invertierbare Matrizen

29.11.2006, 11:37

moinseflex

invertierbare Matrizen

Hi Leute!
Habe hier ne Aufgabe, bei der ich nicht so richtig zu recht komme:

Aufgabe:
a) Es seien A, B und C invertierbare Matrizen. Sind die Matrizen $\begin{eqnarray*} AB^{-1}C, A^{2} und A+B \end{eqnarray*}$ invertierbar?
Berechnen Sie jeweils entweder die Inverse, oder geben Sie ein Gegenbeispiel an.

b) Zeigen Sie $\begin{eqnarray*} A^{-1} - B^{-1} = A^{-1}(B-A)B^{-1} \end{eqnarray*}$ für invertierbare Matrizen A und B.

Meine Überlegungen:zu a) 1. Da $\begin{eqnarray*} (A^{-1}BC^{-1}) * (AB^{-1}C) = E \end{eqnarray*}$ (Einheitsmatrix) ist, gibt es die Inverse und sie lautet $\begin{eqnarray*} A^{-1}BC^{-1} \end{eqnarray*}$ .
2. $\begin{eqnarray*} A^{2} = A*A und A^{-2} = A^{-1}*A^{-1} \Rightarrow A^{2}*A^{-2} = A*A*A^{-1}*A^{-1} = A*A^{-1}*A*A^{-1}= E*E = E^{2} \end{eqnarray*}$
Also gibt es die Inverse und sie lautet $\begin{eqnarray*} A^{-2} \end{eqnarray*}$ .
3. $\begin{eqnarray*} (A+B)*(A+B)^{-1} = (A+B)*(A^{-1}+B^{-1}) = A*A^{-1}+A*B^{-1}+B*A^{-1}+B*B^{-1}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E+A*B^{-1}+B*A^{-1}+E \end{eqnarray*}$ . Es gibt also keine Inverse.

zu b) $\begin{eqnarray*} A^{-1} - B^{-1} = A^{-1}*E - B^{-1}*E = A^{-1}(BB^{-1}) - B^{-1}(AA^{-1}) = (A^{-1}B^{-1})B - (B^{-1}A^{-1})A = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (A^{-1}B^{-1})B - (A^{-1}B^{-1})A = (A^{-1}B^{-1}) (B-A) = A^{-1}B^{-1} (B-A) = A^{-1} (B-A) B^{-1} \end{eqnarray*}$
q.e.d.

Mir kommt das, so wie ich es jetzt probiert habe zu zeigen, irgendwie falsch vor. Ich hätte aber auch keine andere Idee, es sonst zu zeigen.

Kann mir jemand bitte helfen?
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand schnell helfen könnte, da ich diese Aufgabe schon morgen abgeben muss.

Schon mal voraus herzlichen Dank!!!

LG Daniel

29.11.2006, 11:58

Mazze

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Deine Inverse zu $\begin{eqnarray*} AB^{-1}C \end{eqnarray*}$ ist falsch. Denknoch mal drüber nach in welcher Reihenfolge Du die Matrizen aufschreibst.

Zu $\begin{eqnarray*} A^{-2} \end{eqnarray*}$ so etwas gibt es nicht. Die Inverse ist richtig $\begin{eqnarray*} A^{-1}A^{-1} \end{eqnarray*}$ aber das hoch -2 vergisst Du am besten ganz schnell wieder.

Zu A + B, richtig es gibt keine Inverse einfaches Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} , B= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

A und B sind invertierbar aber A+B nicht. Und noch was

$\begin{eqnarray*} (A + B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1} \end{eqnarray*}$

ist auch falsch.

29.11.2006, 12:00

Divergenz

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RE: invertierbare Matrizen
Hallo,

also deine Überlegungen sind zum Teil ja schon richtig. 2. kannst du als gelöst betrachten. 1. nur fast, denn die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ, also heißt die Inverse in dem Fall $\begin{eqnarray*} C^{-1}BA^{-1} \end{eqnarray*}$ . Für 3. ist es besser du gibst ein Gegenbsp. an, am einfachsten findet man eines, indem man bei A und B selbst an E denkt! Augenzwinkern

Zur Aufgabe b) solltest du dir auch noch mal andere Gedanken machen, denn im dritten Schritt hast du auch hier eine Kommutativität für die Matrixmultiplikation vorausgesetzt.

29.11.2006, 12:22

moinseflex

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aber ist nicht $\begin{eqnarray*} A^{-1}*A^{-1} = A^{-1+(-1)} = A^{-2} \end{eqnarray*}$ ?
sit mein ansatz zu b so richtig. oder muss ich noch etwas ergänzen?
zu a) meinem übungsleiter ist aus versehen rausgerutscht, dass es zu allen drei bsp. inversen gibt. aber dann wäre doch die aufgabe nicht so gestellt? außerdem hat mazze ja zu A+B ein gegenbeispiel:
A+B: Ist nicht invertierbar. Gegenbeispiel: Sei A:= E und B:= -E.
A und B sind invertierbar, aber A+B = 0 ist nicht invertierbar.
das ist doch das selbe, oder?

29.11.2006, 12:27

Divergenz

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Zu a) ist denke ich soweit alles gesagt.
Bei b) steckt ein Fehler drin, da die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist. Fang einfach mal mit der rechten Seite an und multiplizier einfach aus! Dann kommst du schon aufs richtige, und die Lösung ist auch noch kürzer! smile

29.11.2006, 13:07

moinseflex

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Also hier nocheinmal neue Ansätze von mir zu a):
1. A, B, C sind invertierbar!
Es gilt: $\begin{eqnarray*} (ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (B^{-1})^{-1} = B \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (AB^{-1}C) * (AB^{-1}C)^{-1} = (AB^{-1}C) * (C^{-1}BA^{-1}) = AB^{-1}CC^{-1}BA^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = AB^{-1}EBA^{-1} = AB^{-1}BA^{-1} = AEA^{-1} = AA^{-1} = E \end{eqnarray*}$

Damit ist die Matrize $\begin{eqnarray*} AB^{-1}C \end{eqnarray*}$ invertierbar. Ihre Inverse lautet $\begin{eqnarray*} (AB^{-1}C)^{-1} = C^{-1}BA^{-1} \end{eqnarray*}$ .

2. A ist invertierbar.
Es gilt: $\begin{eqnarray*} A^{2} = A*A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (AA)^{-1} = A^{-1}A^{-1} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (AA) * (AA)^{-1} = AAA^{-1}A^{-1} = AEA^{-1} = AA^{-1} = E \end{eqnarray*}$

Damit ist die Matrize $\begin{eqnarray*} A^{2} \end{eqnarray*}$ invertierbar. Ihre Inverse lautet $\begin{eqnarray*} (AA)^{-1} = A^{-1}A^{-1} \end{eqnarray*}$ .

3. A und B sind invertierbar. Aber A+B ist nicht invertierbar. Es gibt nämlich ein Gegenbeispiel:
$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A+B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Also A = E , B = - E .
Damit wäre A+B = 0.

Also ist die Matrize A+B nicht invertierbar.

zu 2. Kann ich denn jetzt auch als Inverse $\begin{eqnarray*} A^{2} \end{eqnarray*}$ schreiben,
oder soll ich es als $\begin{eqnarray*} A^{-1}A^{-1} \end{eqnarray*}$ stehen lassen ?

29.11.2006, 13:14

moinseflex

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zu b) Ist das so richtig:
$\begin{eqnarray*} A^{-1} - B^{-1} = A^{-1}BB^{-1} - A^{-1}AB^{-1} = A^{-1} (B-A) B^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

29.11.2006, 15:51

moinseflex

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Kann mir bitte jemand helfen
Hi Leute!

Kann mir bitte jemand sagen, ob meine Überlegungen jetzt korrekt sind, wie ich sie oben beschrieben habe. Es wäre eine sehr große Hilfe.

Dankeschön im voraus.

LG Daniel

29.11.2006, 16:30

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von moinseflex
zu 2. Kann ich denn jetzt auch als Inverse $\begin{eqnarray*} A^{2} \end{eqnarray*}$ schreiben,
oder soll ich es als $\begin{eqnarray*} A^{-1}A^{-1} \end{eqnarray*}$ stehen lassen ?

Ich nehme an, du meinst $\begin{eqnarray*} A^{-2} \end{eqnarray*}$ ?! Nein, das solltest du nicht schreiben. Diese Schreibweise ist an sich nur für reelle Zahlen definiert! Man kann sie sicher auch für Matrizen definieren, aber da ich annehme, dass ihr das in der Vorlesung nicht gemacht habt, dürftest du es dann auch nicht benutzen! Schreibe also entweder $\begin{eqnarray*} A^{-1}A^{-1} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (A^{-1})^2 \end{eqnarray*}$ , aber nicht $\begin{eqnarray*} A^{-2} \end{eqnarray*}$ !
Deine Gleichungen sind jetzt richtig. Allerdings musst du evtl. noch zeigen, dass auch $\begin{eqnarray*} (AB^{-1}C)^{-1}(AB^{-1}C)=E \end{eqnarray*}$ gilt, falls ihr nicht einen entsprechenden Satz habt, der besagt, dass das aus $\begin{eqnarray*} (AB^{-1}C)(AB^{-1}C)^{-1}=E \end{eqnarray*}$ folgt. Entsprechendes dann bei 2.!
b) ist an sich so richtig, aber du solltest jeweils zwischen der ersten und der zweiten und der zweiten und der dritten noch einen Zwischenschritt einbauen.

Gruß MSS

Gruß MSS

29.11.2006, 16:33

Mazze

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Die Potenzgesetze gelten für Matrizen nicht! Du kannst höchsten schreiben das

$\begin{eqnarray*} A^{-1}A^{-1} = (A^2)^{-1} \end{eqnarray*}$

Und das ist auch schon alles, Du darfst dann nicht das Potenzgesetz das Du von den reellen Zahlen kennst anwenden, ganz einfach deshalb weil es für reelle Zahlen und nicht für Matrizen gilt (bzw. definiert ist).

Dein b) ist richtig.

Zitat:

Sei A:= E und B:= -E. A und B sind invertierbar, aber A+B = 0 ist nicht invertierbar.
das ist doch das selbe, oder?

Richtig.

29.11.2006, 16:56

moinseflex

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Dankeschön Mazze und Divergenz und Mathespezialschüler!
Habe dann soweit alles!

LG Daniel

29.11.2006, 17:02

Mathespezialschüler

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"Off-Topic"
@Mazze

Zitat:

Original von Mazze
Die Potenzgesetze gelten für Matrizen nicht!
[...]
Und das ist auch schon alles, Du darfst dann nicht das Potenzgesetz das Du von den reellen Zahlen kennst anwenden, ganz einfach deshalb weil es für reelle Zahlen und nicht für Matrizen gilt (bzw. definiert ist).

Wenn ich

$\begin{eqnarray*} A^n=\underbrace{A\cdot A\cdot\ldots\cdot A}_{n\text{-mal}} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} A^{-n}=(A^{-1})^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A^0=E \end{eqnarray*}$ für invertierbare Matrizen definiere, dann gilt sicher für alle $\begin{eqnarray*} m,n\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} A^{m+n}=A^m\cdot A^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A^m)^n=A^{mn} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

29.11.2006, 17:16

Mazze

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Was ist dann $\begin{eqnarray*} (AB)^{-n} \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

Da muss man dann die Reihenfolge vertauschen, und so ist das für reelle Zahlen sicher nicht erklärt auf das er vermutlich anspielt. Man müsste dann laut obiger Definition:

$\begin{eqnarray*} (AB)^{-1}(AB)^{-1}(AB)^{-1} ... \end{eqnarray*}$

schreiben.

29.11.2006, 18:20

Mathespezialschüler

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Ich habe nicht behauptet, dass $\begin{eqnarray*} (AB)^n=A^nB^n \end{eqnarray*}$ gilt, sondern nur, dass obige Gesetze gelten. Deine Aussage "Die Potenzgesetze gelten dann nicht." war mir in dem Zshg. zu allgemein gehalten. Bestimmte Potenzgesetze gelten eben schon. Dass diejenigen, für die man die Kommutativität braucht, nicht gelten, ist mir auch klar ... Augenzwinkern

Gruß MSS

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