Eigenwertberechnung... bzw ich such nen trick für nullstellen... |
| 25.02.2011, 17:04 | Hm? | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Eigenwertberechnung... bzw ich such nen trick für nullstellen... ich hab eine 3x3 Matrix, im Komplexen. das charakteristische Polynom ist: t^3-2t^2+3t-3=(t+x_1)(t+x_2)(t+x_3) wie man merkt hab ich probleme von sowas die "nullstellen" zu bestimmen, für meine umformung hab ich dann noch diese Bedingungen abgelesen: 1. x_1*x_2*x_3=-3 2. x_1*x_2+x_1*x_3+x_3*x_2=3 3. x_1+x_2+x_3=-2 so mein problem ist: ich "seh" die lösung nicht, lina1 hab ich letztes semester bestanden und in lina2 kann ich alle algorithmen, nur im eigenwerte ausrechnen (nullstellen...) bin ich schwach... ich ann die gleichung auch irgendwie nicht in martix form bringen um das ding zu lösen, ohne das ich großes rechnen hätte, diesen typ teilaufgabe müsste ich eigendlich in unter einer minute lösen können, daher meine frage an euch: wie les ich meine x_1,x_2,x_3 ab? 
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| 25.02.2011, 17:21 | Manus | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich möchte mich ja nicht zu weit aus dem Fenster lehnen, aber ich wage zu behaupten, dass in einer Klausuraufgabe die Nullstellen bedeutend einfacher zu berechnen (und vor allem auch angenehmer zum Fortfahren) sind als hier. Es existieren zwar Lösungsformeln für Polynome dritten Grades, aber die Nullstellen sind in diesem Fall mehr als ekelig (wenn ich Maple trauen darf). In einer Klausuraufgabe werden die Nullstellen wohl im Regelfall ganzzahlig sein (Kandidaten für solche NS findet man in den ganzzahligen Teilern des Absolutglieds). Oder aber im Verlauf der Berechnung des charakteristischen Polynoms kann man schon Faktoren geschickt zusammenfassen, sodass man die Eigenwerte sofort sieht. Ein Polynom von dieser Gestalt wäre wohl mehr als fies. |
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| 25.02.2011, 18:30 | Hm? | Auf diesen Beitrag antworten » |
hm, dann muss ich mich verrechnet haben, die aufgabe stammt aus einer alten klausur von meinem professor: http://www.naturwissenschaften.tu-berlin...a/lina2ss07.pdf aufgabe 1, oder liegt mein fehler fern ab des charakteristischen polynoms? mir fehlt generell eine vorgehensweise bei den meisten polynomen drittengrades (in den HA's habe ich immer eine eigenwert maschine benutzt...) im fischer übungsbuch steht als e^A aufgabe ebenfalls eine 3x3 matrix, deren eigenwerte sich nur echt mies berechnen lassen, daher tippe ich darauf das mein polynom richtig ist...hilfe? ^^ |
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| 25.02.2011, 18:38 | Manus | Auf diesen Beitrag antworten » |
Maple spuckt zu der Matrix das Polynom: x^3-3*x^2+3*x-1 aus, welches sich bedeutend zahmer verhält (und nebenbeibemerkt bis auf Auswahl der NS auch das einzig wirklich interessante Polynom bei der Berechnung einer Jordan-Form auf 3x3-Matrizen ist). |
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| 25.02.2011, 18:48 | Hm? | Auf diesen Beitrag antworten » |
hm, ich sollte aufhören mich zu verrechnen... also gibt es kein "leichtes" verfahren zur berechnung der nullstellen von schwereren polynomen? |
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| 25.02.2011, 20:30 | Manus | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wie gesagt, für Polynome dritten Grades gibt's Lösungsformeln (such mal nach Cardano) und ansonsten hilft nur die Schulmethode raten und dann Polynomdivision. |
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