LGS nach Gauß, bekomme Beispiel nicht nachgerchnet
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23.02.2011, 21:39 cadillac Auf diesen Beitrag antworten »
LGS nach Gauß, bekomme Beispiel nicht nachgerchnet
Hi,

da im Beispiel nicht steht wie gerechnet wurde komme ich nicht auf das ergebnis.

Im 2. Pivotschritt muss ja in der 2.Stelle eine Null kommen.

Aber da ich ein Bruch habe im 1.Pivotschritt von 3/2 weiß ich nicht womit die gerechnet haben um die Null hinzubekommen. Normalerweise subtrahiere/addiere ich eine der Zeilen. Hier wurde es aber keine Null erreichen.

wie wurde die markierte Zeile erreicht?

Und wie löse ich solche Aufgeben am schnellsten. Ausprobieren hat ja nicht hingehauen. Gibt es da Tricks? Also ich habe prbiert die 3/2 in eine Gleichung einzufügen und als ergebnis 0 zu bekommen. Aber das funktioniert auch nicht.

zb
3/2*x=0 |:3/2
x=0/3/2
X=0

toll das bring mich auch nicht weiter. Ich brauche was anderes als eine Null Augenzwinkern
23.02.2011, 21:42 Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Die zweite Zeile wurde 1/2mal auf die erste Zeile addiert.
23.02.2011, 21:48 cadillac Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, hätte ich das gewusst wie schnell das hier ist hätte ich mir die 30 Minuten sparen können.

Wenn man da nicht selber durch probieren darauf kommt.

Gibt es denn da einen "Trick" wie man systematisch einen Null durch einen Bruch erreicht?

Oder sogar bei jeder Zahl? So dass ich in einer Klausur nicht zu lange brauche?
24.02.2011, 08:57 Mondstaub Auf diesen Beitrag antworten »

Bei deinem Beispiel willst du ja herausfinden, mit welchem Wert du die zweite Zeile multiplizieren musst, damit du durch Addition der zweiten Zeile zur ersten Zeile den zweiten Eintrag in der ersten Zeile (in deinem Beispiel 3/2) zur 0 machen kannst. smile

Konkret heißt das:

-3 * x = 3/2 ?

Alles klar?
24.02.2011, 14:32 cadillac Auf diesen Beitrag antworten »

Ja schon. Aber du hast mich nicht verstanden.

Wenn man eine Null haben will, aber nicht durch Probieren darauf kommt wie bekommt man es durch ein System raus?

Mit Brüchen habe ich meine Probleme. Vor allem wenn man bestimmte Zeilen nutzen muss, um damit zu addieren/subtrahieren und dann Multiplizieren muss um eine Null zu gekommen. Eine 1 ist einfacher, als eine Null.

einfaches Beispiel:
ich habe die Zahl 5. Nun will ich die Zahl 2 irgendwie davon abziehen um eine Null zu bekommen.

Wenn ich es nicht im Kopf könnte, dann mache ich mir eine Gleichung:
2-5x=0
Umformung auf X
x=-2/-5
x=0,4

Das ist ein "System". Ohne zu probieren nutze ich eine Gleichung und weiß welche Zahl als x kommt. Das spart Zeit. Wie gesagt habe ich für die hier gepostete Aufgabe nach 20 Minuten keine Lösung gehabt. Mag sein dass ich nicht der intelligenteste bin. Aber mit System, hätte ich das lösen können.

Könnt ihr mir dabei helfen die Aufgabe der ersten Lösung damit zu lösen? Wie kann ich mit Gleichungen darauf kommen. Ich habe keine langjährige Erfahrung um im Kopf sowas zu lösen.
24.02.2011, 14:46 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast Mondstaub nicht zugehört. Augenzwinkern Und da steckt kein probieren dahinter, sondern der schon im Titel erwähnte Gaußalgoritmus. Den kannst du nachlesen, aber ich denke nicht, dass die "Formeloptik" es für dich einfacher machen wird.

Zitat:
Mit Brüchen habe ich meine Probleme.

Ändere das!

Die Idee ist hier nicht schwer. Fangen wir ganz am Anfang an.

Schritt 1a
Wir normieren jede Zeile im ersten Eintrag. Das ist sehr einfach. Erste Zeile durch 2, zweite Zeile durch 4 und die dritte können wir sogar einfach übernehmen. Wie lautet dann das neue Teilsystem? Keine gerundeten Zahlen angeben!
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24.02.2011, 15:01 cadillac Auf diesen Beitrag antworten »

Mal kurz was anderes soll ich den normalen Weg gehen oder die Kreisregel verwednen. Die soll angeblich schneller gehen, doch in meinem Fall verwirrt die mich noch zur Zeit etwas. Und ich bin nicht wirklich schneller.

Ist die eurer Meinung nun schneller damit ich die oft über bis ich die kann. Oder ist die Zeitersparnis nicht relevant genug, wie das zurzeit bei mir ist?
24.02.2011, 15:15 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Kannte den Namen gar nicht. Für alle, denen es ähnlich geht (klick).

Ich kann dir nur anbieten, bei Schritt 1a weiterzumachen.
24.02.2011, 15:22 cadillac Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Schritt 1a Wir normieren jede Zeile im ersten Eintrag. Das ist sehr einfach. Erste Zeile durch 2, zweite Zeile durch 4 und die dritte können wir sogar einfach übernehmen. Wie lautet dann das neue Teilsystem? Keine gerundeten Zahlen angeben!


Also ich weiß jetzt nicht was ein Teilsystem ist. Aber ich soll wohl am x1 die Zahlen weg bekommen, damit nur x1 steht, denke ich. Wie du in meinem Beispiel siehst, haben wir das so glernt dass
- man in der ersten Zeile die 2 weg bekommt und dann kümmert man sich darum den rest der 1. Spalte in Nullen zu verwalndeln.
- Wenn fertig dann nimmt man in der 2. Zeile nicht nicht zuerst die 4 wie in deinem Vorschlag, sondern kümmert sich erst darum die 3 in eine 1 zu verwandeln. Um die Hauptdiagonale also. Dann verwadnelt man den rest der 2. Spalte in Nullen.
- auch in der 3. Zeile erst die 4 in eine 1 verwandeln, dann den rest der 3. Spalte in Nullen.

ist diese Vorgeweise zu langsam? kannst du mir eine Weg zeigen der mich schneller macht?

Also zu deiner frage, soll ich folgendes machen:
2/2 3/2 4/2 2/2
4/4 3/4 1/4 10/4
1 2 4 5

=>
1 3/2 2 1
1 3/4 1/4 5/2
1 2 4 5
24.02.2011, 15:28 cadillac Auf diesen Beitrag antworten »

hier die Kreisregel

http://dropmocks.com/mRmxP
24.02.2011, 15:29 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

code: 
1:
2:
3:
4:

1 3/2 2    1
1 3/4 1/4 5/2
1 2 4      5


Genau. Nun übernimmst du die erste Zeile [Hat ja schon die Form auf deinem Blatt in 1. Pivotschritt]. Für die anderen beiden Zeilen mache jeweils folgendes: Zeile 2 - Zeile 1, Zeile 3 -Zeile 1.

Was erhältst du dann?
24.02.2011, 15:43 cadillac Auf diesen Beitrag antworten »

1 3/2 2 1
1 3/4 1/4 5/2
1 2 4 5
______________________________________
1 3/2 2 1
0 -3/4 -7/4 1/2
0 1/2 2 4
24.02.2011, 15:48 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nun schauen wir uns die zweiten Stellen von Zeile 2 und Zeile 3 an. Da möchten wir wieder eine 1 haben. Mit was nimmst du die Zeilen also mal?
24.02.2011, 16:59 cadillac Auf diesen Beitrag antworten »

1. mit -4/3 und die 2. mit 2, aber muss die 3. Stelle der 3.Zeile nicht eine 1 sein. Warum mache ich die 2 Stelle der 3. Zeile nicht zu einer 0? Gehört das zu deinem System?

1 3/2 2 1
0 -3/4 -7/4 1/2 |* -4/3
0 1/2 2 4 |* 2
______________________________________
1 3/2 2 1
0 1 4 -2/3
0 1 4 8
24.02.2011, 17:07 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das System ist, mit dir jeden Schritt einzeln durch zu gehen, damit du das Prinzip verstehst, das in der "Formel Gauss" steckt. Ich mache hier nicht Gauss-Jordan. Augenzwinkern


Nun ziehst du von 3 wieder 2 ab. Was steht dann da? Wie erreichst du an Stelle 3 von Gleichung 3 nun eine 1?
24.02.2011, 17:37 cadillac Auf diesen Beitrag antworten »

Achso mein System nennt sich also Gaus Jordan und deins ist Formel Gauss? Ok, ich glaube meins ist nämlich unnötig aufwändig.

Also,
2 3 4 2 | :2
4 3 1 10 | :4
1 2 4 5
______________________________________+
1 3/2 2 1 I
1 3/4 1/4 5/2 II-I
1 2 4 5 III-I
______________________________________+
1 3/2 2 1
0 -3/4 -7/4 1/2
0 1/2 2 4
______________________________________+
1 3/2 2 1
0 -3/4 -7/4 1/2 |* -4/3
0 1/2 2 4 |* 2
______________________________________
1 3/2 2 1
0 1 4 -2/3
0 1 4 8
______________________________________+
1 3/2 2 1
0 1 4 -2/3
0 1 4 8 |III-II
______________________________________+
1 3/2 2 1
0 1 4 -2/3
0 0 0 26/3 | III-(-1/2*I)
______________________________________+
1 3/2 2 1
0 1 4 -2/3
0 0 1 55/6
24.02.2011, 17:59 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, nach Gauss Jordan kann man die Lösung direkt ablesen, bei Gauss muss man noch rückwärts einsetzen. Über diese Seiten und Einzelposts verliert man leicht den Überblick, denn irgendwo ist ein Rechenfehler drin. Ziel ist aber am Ende eine Dreiecksmatrix mit 1er Diagonale zu haben.

Das erzeugen der Nullen bestand aus 2 Schritten: Normierung und Differenz bilden. Den Normierungsschritt kann man auch anders machen, aber dein erster Post zeigte, dass du da noch nicht so fit drin bist (kgV mal als Stichwort). Der Preis war hier das vermehrte Rechnen mit Brüchen.

Der eigentliche Gauss sieht dann so aus:

code: 
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:
35:
36:
37:
38:
39:
40:
41:
42:
43:
44:
45:
46:
47:
48:
49:
50:
51:
52:
53:
54:
55:
56:
57:

Es wird ein LGS Ax=b mit Gaussalgorithmus gelöst
Es wird eine obere Treppenmatrix mit 1ern berechnet.
 
Matrix A eingeben: A= [2,3,4;4,3,1;1,2,4]
Vektor b eingeben: b= [2;10;5]
 
 
Durchgang 1 
===========
 
pivot = 2 
 
Zeile 2 - 4 * Zeile 1 
 
Zeile 3 - 1 * Zeile 1 
 
A =
    1.0000    1.5000    2.0000
         0   -3.0000   -7.0000
         0    0.5000    2.0000
b =
     1
     6
     4
 
Durchgang 2 
===========
 
pivot = -3 
 
Zeile 3 - 0.5 * Zeile 2 
 
A =
    1.0000    1.5000    2.0000
         0    1.0000    2.3333
         0         0    0.8333
b =
     1
    -2
     5
 
Durchgang 3 
===========
 
pivot = 0.833333 
A =
    1.0000    1.5000    2.0000
         0    1.0000    2.3333
         0         0    1.0000
b =
    1.0000
   -2.0000
    6.0000
x =
   13.0000
  -16.0000
    6.0000


Hier nun noch mal unser Weg.


________________________
Normierung Spalte 1:



Nullen Spalte 1:


_________________________
Normierung Spalte 2



Nullen Spalte 2:


__________________________
Normierung Spalte 3:



Nun musst du ausrechnen:







Dies musste man bei GJ nciht tun, dafür vorher mehr rechnen.
24.02.2011, 20:03 cadillac Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Tigerbine für deine Mühe!

Aber ich muss nun ehrlich sein um falls hier einer auf diesen Thread stößt etwas Mut zu machen.

Ich habe aus unserem Skript 4 Methoden und auch deine Tigerbine durchgerechnet.

Ich bin zu dem Ergebnis gekommen, dass die schnellste Methode die Kreisformel ist.

Ich habe erst gedacht die ist kompliziert, aber mit einigen Stunden übung und einen Teschenrechner um die Zwischenrechnungen nicht ständig komplett einzugeben ist das die coolste Methode. Wir durfen ab diesem Semester einen Taschenrechner benutzen, also warum sollte ich ihn nicht nutzen.

Man muss überhaupt nicht groß nachdenken. Man tickert systematisch die Zahlen in den Rechner.

Vor allem muss ich keine Zeilen von einander abziehen, was tierisch Zeit kostet.

Die Kreisregel hier nochmal als link:

http://dropmocks.com/mRmxP
24.02.2011, 20:14 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nicht *meine* Methode und ich habe nie den Anspruch an "schnell" gestellt. Deinem ersten Post war nicht zu entnehmen, dass du einen Überblick bei der ganzen Sache hast, was man eigentlich erreichen will. Das sollte der von mir gezeigte Weg auftun: wie * und - hier zusammenhängen. Diesen Weg kann man immer beschreiten, wenn man weiß, was das Ziel ist Augenzwinkern

Zitat:
Ausprobieren hat ja nicht hingehauen. Gibt es da Tricks? Also ich habe prbiert die 3/2 in eine Gleichung einzufügen und als ergebnis 0 zu bekommen. Aber das funktioniert auch nicht.


Wenn man sich Formeln merken kann, dann mag die Kreisformel schneller sein. Augenzwinkern Wünsche dir eine gute Klausur. Wink
24.02.2011, 20:33 cadillac Auf diesen Beitrag antworten »

Danke ich habe noch Zeit. Ihr werdet mir noch sehr oft behilflich sein müssen Augenzwinkern
24.02.2011, 20:40 cadillac Auf diesen Beitrag antworten »

Du vielleicht kannst du mir hier noch helfen:
http://dropmocks.com/mRm1Y

Wie du auf dem ersten Bild siehst, Wird wieder ein Tableau aufgebaut.

Das habe ich alleine richtig rechnen können.

Nun geht es aber um das zweite Bild. Was machen die da?

Setzen die die Ergebnisse irgendwo ein. Ich finde keinen Zusammenhang.
24.02.2011, 20:43 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

na, die haben das LGS nur auf Dreiecksgestalt gebracht. also Gauss. Dann rückwärtseinsetzen. Und da eine Nullzeile drin ist, bekommt man eine parameterabhängige Lösung. Augenzwinkern

Bilder bitte im Board hochladen.
24.02.2011, 20:59 cadillac Auf diesen Beitrag antworten »

Hey ich gucke mir das skript an und mache das nach Augenzwinkern

Deine Ausdrucksweise, erschwert mir das verstehen. Dreiecksgestallt?

Kannst du einfach mal ein Beispiel ausschreiben was die wo rückwärts eingefügt haben.

Haben die das verkürzt niedergeschrieben? Wie muss ich das einsetzen um das selbe hinzubekommen.

Also anscheinend ist die Lösung pro Gleichung 3, -2, 0, 6

Und nun? Was ist das x1- x4? Ich muss doch sicher die 4 X-variablen ersetzen und die Gleichung ausrechnen oder nicht? Aber wenn das so wäre wäre ja kein X in einer der Lösungen. z.B. -9-3x_4

PS
ich kann die Bilder hier nicht oft einfügen auch PDFs würde ich gerne uppen. Aber die haben ein Limit von ca. 250kbyte. Das verhindert zu 80% das ich das uppen kann. Ein Screenshot ist immer etwas größer. Eine PDF kleiner machen ist auch nicht so mal eben. Dann muss ich aus der PDF mehrere Bilder machen. Wenn die das verändern kann ich auch uppen. Was soll ich denn tun wenn die immer sagen Datei ist zu groß. Wenn du die Typen hier kennst, kannst du den mal sagen dass 1mb in den meisten Boards schon üblich ist. Die können ja nach dem Uppen die Dateien selber über den Server kleiner machen. Ich bin zu doof dazu.
24.02.2011, 21:16 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine




Nun musst du ausrechnen:


Da habe ich das schon vorgemacht. Wenn du Begriffe nicht kennst -> google. Augenzwinkern Und die Matrix links von | hat Dreiecksgestalt. Augenzwinkern
24.02.2011, 21:43 cadillac Auf diesen Beitrag antworten »

Sei mir nicht böse aber hast du das nun irgendwie anders umgeformt.

Nun erkenne ich mein Endtableau nicht wieder um einsetzen zu können.verwirrt

Ich würde gerne bei einer Methode bleiben.

Edit:
also du hast die Nullzeile weggelsassen, aber wie kommen die Brüche bei dir zu stande?

Du hast 4 Spalten und ich habe 5 Spalten. Kann ich das nicht so lassen mit 5 Zeilen und einfach ablesen?
24.02.2011, 22:03 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nun doch ein anderes Beispiel! Mein Post ist die Rechnung von vorhin, wo ich dir das Vorgehen nur schon mal gezeigt hatte. Augenzwinkern
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