dich zu korrigieren, aber meinst du dort oben nicht:

$\begin{eqnarray*} ggT(m,n)=1\Rightarrow \mathbb Z_m\times \mathbb Z_n\cong \mathbb Z_{mn} \end{eqnarray*}$ ?

Wenn die Indizes also teilerfremd sind, darf man zusammenfassen - so habe ich Dich verstanden.

Wenn ein Tippfehler so offensichtlich ist wie in diesem Fall, ist deine Scheu unangebracht.... Augenzwinkern

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