Axiome für Gruppen an Beispiel

22.02.2011, 23:02

MorganHumphreys

Axiome für Gruppen an Beispiel

Meine Frage:
Hallo.

Ich soll an den Axiomen für Gruppen (inkl. Kommutativität) überprüfen, ob folgende drei Beispiele eine Gruppe definieren:

a) ( $\begin{eqnarray*} \mathbb N \cup \left\{ 0\right\} , \end{eqnarray*}$ o ), wobei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ o $\begin{eqnarray*} y := | x - y| \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \left(\mathbb R , *\right) \end{eqnarray*}$

c) ((-1;1),o), wobei x o y := (x + y ) / ( 1+ xy )

Meine Ideen:
Ich wollte erstmal a) machen:

- Abgeschlossenheit ist gegeben, da man sich nur in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \cup \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ bewegt.
- Das neutrale Element ist: 0. Da f.a. Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \cup \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ gilt: |a - 0| |0 - a| = a
- Kommutativität gilt, da |x - y| = |y - x| f.a. Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \cup \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$
- Beim Inversen muss ja gelten $\begin{eqnarray*} |a - a^{-1} | = | a^{-1} - a| = 0 \end{eqnarray*}$ (in diesem Fall). Was auch gilt, aber nur wenn $\begin{eqnarray*} a = a^{-1} \end{eqnarray*}$ . Geht das so?
- Assoziativität ist nicht gegeben, da: $\begin{eqnarray*} ||3-5| - 13| \neq |3 - |5-13|| \end{eqnarray*}$

Folglich keine Gruppe.

22.02.2011, 23:08

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RE: Axiome für Gruppen an Beispiel
Zunächst:
Kommutativität brauchst du für eine Gruppe nicht! Das ist die zusätzliche Bedingung für eine abelsche Gruppe.

Dann:
Rest passt. Natürlich dürfen Elemente auch selbst ihre Inversen sein. In diesem Fall ist das der Fall.
Wenn die Assoziativität natürlich nicht gilt, dann hast du keine Gruppe und das scheint hier der Fall zu sein. Ein Gegenbeispiel reicht, also ok.

Gruß
MI

22.02.2011, 23:33

MorganHumphreys

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RE: Axiome für Gruppen an Beispiel
Vielen Dank fürs überprüfen, MI.,
Die Kommutativität sollte man ja auch schon mitbetrachten.
So b) auch noch gemacht und dann mal ab ins Bett. c) vielleicht morgen, ich werde es posten, auch falls ich es verstanden habe. Falls es jemand anderes mal braucht

Zitat:

Original von MorganHumphreys
b) $\begin{eqnarray*} \left(\mathbb R , *\right) \end{eqnarray*}$

- Neutrales Element: 1, da f.a. a € R : a * 1 = 1* a = a
- Inverses Element f.a. a € R: $\begin{eqnarray*} a^{-1} = 1 / a \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} a^{-1} * a = a * a^{-1} = 1 \end{eqnarray*}$
- Die Multiplikation ist auch assoziativ in R
- Abgeschlossen ist dieses Beispiel auch, da f.a. a,b € R ex. c € : a*b = c
- Kommultativ ist dieses Beispiel auch, es gilt f.a. a,b € R, dass a + b = b * a

Folglich (abelsche) Gruppe.

22.02.2011, 23:43

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RE: Axiome für Gruppen an Beispiel
Hast Recht, wer lesen kann, ist klar im Vorteil.
Trotzdem würde ich die Kommutativität immer erst zum Schluss begründen - wenn du keine Gruppe hast, musst du das schon nicht mehr.

Zur b):
Ja, richtig. Die reellen Zahlen mit der Multiplikation sind klarerweise eine abelsche Gruppe.

Gruß
MI

23.02.2011, 12:21

turbojunge

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RE: Axiome für Gruppen an Beispiel
Die reellen Zahlen mit der Multiplikation sind keine Gruppe!
Es gibt da nämlich ein kleines Problem mit der 0...

23.02.2011, 12:27

MorganHumphreys

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RE: Axiome für Gruppen an Beispiel

Zitat:

Original von turbojunge
Die reellen Zahlen mit der Multiplikation sind keine Gruppe!
Es gibt da nämlich ein kleines Problem mit der 0...

ok, danke, ich sehe es:

1/a, wobei a=0, ist nicht def., ist das Problem, oder gibt es noch ein anderes? (Wobei klar ist, dass ein Widerspruch reicht)

23.02.2011, 12:57

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RE: Axiome für Gruppen an Beispiel

Zitat:

Original von turbojunge
Die reellen Zahlen mit der Multiplikation sind keine Gruppe!
Es gibt da nämlich ein kleines Problem mit der 0...

Du hast natürlich absolut Recht unglücklich

.
Ich war im Geiste beim Körper und da ist ja eben explizit die Ausnahme für die Null gemacht...

@MorganHumphreys

Ja, das Inverse der 0 ist nicht definiert. Ein anderes Problem als mit der Null darf es nicht geben (siehe Körperaxiome und IR ist ein Körper mit der kanonische Addition und Multiplikation).

Gruß
MI

23.02.2011, 14:50

MorganHumphreys

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RE: Axiome für Gruppen an Beispiel
Danke an euch beide.
Der Vollständigkeit halber noch:

Zitat:

c) ((-1;1),o), wobei x o y := (x + y ) / ( 1+ xy )

Wobei (-1;1) das offene Intervall zwischen -1 und 1 in R ist.

Sei x= 1 und y = -1:
->

(1 + (-1)) / (1 + (-1)) = nicht definiert -> nicht in (-1;1) -> keine Gruppe

23.02.2011, 14:51

kiste

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Deswegen ja auch ein offenes Intervall, weder 1 noch -1 sind in der Menge.

23.02.2011, 15:35

MorganHumphreys

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Zitat:

Original von kiste
Deswegen ja auch ein offenes Intervall, weder 1 noch -1 sind in der Menge.

Stimmt.
Neuer Versuch:

- Assoziativ ist das Beispiel. Ich konnte sowohl:

$\begin{eqnarray*} [x+(\frac{y+z}{1+yz})] / [1 + x(\frac{y+z}{1+yz}) ] \end{eqnarray*}$ , als auch $\begin{eqnarray*} [ (\frac{x+y}{1+xy})+z ] / [1 + (\frac{x+y}{1+xy})z ] \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \frac{x +y +z +xyz}{1 + xy + yz + xz} \end{eqnarray*}$ umformen.

- Inverses finde ich allerdings nicht, da ich annehme, dass $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ das Inverse von a sein müsste, damit das neutrale Element 1 ist. Aber dann habe ich wieder das Problem, dass sich bei $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ im Nenner durch x = -y undefinierte Stellen ergeben verwirrt

Dass dieses Beispiel abgeschlossen ist, scheint mir auch zu sein, allerdings fehlt mir da auch die passende Ungleichung (?) um das zu zeigen.

24.02.2011, 01:16

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von MorganHumphreys
- Inverses finde ich allerdings nicht, da ich annehme, dass $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ das Inverse von a sein müsste, damit das neutrale Element 1 ist.

Du musst erstmal klarmachen, dass das neutrale Element bezüglich $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ gesucht ist, d.h. zu ermitteln ist $\begin{eqnarray*} e \in (-1,1) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \circ e = x \end{eqnarray*}$ .

Im nächsten Schritt kann man dann aus der Gleichung $\begin{eqnarray*} x \circ x^{-1} = e \end{eqnarray*}$ das Inverse $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ ermitteln.

Die Zahl $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ kann schonmal nicht das neutrale Element von $\begin{eqnarray*} ((-1,1), \circ) \end{eqnarray*}$ sein, da sie gar nicht in der Grundmenge liegt.

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