Kern, Bild, Rang etc... |
| 24.02.2011, 18:34 | Niks | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| Kern, Bild, Rang etc... Hey ihr. Schreibe bald meine erste Lineare Algebra Klausur an der Uni. Eigentlich läuft alles soweit, nur zu Matrizen haben sich ein paar Fragen angestaut: 1. Die Dimension des Kerns ist die Anzahl linear abhängiger Zeilen einer Matrix, sodass in der Summe mit dem Rang immer die Zeilenanzahl herauskommt? 2. Wenn ich nun eine Zeilenstufenform habe und daraus den Kern berechnen möchte, dann habe ich ja zu viele Unbekannte für die Gleichungen (sonst gäbe es ja keinen Kern). In den Musterlösungen steht dann aber immer ein spezieller Vektor (Beispielsweise (1,2,3)T ) Müsste dieser Vektor nicht parameterabhängig sein? 3. Der Kern einer 4x3 Matrix ist trotzdem 0, auch wenn der Rang 3 ist, da das Gleichungssystem überbestimmt ist? Das wars für den Moment, aber es folgt sicherlich noch weiteres. Mit freundlichen Grüßen, Nik Meine Ideen: . |
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| 24.02.2011, 18:44 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Was meinst Du ? Spielst Du auf den Dimensionssatz an?
Jede lineare Abbildung hat einen Kern. Es kann höchstens passieren, dass nur der Nullvektor Element des Kerns ist.
Ja, in so einem Fall ist der Nullvektor die einzige Lösung des homogenen Gleichungssystems. |
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| 25.02.2011, 12:33 | Niks | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Hey Mazze, musste zunächst die Hürden der Anmeldung vollständig überschreiten. Zu Antwort 1: Sag du es mir. So habe ich es bisher verstanden Zu 2: Richtig, so war es gemeint. Zu 3: Alles klar. Das waren aber nicht Antworten auf alle Fragen. Grundsätzliche Frage: Ist die Dimension immer die Anzahl aus linear unabhängigen Vektoren von Bild, Kern? Also eine Natürliche Zahl (mit dem Rang vergleichbar?) Ich habe jetzt herausgefunden, dass man für die Berechnung des Kerns einfach die zu vielen Parameter bestimmt (mit bspw. 0,1,2..) sodass man am Ende einen Vektor erhält. Das bedeutet doch dann, dass es unendlich Vektoren gibt, welche die Gleichung erfüllen (Eine Lösungsebene/ gerade/ raum oder ähnlich) stimmt das soweit? Bedeutet das, dass ich beim Kern zwei linear unabhängige Vektoren finden muss, wenn die Dimension 2 ist? Ist dann die Dimension des Bildes das Gleiche wie der Rang der transponierten Matrix? Und die Bilder selber sind die linear unabhängigen Vektoren? Wenn dem so ist, gibt es dann auch den Fall, das man die linear unabhängigen Vektoren des Ranges aufschreibt? (als äquivalent zu dem Bild) Leider sind das viele Fragen, die merken lassen, dass ich dieses Thema noch nicht durchschaut habe. Wenn also irgendwo komplett falsche Ansätze sind, würde ich bitten, direkt jeden Begriff zu erklären. Da macht es für mich einfacher als wenn immer zusammenhanglose Stückchen hier reintrudeln. Mit freundlichen Grüßen, Niks |
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| 25.02.2011, 12:42 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Die Dimension eines Vektorraumes ist die maximale Anzahl von linear Unabhängigen Vektoren. Hast Du eine lineare Abbildung auf Vektorräumen, so liefert dir der Dimensionssatz eine Aussage darüber, wie man die Dimension eines Raumes bestimmen kann.
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder keine, eine oder unendlich viele Lösungen. Das ist natürlich übertragbar auf die Kernberechnung, da man dort auch nur lineare Gleichungssysteme betrachtet. Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems bildet immer einen Vektorraum.
Falsche Kausalität. Wenn Du maximal 2 linear unabhängige Vektoren findest, dann ist die Dimension 2 .
Der Rang einer Matrix A ist gleich dem Rang ihrer Transponierten. Von daher ist der zweite Teil obsolet. Was das andere angeht, der Rang liefert dir die Dimension des Bildes der Abbildung.
Was meinst du? |
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| 25.02.2011, 13:12 | Niks | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Zu 1: Ok Zu 2: Ok Zu 3: Stimmt Zu 4: Das verstehe ich nicht. Ich habe beispielsweise die Matrix A (3x3) mit rgA=2 und kerA=1. Meine Frage ist: Ist die Dimension des Bildes nicht entsprechend die Anzahl linear unabhängiger Spalten? Das wäre doch dann identisch mit rgAT oder etwa nicht? Oder muss man zur Bestimmung der Bild parameter zunächst eine Abbildung haben? Sprich, man kann nicht einfach zu einer x-beliebigen Matrix die Dimension des Bildes bestimmen? |
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| 25.02.2011, 13:19 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ja, das ist sie. Es gilt : Die Anzahl linear unabhängiger Spalten = Anzahl linear unabhängiger Zeilen. Mach Dir klar warum das gilt.
Eine Matrix beschreibt immer auch eine lineare Abbildung. Wenn Du also eine Matrix hast, so kannst du mit Hilfe dieser die Dimension des Bildes der Abbildung bestimmen, die die Matrix beschreibt. edit : Noch ein Hinweis ( Danke Iorek ) : Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems ist immer ein Vektorraum. Die Lösungsmenge eines inhomogenen Systems ist nur ein affiner Raum. |
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