Gauß-Krümmung Drehfläche

25.02.2011, 16:32

fnsr21

Gauß-Krümmung Drehfläche

Hallo!

Eine Drehfläche hat ja bekanntlich die Form:

$\begin{eqnarray*} g(t,\varphi) = \begin{pmatrix} r(t)\cos \varphi, r(t)\sin \varphi, h(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dazu kann man nun viele Brechungen anstellen. Vor allem interessieren uns aber die Gauß-Krümmungen, die sich durch eine längere Rechnung aus den Hauptkrümmungen ergeben. (Siehe z.B. hier http://www.math.hu-berlin.de/~ebermann/rotation/Rotation-ausgabe.pdf)

Damit ergibt sich die Gauß-Krümmung mit $\begin{eqnarray*} K = -\frac{r''}{r} \end{eqnarray*}$

Wir haben nun die Drehfläche

$\begin{eqnarray*} f(r,\varphi) = \begin{pmatrix} r\cos \varphi, r\sin \varphi, h(r) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gegeben. Damit würde für die Gauß-Krümmung nach obiger Rechnung sofort folgen, dass

$\begin{eqnarray*} K = 0 \end{eqnarray*}$

unabhängig von der gewählten Funktion $\begin{eqnarray*} h(r) \end{eqnarray*}$ .

Nur habe ich jetzt ein Problem in der Berechnung dieser Krümmung.

Denn dort wird an einer Stelle verwandt, dass "t" in der Funktion g als "Bogenlängenparameter" zu sehen ist, dann folgt (im PDF Bemerkung 2):

$\begin{eqnarray*} r'^2 + h'^2 = 1 \end{eqnarray*}$ (Wieso?)

und äquivalent dazu natürlich $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow r'' = -\frac{h'h''}{r'} \end{eqnarray*}$

Betrachten wir an dieser Stelle nun unsere Funktion f, folgt an dieser Stelle ja

$\begin{eqnarray*} 1 + h'^2 = 1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} h'(r) = 0 \end{eqnarray*}$

Damit weiter $\begin{eqnarray*} h(r) = c \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Kommen hier nun also nur alle Funktionen konstanter Werte in Frage?

Brechnet man nämlich die Gauß-Krümmung für unsere Funktion f so, kommt man auf

$\begin{eqnarray*} K = \frac{h''(r)h'(r)}{r\left(h'(r)^2+1\right)^2} \end{eqnarray*}$

Diese Differentialgleichung hat nun aber keine explizite Lösung...

Bin für alle Tipps dankbar!

Mfg

25.02.2011, 17:43

Cel

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RE: Gauß-Krümmung Drehfläche
Hallo! Dröseln wir mal ein bisschen auf.

Zitat:

Original von fnsr21
Damit würde für die Gauß-Krümmung nach obiger Rechnung sofort folgen, dass

$\begin{eqnarray*} K = 0 \end{eqnarray*}$

unabhängig von der gewählten Funktion $\begin{eqnarray*} h(r) \end{eqnarray*}$ .

Nein, wieso? Das gilt eben nur, wenn r'' = 0 ist. Bedenke, dass r selbst eine Funktion ist, für die nicht unbedingt r'' = 0 gelten muss. Wenn es gilt, dann ist K = 0. Guck mal auf Seite 8, oben. Die DGL, die zu lösen ist, hängt eben davon ab, welches konstante K betrachtet werden soll.

Zitat:

Original von fnsr21
$\begin{eqnarray*} r'^2 + h'^2 = 1 \end{eqnarray*}$ (Wieso?)

Das ist eine Annahme. Die zu rotierende Kurve soll nach Bogenlänge parametrisiert werden, was eben genau das obige bedeutet.

Zitat:

Original von fnsr21
$\begin{eqnarray*} 1 + h'^2 = 1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} h'(r) = 0 \end{eqnarray*}$

Damit weiter $\begin{eqnarray*} h(r) = c \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Kommen hier nun also nur alle Funktionen konstanter Werte in Frage?

Du betrachtest hier aber nur den Fall, dass K = 0 ist und dass |a| (wieder Seite 8, oben) = 1 ist.

Klärt sich damit ein bisschen etwas?

25.02.2011, 18:12

fnsr21

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RE: Gauß-Krümmung Drehfläche
Unsere Funktion ist doch aber

$\begin{eqnarray*} f(r,\varphi) = \begin{pmatrix} r\cos \varphi, r\sin \varphi, h(r) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn wir das in "g"-Schreibweise notieren haben wir doch

$\begin{eqnarray*} g(t,\varphi) = \begin{pmatrix} t\cos \varphi, t\sin \varphi, h(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also gerade $\begin{eqnarray*} r(t) = t \end{eqnarray*}$ und damit ist $\begin{eqnarray*} r''(t) = 0 \end{eqnarray*}$ und deswegen $\begin{eqnarray*} K = 0 \end{eqnarray*}$

Um das ganze noch einmal verständlicher zu machen. Unsere Drehfläche ist durch $\begin{eqnarray*} f(r,\varphi) = \begin{pmatrix} r\cos \varphi, r\sin \varphi, h(r) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gegeben. Wir sollen nun zu dieser alle Drehflächen konstanter Gauß-Krümmung bestimmen und ausgewählte Beispiele darstellen.

25.02.2011, 18:20

Cel

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Huch, das habe ich übersehen, sorry.

Dann hast du recht mit deinen Überlegungen. Unabhängig vom h ist dann K = 0. Allerdings nimmt man ja an, dass die Kurve nach BL parametrisiert ist, deswegen muss h'=0 sein, also eben h(t) = c. Deine Frage war ja, ob nur Funktionen mit konstanten Werten in Frage kommen. Und die Antwort ist eben: Ja, denn nur so kann die Kurve nach BL parametrisiert sein.

Wie kommst du eigentlich auf die Form von K ganz am Schluss? Du hast doch bereits korrekterweise gesagt, dass K = 0 ist.

25.02.2011, 18:31

fnsr21

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Zum Stutzen sind wir erst gekommen, nachdem die ganze Rechnung bis dahin beendet war.

Die Aufgabe ist so gestellt, dass diese Funktion gegeben ist und erst einmal bestimmt werden soll:

- 1. und 2. Fundamentalform
- Weingarten-Abbildung, sowieso Hauptkrümmungen
- mittlere Krümmung H und Gauß-Krümmung K

Im Anschluss sollen alle Drehflächen konstant K bestimmt werden und einige visualisiert.

Das haben wir nun gemacht und kommen auf:

1. Fundamentalform:
$\begin{eqnarray*} \mathrm d s^2 = \left(1+h'(r)^2\right)\mathrm d r^2 + r^2\mathrm d \phi^2 \end{eqnarray*}$

2. Fundamentalform:
$\begin{eqnarray*} \mathrm d\sigma^2 = \frac{h''(r)}{\sqrt{h'(r)^2+1}}\mathrm dr^2 + \frac{h'(r)r}{\sqrt{h'(r)^2+1}}\mathrm d\phi^2 \end{eqnarray*}$

Weingarten-Abbildung:
$\begin{eqnarray*} \mathcal L &=& \begin{pmatrix} \frac{1}{h'(r)^2+1} & 0 \\ 0 & \frac{1}{r^2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{h''(r)}{\sqrt{h'(r)^2+1}} & 0\\ 0 & \frac{h'(r)r}{\sqrt{h'(r)^2+1}} \end{pmatrix}\\<br /> &=& \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{\left(h'(r)^2+1\right)^3}}h''(r) & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{h'(r)^2+1}}\frac{h'(r)}{r},\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Hauptkrümmungen (kann man ja nun ablesen):
$\begin{eqnarray*} \kappa_1 &=& \frac{1}{\sqrt{\left(h'(r)^2+1\right)^3}}h''(r),\\<br /> \kappa_2 &=& \frac{1}{\sqrt{h'(r)^2+1}}\frac{h'(r)}{r}\\ \end{eqnarray*}$

und daraus resultierend:

$\begin{eqnarray*} K = \frac{h''(r)h'(r)}{r\left(h'(r)^2+1\right)^2}, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} H = \frac{h''(r)r + h'(r)\left(h'(r)^2+1\right)}{2r\sqrt{\left(h'(r)^2+1\right)^3}}. \end{eqnarray*}$

Ehrlich gesagt sehe ich bis hier keinen Fehler. Ich hab's auch schon mit Mathematica überprüft...

Nun kamen wir ins Grübeln, wie man diese monströsen Gebilde etwas vereinfachfen kann und sind dabei auf den Teil im Buch von Kuehnel zur Differentialgeometrie gestoßen, wo diese Idee mit der Bogenlängenparametrisierung herkommt.

Dann ist natürlich fraglich, wie man "ausgewählte" Beispiele visualisieren soll. Die Fülle ist nun nicht gerade sehr reich :/

25.02.2011, 20:06

Cel

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Ich sehe dort auch nichts falsches. Aber ich muss ehrlich sagen, dass mir deine Schreibweisen der verschiedenen Abbildungen nicht geläufig sind (obwohl ich sie teilweise schon gesehen habe). Ich würde eigentlich sagen, dass die Gaußkrümmung der angegebenen Fläche immer Null ist, was ja auch korrekt gerechnet ist (Parametrisierung nach BL existiert immer). Soll heißen: Liegt eine Fläche mit einer solchen Parametrisierung vor, dann hat sie immer Gaußkrümmung 0.

Evtl. kann dir noch jemand anderes etwas dazu sagen, der noch ein bisschen mehr im Thema ist. Wink

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